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DINÁMICA DE LOS FLUIDOS
1.- Características y conceptos generales del flujo de los fluidos
- Compresible o incompresible
- Viscoso o no viscoso
- Estacionario o no estacionario
- Rotacional o irrotacional
Régimen ideal: flujo incompresible, no viscoso, estacionario e irrotacional
- Línea de flujo: trayectoria seguida por un elemento de fluido en movimiento
- Línea de corriente: curva cuya tangente en un punto cualquiera tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto
- Tubo de flujo: aquél que está formado por todas las líneas de corriente que pasan por la periferia de un elemento dado de superficie
2.- Ecuación de continuidad
Flujo de un fluido a través de una sección S del tubo de corriente es el volumen de líquido que la atraviesa en la unidad de tiempo
A 1
A 2
v
v
v1∆t
v 2 ∆t
∆m 1 : masa que atraviesa A 1 en el intervalo ∆ t
∆m 1 = ρ 1 .A 1 v 1 ∆ t
ρ 1 , v 1 : densidad y velocidad del fluido en A 1
ρ 2 , v2 : densidad y velocidad del fluido en A 2 ∆m 2 : masa que cruza A 2 en el intervalo ∆ t ∆m 2 = ρ 2 .A 2 v2 ∆ t Principio de conservación de la masa ⇒ ∆m 1 = ∆m 2 ⇒ ρ 1 .A 1 v 1 ∆ t = ρ 2 .A 2 v2 ∆ t ⇒ ρ 1 .A 1 v 1 ∆ t = ρ 2 .A 2 v2 ∆ t ⇒ A 1 v 1 = A 2 v2 = flujo = φ = G = Q ya que ρ 1 = ρ 2 (fluido incompresible)
Dividiendo por la densidad ρ se obtiene energía por unidad de masa. Dividiendo por ρg se obtiene longitud.
cte 2g
v y g
p 2g
v y g
p (^22) 2
2
2 1 1
ρ
ρ
p 1 /ρg : altura de presión o piezométrica y 1 : altura geométrica o geodésica v 12 / 2g : altura de velocidad o cinética
En régimen de flujo ideal, la suma de la presión hidrostática, potencial y cinética es constante en todos los puntos de la corriente fluida.
La carga de un fluido es la suma de las alturas de presión, geométrica y cinética y, en régimen de flujo ideal, es constante en todos los puntos de la corriente fluida. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli 1.- Ecuación fundamental de la estática de los líquidos p 1 -p 2 = ρgh 2.-Efecto Venturi La presión hidrostática disminuye en los estrechamientos.
3.- Teorema de Torricelli
Ec. de Bernoulli: p 1 + ρ gy1 + ρ v1^2 / 2 = cte
V (^2)
líquido^2 h = 0
p 1 = p 2 = pa ; ρ v 12 / 2 → 0 ; y1 = h; y 2 = 0 ⇒
ρ gh = ρ v2^2 / 2 ⇒ v 2 = √2gh
El módulo de la velocidad de salida es el de la que tendría un cuerpo pesado cayendo en el vacío desde la superficie libre hasta el nivel del orificio. Sin embargo, la velocidad real es vreal = k k < 1: coef. de velocidad
Contracción de la vena líquida : S (^) c = k’ S k‘ < 1: coef. de contracción
Gasto real Greal = Sc vreal = k‘ S k = k k’ G (^) teórico
2gh
2gh
1 1
p + ρ gy + 1 ρ v 2 +e = p + ρ gy + 1 ρ v 2 +e + ρ gh 2 1 B^2 2 22 T^12 e +e = e +e +e 1 B 2 T 12
Donde e 1 : energía por unidad de volumen en 1 eB: energía por unidad de volumen que aporta la bomba e 2 : energía por unidad de volumen en 2 eT: energía por unidad de volumen que proporciona la turbina e 12 : energía por unidad de volumen perdida debida a la viscosidad Análogamente, en términos de carga
ρ ρ
p v^2 p v^2 (^1) + y + 1 - h + h = 2 + y + 2 + h g 1 2g 12 B^ g 2 2g T
línea de pérdidas (fluido real)
fluido ideal
6.- Viscosidad
La viscosidad es el rozamiento interno de un flui- do. Tanto los gases como los líquidos son viscosos, siendo mayor la viscosidad en los últimos.
Tipos de régimen viscoso:
Laminar: las capas de fluido deslizan suavemente unas sobre otras.
Turbulento: cuando, por encima de un cierto valor crítico aparecen corrientes locales e irregulares (torbellinos o remolinos) que originan un gran aumento de la resistencia al movimiento
Perfiles de flujo :
IDEAL LAMINAR TURBULENTO placa móvil F
L
placa fija
a (^) b
c c’ d d’
-F
A: área de las placas F/A: esfuerzo cortante
⇒ deformación por cizalladura
Tabla de viscosidades
T( 0 C) ηpetróleo (p) ηagua (cp)^ ηaire (μp)
T= 20 0 C : ηetanol = 1,2 cp; ηglicerina = 830 cp
Número de Reynolds
Régimen laminar: v // al eje de la conducción ⇒ v (^) // ≠ 0 y v⊥= 0
Régimen turbulento : v// ≠ 0 y v⊥ ≠ 0
ρ: densidad del fluido v: velocidad media (*) η :coeficiente de viscosidad D: diámetro (tuberías) u otra dimensión del sistema
N (^) R = ρ v D / η
Velocidad media: velocidad constante que proporcionaría el mismo caudal que el real.
Velocidad característica:
v 0 = η / ρ D ⇒ N (^) R = v/ v 0
[N (^) R ] = M 0 L 0 T^0 = 1
N (^) R < 2000 Régimen laminar 2000 < NR < 3000 Zona de transición N (^) R > 3000 Régimen turbulento
Semejanza de modelos
1.- Se ensaya un modelo reducido a escala.
2.- Se reduce el número de variables, agrupándolas en monomios adimensionales (número de Euler, Reynolds, Froude, Mach, ...)
Semejanza dinámica: N (^) R1 = NR2 , ...
En general cuando se da la igualdad de los números adimensionales relevantes del caso.
EL VUELO DE LOS AVIONES
p+ ρv 2 /2 = cte;
- Fuerza de sustentación. Producida
sobre el ala y dirigida hacia arriba.
- Peso del avión. Producida por la
gravedad y dirigida hacia abajo.
- Tracción del motor. Producida por el
motor y dirigida hacia adelante.
- Resistencia aerodinámica del avión.
Producida por la forma del avión y
dirigida hacia atrás.
S.R. en reposo respecto al
avión ⇒ es aplicable la ec.
de Bernoulli ⇒
A: área del ala
ρ: densidad del aire
v 1 : velocidad del aire encima del ala v
v 2 : velocidad del aire debajo del ala v
v: velocidad del aire
∝
( v - v )
FL p A A 12 22
v
FL A CL^2
CL: coeficiente de sustentación. Depende de
la forma del ala, del ángulo de ataque
(ángulo que forma el ala y la dirección del
flujo de aire).
Vuelos a altura constante ⇒ FL = W
Aviones a reacción v de vuelo elevada ⇒ A
y α bajos. Sin embargo, v de despegue muy
elevada o aumento brusco del ángulo de
ataque.
Aviones de hélice v de vuelo moderada ⇒ A
y α elevados. Sin embargo v de despegue
moderada.
∝
8.- Régimen laminar. Ley de Poiseuille
RÉGIMEN LAMINAR
p 1 L
p 1 πr 2
L
p 2 πr 2
p 2
2R 2r
v = cte
F neta debida a la presión F = (p 1 - p 2 ) π r 2 F viscosa = η v A / L = η A dv/ dr = η 2 πrL dv/ dr ⇒ dv/ dr = - (p 1 - p 2 ) r / 2 η L Integrando : (^) (p 1 - p 2 ) v = (R^2 - r 2 ) 4 η L
∆ p vmáx = R 2 4 η L
vmáx ∆ p R 2 vmed= = 2 8 η L
∆ p R 2 π R 4 ∆ p G = S v = πR 2 = 8 η L 8 η L
Ley de Poiseuille
En régimen laminar, el caudal es directamente proporcional gradiente de presión a lo largo del conducto y a la cuarta potencia del radio e inversamente proporcional a la viscosidad
Deducción mediante Análisis dimensional G = G (η , R, ∆ p/ L) ⇒ G = k ηa^.^ R b^ (∆ p/ L) c
[ G ] = [ η ] a^ [ R ] b^ [ ∆ p/ L ] c
[ G ] = L^3 T -1^ ; [ η ] = M L -1^ T -1^ ; [ R ] = L
[ ∆ p/ L ] = M L-2^ T -
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene: a = -1; b = 4; c = 1. Experimentalmente k = π/ Sustituyendo en G = k ηa^.^ R b^ (∆ p/ L) c^ ⇒ π R 4 ∆ p G = 8 η L
Factor λ : coef. de pérdida es adimensional y λ = f (v, D, ρ, η, K)
v: velocidad media ; D: diámetro de la tubería ρ: densidad del fluido ; η: viscosidad del fluido K: rugosidad de la conducción
K
Análisis dimensional
λ = k v a^ D b^ ρ c^ η d^ K e^ (k: cte adimensional) [ λ ] = [ v ] a^ [ D ] b^ [ ρ ] c^ [ η ] d^ [ K ] e [ λ ] = 1 ; [ v ] = L T -1; [ D ] = L; [ ρ ] = M L-3; [ η ] = M L -1^ T -1^ ; [ K ] =L Resolviendo el sistema resultante: a = - d ; c = - d ; b = - d – e ⇒ λ = F (η / ρ v D, K/D) = F (N (^) R , K/D) N (^) R : nº de Reynolds; K/D: rugosidad relativa
λ = F (N (^) R , K/D)
si N (^) R elevado (rég. turbulento) ⇒ λ = F ( K/D)
K/D = cte en toda la conducción ⇒ λ = cte ⇒
hp ∝ v 2
si N (^) R bajo (rég. laminar) ⇒ λ = F (N (^) R ) ⇒
hp ∝ v
Tubería horizontal (S = cte), λ = 64/ N (^) R
hp /L
v
A
B
Laminar
Z.T.
Turbulento
C
hp λ v^2
L D 2g
