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DIAGONALIZACI”N
- Dada la siguiente matriz dependiendo de un par·metro a
A =
2 a 3 2
a) Determinar el valor de a para que = 1 sea autovalor de A. b) Para los valores de a calculados en el apartado anterior, diagonalizar A. c) Para el valor de a determinado en el apartado a) øCÛmo se calcularÌan A^245 y eA?
SoluciÛn: a) a = 1. b) D =
, P =
c) A^245 = P
0 ( 1)^245
P ^1 = A, eA^ = P
e 0 0 e ^1
P ^1 :
- Consideremos la siguiente matriz dependiendo de un par·metro a:
A =
a 1 0
A
a) Determinar para quÈ valor de a, = 2 es autovalor de A: b) Para el valor de a determinado en el apartado anterior, diagonalizar la matriz A. c) Para el valor de a determinado en el apartado a), øCÛmo se calcularÌa A ^1000? SoluciÛn: a) a = 2 :
b) D =
A, P =
A (^) c) A ^1000 = P
0 0 2 ^1000
A P ^1 :
- Consideremos la siguiente matriz dependiendo de un par·metro a:
A =
a 1 3
A
a) Determinar para quÈ valor de a = 1 es autovalor de A: b) Para el valor de a determinado en el apartado anterior, diagonalizar la matriz A. c) Para el valor de a determinado en el apartado a) øCÛmo se calcularÌan A^245 y ln A?
SoluciÛn: a) a = 2: b) D =
A, P =
A
c) A^245 = P D^245 P ^1 = P
A (^) P ^1 ; ln A = P
ln 2 0 0 0 ln 2 0 0 0 0
A P ^1 :
- Dada la siguiente matriz dependiendo de un par·metro b
A =
2 b 2 b 0 1 1 0 1 1
A ;
a) Calcular los autovalores de A. b) Determinar para quÈ valores de b la matriz A es diagonalizable. c) Para los valores de b calculados en el apartado anterior, diagonalizar A. d) Para los valores de b calculados en el apartado b), øCÛmo se calcularÌa A^2 eA?
SoluciÛn: a) = 2 doble y = 0 simple. b) Es diagonalizable si y sÛlo si b = 1.
c) Para b = 1 tenemos D =
A, P =
A
d) A^2 eA^ = P D^2 eDP ^1 = P
22 e^2 0 0 22 e^2 0 0 02 e^0
A P ^1 = P
4 e^2 0 0 4 e^2 0 0 0
A P ^1 :
- Dada la matriz A, dependiendo de un par·metro b
A =
b 0 0 1 1 1 1 1 1
A
a) Para b = 2 diagonalizar A. b) Para b = 2, øcÛmo se calcularÌan A^234 y eA^2? c) Calcular, en funciÛn de b, los autovalores de A. d) Determinar todos los valores de b para los que A es diagonalizable.
SoluciÛn: a)D =
A, P =
A
b) A^234 = P
A (^) P ^1 , eA^2 = P
B
e^220 0 e^2
2 0 0 0 e^0
2
C
A P^ ^1 :
c) = 2, = 0, y = b: d) Si b 6 = 2 y b 6 = 0, A es diagonalizable porque tiene tres autovalores distintos. Si b = 2 entonces A es diagonalizable por el apartado a). Si b = 0 entonces A no es diagonalizable. Por tanto, A es diagonalizable si y sÛlo si b 6 = 0.
- Sea A la matriz
a 1 1 b
a) Determinar el valor de los par·metros a, b para que = 2 sea autovalor de A con autovector asociado ~v = (1; 1). b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, estudiar si A es diago- nalizable, y si lo es, diagonalizarla. SoluciÛn: a) a = 1, b = 3: b) A no es diagonalizable.
- Consideremos la matriz
A =
1 a 2 3
a) Para a = 0, diagonalizar la matriz A. b) Determinar para quÈ valor de a se tiene que = 1 es autovalor de A. c) Para el valor de a calculado en el apartado anterior, determinar si A es diagonaliz- able. d) Determinar todos los valores de a para los que la matriz A es diagonalizable (en sentido real y complejo).
SoluciÛn: a) D =
P =
b) a = 2.
c) Para a = 2 A no es diagonalizable. d) A es diagonalizable (en sentido real) si y sÛlo si a > 2 , y en sentido complejo si a 6 = 2.
d) Una matriz A tiene como polinomio caracterÌstico pA() = (^2 1)(^2 + 1). øEs la matriz A simÈtrica? e) Una matrix 3 3 A tiene autovalores 1 = 1= 2 , 2 = 2 y 3 = 1. Calcular el determinante y la traza de A^1001.
f) Dada la matriz A =
1 a 0 1
determinar para quÈ valor del par·metro a el vector
~x = (1; 1) es autovector de A. g) De una matriz 3 3 A sabemos que = 1 es autovalor de A, det A = 1 y tr A = 1. øEs A simÈtrica? h) De una matriz 3 3 sabemos que tr A = 2, calcular el determinante de la matriz eA. i) Si una matriz 2 2 cumple tr A = 0, jAj = 1, calcular A^2. j) Si la matriz A no es diagonalizable, øEs diagonalizable la matriz B = A + At?
