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MRL Simple:
Supondremos que la relación que vincula x e y es lineal en parámetros
y que el término inobservable entra de forma aditiva.
y = ββββ
1
2
y = ββββ x + u
1
2
x + u
ββ ββ
0
es la constante ( intercept parameter )
ββ ββ
1
es la pendiente ( slope parameter)
Y
1. EL MODELO: MOTIVACIÓN Y DEFINICIONES
X
1 2
β + β
ββ ββ
1
Supongamos que la variable Y es una función lineal de otra variable X , donde la
relación entre Y y X depende de parámetros β ββ
β
1
y β ββ
β
2
desconocidos.
X X
1
X
2
X
3
X
4
Si nuestro interés fuera conocer la relación que une a X con Y, entonces deberíamos
estimar los parámetros desconocidos.
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
ββ ββ
1
Y
X
1 2
β + β
Supongamos que tenemos una muestra de 4 observaciones de (X,Y). Suponemos que
esas observaciones proceden de una muestra aleatoria simple.
Si la relación entre X e Y fuera exacta, sólo bastarían dos puntos para hallar una
solución para los parámetros ββ ββ
1
y ββββ
2
.
3
X X
1
X
2
X
3
X
4
P
4
P
3
P
2
P
1
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
ββ ββ
1
Y
1. EL MODELO: MOTIVACIÓN Y DEFINICIONES
X
1 2
β + β
Sin embargo, las relaciones económicas no son exactas: muchos de los puntos que
observamos no van a estar en la recta
X X
1
X
2
X
3
X
4
P
4
P
3
P
2
P
1
Y
En el mundo real, únicamente observamos los puntos P para cada X.
7
X X
1
X
2
X
3
X
4
P
4
P
3
P
2
P
1
Y b b X
1 2
ˆ
++
= +
=
b
1
Y
1. EL MODELO: MOTIVACIÓN Y DEFINICIONES
Naturalmente, podríamos utilizar los puntos P para dibujar una línea que aproxime
Y = ββββ
1
+ ββββ
2
X****.
Podemos escribir esta línea como Y = b 1
+ b
2
X , donde b
1
es una estimación de ββββ
1
y b
2
es una estimación de ββββ .
^
8
b
1
X X
1
X
2
X
3
X
4
P
4
P
3
P
2
P
1
R
1
R
2
R
3 R
4
Y b b X
1 2
ˆ
==== ++++
b
1
Y
ˆ
(valor predicho)
Y (valor real)
Y
A esta línea aproximada se la conoce como el modelo ajustado, y a los valores de la
variable Y en esa línea se les llama valores predichos o ajustados (son los puntos R).
9
b
1
X X
1
X
2
X
3
X
4
P
4
P
3
P
2
P
1
R
1
R
2
R
3 R
4
e
1
e
2
e
3
e
4 Y b bX
1 2
ˆ
++
= +
=
b
1
Y
ˆ
Y (valor real)
Y Y = e
− = −−
−
ˆ
Y
(residuo)
(valor predicho)
1. EL MODELO: MOTIVACIÓN Y DEFINICIONES
X X
1
X
2
X
3
X
4
Observad que hay una discrepancia entre el valor de Y realmente observado (los
puntos P) y el valor predicho por la línea aproximada (R). A esta discrepancia se le
llama residuo.
b
1
P
4
P
3
P
2
P
1
Y
Y
2. ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
La respuesta está en que los errores positivos y negativos se compensarían. El ajuste
perfecto en este caso sería una línea recta en la media del valor de Y
21
X X
1
X
2
X
3
X
4
Y
1
Y
n
Y
2. ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
Y X u
1 2
Verdadero :
X X
n
X
1
1
Y
¿Qué pasa si tenemos n observaciones?
Y
1
Y
n
Y
n n
Y b b X
1 2
ˆ
++
= +
=
2. ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
Y b b X
Y X u
1 2
1 2
Ajustado :
Verdadero :
X X
n
X
1
b
1
1 1 2 1
Y ==== b ++++ b X
1
Y
b
2
Dada nuestra elección de b
1
y b
2
, la recta ajustada es la que se muestra en
el gráfico.
14
Y
Y b b X
Y X u
1 2
1 2
Ajustado :
Verdadero :
e Y Y Y b b X
1
Y
n
Y
n n
Y b b X
1 2
ˆ
==== ++++
2. ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
X X
n
X
1
b
1 n n n n n
e Y Y Y b b X
e Y Y Y b b X
1 2
1 1 1 1 1 2 1
1 1 2 1
Y b + b X ++
1
Y
b
2
1
e
Definimos el residuo para la primera observación
