DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
F 0
6 C
es autovalor de A si existe
•PROPIEDADES DE LOS AUTOVALORES Y AUTOVECTORES:
1.- Si F 0
6 C
es autovalor de A, k F 0
6 C
es autovalor de kA.
Si es autovector de A, es autovector de kA.
Si F 0
6 C
es autovalor de A, F0
6 C
h es autovalor de Ah, teniendo asociado el mismo vector propio.
2.- Si A es triangular (diagonal), sus autovalores son los elementos de su diagonal principal.
3.-
4.- Los autovalores de A coinciden con los de su transpuesta.
5.-
6.- Si y son autovectores de A asociados respectivamente a dos autovalores distintos ( F 0
6 D
y F 0
6 C
)
entonces y son linealmente independientes.
7.- Si una matriz A nxn tiene n autovalores distintos, entonces existe una base de F 0
C 2
n constituida
por los autovectores de A.
•MATRICES EQUIVALENTES:
Dos matrices A y B F 0
C E
Μmxn son equivalentes si existen dos matrices regulares, U y V, tales que:
A = U B V
Propiedades:
•La equivalencia de matrices es una relación de equivalencia.
•Si A y B son matrices equivalentes, entonces rg(A) = rg(B)
•MATRICES SEMEJANTES:
Dos matrices cuadradas, A y B F 0
C E
Μnxn , son semejantes sii existe una matriz P invertible tal que:
A = P B P -1
Propiedades:
•La semejanza de matrices es una relación de equivalencia.
•Si A y B son matrices semejantes, entonces rg(A) = rg(B)
•Las matrices semejantes tienen el mismo determinante y la misma traza.
•Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico.
•Si A = P B P –1, entonces A h = P Bh P -1
•Si A1 = P B1 P –1 y A2 = P B2 P –1 , entonces A1 + A2 = P (B1 +B2 ) P–1
•DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES:
Una matriz A se dice diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal F0
4 C
. Esto es:
A = P F 0
4 C
P -1
Teorema: Una matriz cuadrada (Anxn) es diagonalizable sii existen n autovectores de A que son
linealmente independientes.
UAH - Ana I. Gutiérrez Delgado
