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UNIVERSIDAD DE CONCEPCI ON´
FACULTAD De MATEM ´ATICAS / DEPARTAMENTO DE ESTAD´ISTICA
523491 ECONOMETR´IA
Pauta Tarea 2
Profesor: Guillermo Ferreira. Alumno: Sebasti´an Cardemil. Semestre: 2020-2. Caracter : Individual Fecha de Entrega : El d´ıa 11 de Enero 2021. Formato: Pdf-Latex (Tarea-1-ECO-Nombre-Apellido) Plataforma: CANVAS
- [0.5 %] Suponga que en una muestra de 500 observaciones de una distribuci´on normal con media μ y desviaci´on est´andar σ, se le dice que el 35 % de las observaciones son menos de 2.1 y el 55 % de las observaciones son menos de 3.6. Estime μ y σ.
SOLUCI ´ON
Si el 35 % de las observaciones son menores a 2.1, y el 55 % de las observaciones son menores de 3.6, deber´ıamos inferir que
(2. 1 − μ)/σ
= 0 .35 ´o (2. 1 − μ)/σ = − 0 .385 =⇒ 2. 1 − μ = − 0. 385 σ
(3. 6 − μ)/σ
= 0 .55 ´o (3. 6 − μ)/σ = 0.1260 =⇒ 3. 6 − μ = 0. 126 σ
Resolviendo se tiene que: μ = 3.2301 y σ = 2.9354. [0.5 %]
- [2 %] Suponga que disponemos de una muestra aleatoria independientes t− student con ν grados de libertad. Estimar el par´ametro ν usando el segundo y cuarto momento como condici´on de ortogonalidad, es decir;
E[ml(yi, θ)] = E
[
y^2 i − (^) νν− 2 y i^4 − 3 ν
2 (ν−2)(ν−4)
]
[
]
Los primeros 3 ´ıtem exprese el resultado en forma implicita.
a) Encuentre la estimaci´on de ν usando MMG.
SOLUCI ´ON
Observe que la condici´on de ortogonalidad es dada por
E[ml(yi, θ)] = E
[
y^2 i − (^) νν− 2 y i^4 − 3 ν
2 (ν−2)(ν−4)
]
[
]
Entonces
m 2 (ν) =
n
∑^ n
i=
y^2 i −
νˆ ˆν − 2
m 4 (ν) =
n
∑^ n
i=
y i^4 − 3ˆν^2 (ˆν − 2)(ˆν − 4)
Para obtener un estimador de ν, debemos calcular el estimador de m´ınima distancia que se obtiene como sigue: m´ın ν
[
m′(ν) · I · m(ν).
]
Entonces el estimador de ν se obtiene
m´ın ν
[
m′(ν) · I · m(ν)
]
= m´ın ν
n
∑^ n
i=
y i^2 −
ν ν − 2 1 n
∑^ n
i=
y i^4 −
3 ν^2 (ν − 2)(ν − 4)
′
×
n
∑^ n
i=
y^2 i −
ν ν − 2 1 n
∑^ n
i=
y^4 i −
3 ν^2 (ν − 2)(ν − 4)
Al minimizar la expresi´on anterior se obtiene el νEM D. Luego para obtener el νM M G se calcular m′(ν) W mˆ (ν) donde Wˆ = Φˆ− n 1 =
n
m(ˆν)m(ˆν)′. Calculando Φˆ− n 1 se tiene lo siguiente:
Φˆ− n 1 = Φˆ− n 1 = 1 n
∑^ n
i=
y^2 i −
ˆνEM D ν ˆEM D − 2 y i^4 −
3ˆν EM D^2 (ˆνEM D − 2)(ˆνEM D − 4)
×
y^2 i −
ˆνEM D ν ˆEM D − 2 y i^4 −
3ˆν EM D^2 (ˆνEM D − 2)(ˆνEM D − 4)
′
Obtenido Φˆ− n 1 se reemplaza en ˆνM M G y se minimizar´a para as´ı obtener el estimador. [1 %]
b) Encuentre
Gj^ (θ) =
∂ m¯j (̂θEM D ) ∂ θ̂
′ EM D
SOLUCI ´ON
Para encontrar la matriz G debemos calcular las derivadas de los momentos poblacionales.
G(ν) =
∂m 2 ∂ν ∂m 4 ∂ν
(ν − 2)^2 3(− 6 ν^2 + 16ν) (ν − 2)^2 (ν − 4)^2
[0.2 %]
c) Encuentre la varianza asint´otica de ̂νM M G, es decir,
AVar
[
ν(Ŵ )M M G,optimal
]
n
[
G¯′(̂θ)Φ−^1 G¯(̂ θ)
]
- [1.5 %] Considere el siguiente modelo macroecon´omico
Ct = α 0 + α 1 Yt + ε 1 t It = β 0 + β 1 Yt + β 2 Gt− 1 + ε 2 t Yt = Ct + It + Gt,
donde Ct es el consumo, It la variable inversi´on, Yt es el ingreso agregado (todas son variables end´oge- nas) y Gt es el gasto (del gobierno) la cual es una variable ex´ogena.
a) La ecuaci´on de consumo est´a identificada??. SOLUCI ´ON
Sustituyendo la identidad en las ecuaciones de Ct e It se tiene
Ct = α 0 + α 1 It + α 2 Gt + ε 1 t It = β 0 + β 1 Ct + β 2 Gt− 1 + β 3 Gt + ε 2 t
Verificando las condici´on de Rango y Orden se tiene.
Ecuaci´on 1: Podemos observar que: G = {β 2 } ⇒ ρ(G) = 1 = 1 = m − 1 k 1 = k − k′^ = 2 − 1 = 1 = m − 1 Por lo tanto la primera ecuaci´on est´a exactamente identificada. [1 %]
b) La ecuaci´on de inversi´on est´a identificada?? Ecuaci´on 2: Podemos observar que: G = ∅ ⇒ ρ(G) = 0 6 = m − 1 = 1 k 2 = 0 < 1 = m − 1 Por lo tanto, la ecuaci´on 2 est´a subidentificada. [0.25 %] c) C´omo se estimar´ıan ambas ecuaci´ones.
Respuesta: Se puede usar estimaci´on m´ınimo cuadrados en dos etapas (EMC2E) porque te- nemos una ecuaci´on identificable y la otra no. En caso de usar estimaci´on m´ınimos cuadrados indirectos (EMCI) provocar´a estimadores inconsistentes para la segunda ecuaci´on. [0.25 %]
- [1 %] Utilice los datos SMOKE.RAW para este ejercicio
a) Un modelo para estimar los efectos del tabaquismo en el ingreso anual (quiz´as a trav´es de ausencias laborales debido a enfermedades o efectos de productividad) es
log (income) = β 0 + β 1 cigs + β 2 educ + β 3 age + β 4 age^2 + u 1 ,
donde cigs es el n´umero de cigarros que se consumen al d´ıa, en promedio. C´omo se interpreta β 1.
SOLUCI ´ON
Por cada aumento de el n´umero de cigarros en una unidad que se consumen en el d´ıa, en promedio los efectos del tabaquismo en el ingreso anual aumenta en un 0.173 %, manteniendo los dem´as factores constantes. [0.05 %] b) Para reflejar el hecho de que el consumo de cigarros podr´ıa estar determinado conjuntamente por el ingreso, una ecuaci´on de la demanda de cigarros es
cigs = γ 0 + γ 1 log(income) + γ 2 educ + γ 3 age + γ 4 age^2 + γ 5 log (cigpric) + γ 6 restaurn + u 2
donde cigpric es el precio de una cajetilla de cigarros (en centavos) y restaurn es una variable binaria igual a uno si la persona vive en un estado cuyos restaurantes restringen el consumo del
cigarro. Si se supone que ´estas son variables ex´ogenas al individuo, qu´e signos se esperar´ıan para γ 5 y γ 6?
SOLUCI ´ON
Como la variable cigs es el n´umero de cigarros fumados diarios, al aumentar el precio de los cigarros, uno esperar´ıa que la cantidad fumada disminuya por lo que γ 5 < 0. Por otro lado, al estar en un estado cuyos restaurantes restringen el consumen del cigarro, la cantidad de cigarros disminuir´a. Es decir, γ 6 < 0. [0.05 %] c) Con base en qu´e supuesto la ecuaci´on del ingreso del ´ıtem a) se identific´o?
SOLUCI ´ON
Sea k 2 son las variables ex´ogenas excluidas de la ecuaci´on y m es la cantidad de variables end´oge- nas, entonces
- Condici´on de orden: k 2 = 2 > m−1 = 2−1, por lo tanto, la ecuaci´on estar´ıa sobreindentificada.
- Condici´on de rango: G = {γ 5 , γ 6 }, luego ρ(G) = 1 = m − 1 = 1. De la Condici´on de rango se verifica que la ecuaci´on est´a exactamente identificada. [0.1 %]
d) Estime la ecuaci´on de ingreso mediante MCO y analice la estimaci´on de β 1.
SOLUCI ´ON La Tabla 1 resumen el modelo estimado mediante MCO es;
Variables Estimaci´on error est´andar valor t valor-p Intercepto 7.795 1.704e-01 45.741 < 2 e − 16 ∗ ∗∗ cigs 1.731e-03 1.714e-03 1.010 0. educ 6.036e-02 7.898e-03 7.642 6.10e-14 *** age 5.769e-02 7.644e-03 7.548 1.21e-13 *** agesq -6.306e-04 8.338e-05 -7.563 1.08e-13 ***
Cuadro 1: Ajuste MCO para la ecuaci´on de ingreso
Se puede observar que el coeficiente (β 1 ) asociado a cigs no es significativa para el modelo. Su interpretaci´on es: por cada cigarro extra que se fuma el incremento porcentual en el ingreso es del 0.173 %. [0.2 %] e) Estime la forma reducida para cigs. (Recuerde que esto implica realizar la regresi´on de cigs sobre todas las variables ex´ogenas.) log (cigpric) y restaurn son significativas en la forma reducida?
SOLUCI ´ON La forma reducida es dada:
cigs = π 1 + π 2 educ + π 3 age + π 4 I(age^2 ) + π 5 log(lcigpric) + π 6 restaurn + ε
Usando m´ınimo cuadrados indirecto se tiene lo siguiente: Como se puede observar, solo es significativa restaurn al 5 % de significancia. [0.2 %] f) Ahora, estime la ecuaci´on de ingreso mediante MC2E. Analice c´omo se compara la estimaci´on de β 1 con la estimaci´on de MCO.
SOLUCI ´ON La Tabla 3 contiene las estimaciones del modelo simult´aneo utilizando MC2E Podemos observar que cigs no es significativo. El signo del estimador coincide con lo esperado porque a mayor nivel de cigarro, disminuye el ingreso anual del individuo. [0.2 %]
donde pop es la poblaci´on de la ciudad, avginc es el ingreso promedio y pctstu es la poblaci´on estudiantil como un porcentaje de la poblaci´on de la ciudad (durante el a˜no escolar).
a0) Cu´al es la dimensi´on de los datos de panel?, es una base de datos balanceada??
SOLUCI ´ON
La base de datos es balanceada con n = 64 ciudades, dos a˜nos de medici´on temporal (1980 y 1990), lo cual representa un total de N = 128 observaciones. [0.1 %] a) Proponga un modelo agrupado y ajuste los datos de panel. Qu´e conclusi´on se obtiene de la esti- maci´on de la variable binaria de 1990?. Qu´e se obtiene para β̂pctstu?.
SOLUCI ´ON El modelo agrupado es obtenido mediante la sentencia
plm(log(rent) log(pop) + log(avginc) + pctstu, model = ”pooling”, data = rental).
Ahora al incluir la variable binaria de 1990 y90 al modelo se tienen las estimaciones presentadas
Variables Estimaci´on error est´andar valor t valor-p (Intercept) -3.3683076 0.4639437 -7.2602 3.726e-11 *** log(pop) 0.0313456 0.0270786 1.1576 0. log(avginc) 0.8771386 0.0413247 21.2255 < 2.2e-16 *** pctstu 0.0065849 0.0012027 5.4752 2.324e-07 ***
Cuadro 4: Ajuste modelo agrupado
en la Tabla 5
plm(log(rent) log(pop) + log(avginc) + log(pctstu) + y90, model = ”pooling”, data = rental)
Variables Estimaci´on error est´andar valor t valor-p (Intercept) -0.5688064 0.5348806 -1.0634 0. log(pop) 0.0406863 0.0225154 1.8070 0.. log(avginc) 0.5714460 0.0530980 10.7621 < 2.2e-16 *** pctstu 0.0050436 0.0010192 4.9486 2.401e-06 *** y90 0.2622267 0.0347632 7.5432 8.781e-12 ***
Cuadro 5: Ajuste modelo agrupado para el a˜no 1990
De la Tabla 5 podemos decir que al incluir la variable y90 se obtiene que al pasar del a˜no 80 al 90 hay un aumento de 26 % en la tasa de alquiler y esta estimaci´on es significativa. Por otro lado, βˆpctstu ≈ 0 .006 y es significativo al 5 % para el modelo. Por cada aumento en la poblaci´on estudiantil, aumenta un 0,6 % la tasa de alquiler. [0.3 %] b) Proponga el modelo de efectos inobservables
log (rentit) = β 0 + β 1 log (popit) + β 2 log (avgincit) + β 3 pctstuit + ai + uit,
estime el modelo por efectos fijos utilizando el estimador Within group y el estimador LSDV (least squares dummy variables). Compare la estimaci´on de β̂pctstu de estos dos estimadores con
la del ´ıtem a). El tama˜no relativo de la poblaci´on estudiantil parece afectar los precios de alquiler?.
SOLUCI ´ON El comando para ajustar el estimador Within Group es el siguiente:
withinmod < −plm(log(rent) ∼ log(pop) + log(avginc) + pctstu, model = ”within”, data = rental)
Para ajustar el estimador LSDV es el siguiente:
reg.dum < −lm(log(rent) ∼ log(pop) + log(avginc) + pctstu + factor(city) − 1 , data = rental)
Recordemos que los resultados del estimador Within Group y LSDV son equivalentes y adem´as que para usar estos estimadores se debe cumplir que Cov(xit, ci) 6 = 0.Los resultados del modelo ajustado son los siguientes:
Variables Estimaci´on error est´andar valor t valor-p lpop 0.2973714 0.1428761 2.0813 0.041609 *. lavginc 0.9401806 0.0470280 19.9920 < 2. 2 e − 16 *** pctstu 0.0187151 0.0067851 2.7583 0.007658 **
Cuadro 6: Ajuste modelo Within Group y LDSV
En este caso usando el estimador Within Group el βˆpctstu ≈ 0 .019 y es significativo al 5 % para el modelo. En este caso por cada aumento en la poblaci´on estudiantil, aumenta aproximadamente un 2 % en la tasa de alquiler. Este resultado es m´as cre´ıble que el anterior porque sabemos que al aumentar la poblaci´on de estudiantes, aumenta la tasa de alquiler y un 0.6 % es muy poco. Finalemnte, el tama˜no relativo de la poblaci´on estudiantil parece afectar al precio del alquiler, en cada uno de los m´etodos la estimaci´on para esta variable dio un resultado significativo. [0.2 %]
c) Encuentre el estimador de Efecto Aleatorio para el modelo de efectos inobservables utilizando el estimador Between group y MCG.
SOLUCI ´ON En este caso estamos asumiendo que Cov(xit, ci) = 0. El comando para realizar la estimaci´on mediante el estimador Between Group es el siguiente:
betmod < −plm(log(rent) ∼ log(pop) + log(avginc) + pctstu, model = ”between”, data = rental)
El resumen del modelo ajustado es el siguiente:
Variables Estimaci´on error est´andar valor t valor-p Intercepto -0.8783719 0.7671525 -1.1450 0. lpop 0.0355101 0.0297542 1.1934 0. lavginc 0.6221464 0.0757743 8.2105 2.145e-11 *** pctstu 0.0051145 0.0013462 3.7991 0.0003414 ***
Cuadro 7: Ajuste modelo between Group
Del Cuadro 7 se puede apreciar que la variable lavginc y pctstu son significativas al 5 % para el modelo.
Ahora con el siguiente comando se realizar´a el estimador por MCG:
ModelEA < −plm(log(rent) ∼ log(pop) + log(avginc) + pctstu, model = ”random”, data = rental)
