ESTAD´
ISTICA BAYESIANA
Pr´actica Dirigida
05 - 06 - 2025
1. La distribuci´on de Maxwell.
f(x|α) = r2
πα3/2x2exp −1
2αx2, x > 0, α > 0
(a) Hallar la distribuci´on a priori de Jeffreys para α.
(b) Demostrar que dada la distribuci´on a priori de Jeffreys y una muestra x= (x1, . . . , xn), la
media a posteriori de αes igual al estimador de m´axima verosimilitud, ˆαmv.
(c) Hallar la distribuci´on asint´otica de ˆαmv .
(d) Hallar el intervalo de credibilidad para α, del nivel 1 −α= 0,95, si n= 80 y Pn
i=1 x2
i= 64.
(e) Explicar, c´omo se puede construir un intervalo de credibilidad emp´ırico para α.
(f) Explicar, c´omo se puede estimar la P(α > 1|x1, . . . , xn), de forma emp´ırica.
2. Las observaciones X1, . . . , Xnson una muestra aleatoria de una distribuci´on Pareto con densidad:
f(x|θ) = (θ3θ
xθ+1 si x>3
0 si x≤3, θ > 0
(a) Hallar la distribuci´on a priori de Jeffreys para el par´ametro θ.
(b) Demostrar que la distribuci´on a posteriori de θes una Gamma.
(c) Demostrar que la media a posteriori es igual al estimador de m´axima verosimilitud, ˆ
θmv.
(d) Hallar el riesgo a posteriori de ˆ
θmv.
3. Se observan 12 datos de una distribuci´on normal N(µ, 1).
X={15,6,16,4,17,3,14,4,15,3,15,2,18,1,17,6,17,5,16,3,15,4,17,9}
(a) Dada la distribuci´on a priori de Jeffreys, hallar la distribuci´on a posteriori para µ.
(b) Hallar el intervalo de credibilidad para µ, del nivel 1 −α= 0,95.
(c) Ahora, supongamos que la varianza es desconocida. Usando la distribuci´on a priori de
Jeffreys, hallar la distribuci´on a posteriori para (µ, σ2).
(d) Usando las distribuciones a posteriori respectivas, hallar los intervalos de credibilidad para
µy para σ2del nivel 1 −α= 0,95.
(e) ¿C´omo se puede construir un intervalo de credibilidad (emp´ırico) para µ2+σ2?
4. Sea X1, . . . , Xn|µ∼ N (µ, σ2) y µ∼ N (m, τ2), donde σ2, m yτ2son conocidos. Hallar:
(a) E(µ|X1, . . . , Xn)
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