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TEMA 2: EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL: FORMULACIÓN E INTEPRETACIÓN
Wooldridge: Capítulos 2, 3, 4 y 6 (apartados 6.2 y 6.3)
2.1. INTRODUCCIÓN ● El Modelo de Regresión Lineal (MRL) nos permite estudiar la relación entre dos o más variables económicas. El Modelo de Regresión Lineal Simple se puede emplear para estudiar la relación entre dos variables. En general, los factores que explican un fenómeno económico suelen ser múltiples, lo que supone una limitación en la aplicación del modelo de regresión simple en el análisis empírico: Modelo de Regresión Lineal Múltiple.
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Modelo de Regresión Lineal Simple: ● Objeto de estudio: Y y X son dos variables que representan alguna población y estamos interesados en “explicar Y en términos de X ” o en “estudiar cómo varía Y ante variaciones en X ”. Ejemplos:
- Y = cosecha de trigo X =cantidad abono - Y = salario-hora X =años de estudio - Y = ventas X =gastos publicidad - Y = gasto en un bien X =gasto total
Modelo de Regresión Lineal Múltiple: ● Vamos a plantear un modelo que contemple la existencia de una relación múltiple entre Y y otras variables X 1 , X 2 , …, XK****. Ejemplos: Y = salario X 1 = educación X 2 = experiencia X 3 = sexo Y = cosecha X 1 = abono X 2 = lluvias X 3 = temperaturas Y = ventas X 1 = gastos publicidad X 2 = precios
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● Al formular un modelo que “explique Y en términos de las X X’s ” debemos afrontar, varias cuestiones:
- ¿Cuál es la forma funcional de la relación entre Y y las X’s****?
- ¿Cómo tenemos en cuenta otros factores que afecten a Y además de las X’s****?
- ¿Estamos captando relaciones ceteris-paribus (efectos causales) entre Y y las X’s****?
● El MRL nos permite “explicar Y en términos de las X’s” resolviendo las cuestiones anteriores.
Ejemplo 1: Si Y =salario y X =años-estudio, entonces el término de error puede recoger factores cómo:
- experiencia laboral, habilidad, antigüedad en la empresa...
Ejemplo 2: Si Y =cosecha y X =abono, entonces el término de error puede recoger factores cómo:
- calidad de la tierra, lluvia...
Ejemplo 3: Si Y =consumo gasolina vehículo y X =velocidad, entonces el término de error puede recoger factores cómo:
- efecto conductor, carretera, condiciones climatológicas…
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Formulación: Modelo de Regresión Lineal Múltiple o General
● El modelo general de regresión es una extensión para k variables explicativas del modelo de regresión simple.
● Dada una variable endógena Y y k variables exógenas X’s el Modelo de Regresión Lineal establece una relación entre las variables a través de la ecuación: Y = f ( X (^) 1 , X (^) 2 ,..., X (^) K )+ ε con: f ( X 1 , X 2 ,..., Xk )= β 0 + β 1 X 1 +...+ β kXk
● En el Modelo de Regresión Lineal Múltiple: Y = β 0 + β 1 X (^) 1 + β 2 X (^) 2 + ...+ β (^) K XK +ε Y : Variable dependiente X 1 …XK : Variables explicativas o regresores β 0 , β 1 … β K : Parámetros poblacionales ε : Término de error o perturbación inobservable. Factores que influyen en Y además de las X’s , el componente aleatorio de Y que no viene explicado por β 0 + β 1 X 1 + ...+ β K XK.
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● Para una muestra de tamaño n podemos escribir el modelo como: Yi = β 0 + β 1 X (^) 1 i + β 2 X (^) 2 i + ...+ β K X (^) Ki + ε i i = 1 ... n
o de forma matricial como: Y = X β +ε donde:
Y
Y Y Yn (^) n
=
×
1 2 1
... X
X X X X X X X X X
k k n n kn (^) n k
=
× +
1 1 1
11 21 1 12 22 2 (^1 2 )
... ... ... ... ... ... ... ... (^) ( )
β
β β β
=
0 1 1 1
... k (^) ( k )
ε
ε ε ε
=
×
1 2 1
... n (^) n
c) E Y X (^1^^ ,^ X^^2 ,...,^ X^ k^ )^ =^ β^0 +^ β^1 X^1^^ +^ β^2 X^^2 +^ ...+^ β K^ Xk → Función esperanza
condicional lineal
Dado Y^ =^ β^0 +^ β 1 X 1^ +^ β 2 X^ 2 +^ ...^ +^ β K^ Xk +ε 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 2
k K k k K k k K k
E Y X X X
E X X X X X X
X X X E X X X
X X X
β β β β ε β β β β ε β β β β
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En el MRL Simple:
ββββ 0000 {
∆x ∆E(y|x)
E(y|x)
Y (Consumo)
X (renta)
E(y|x)=β 0 +β 1 x ββββ 1111 = ∆E(y|x) ∆x
Modelo de Regresión Lineal Simple
constante
pendiente
.^. x (^) 1 x (^) 2
E ( y | x ) = β (^) 0 + β (^) 1 x
f ( y )^ y
SUPUESTO 3: V^ (^ ε X^ 1 ,^ X^ 2 ,...,^ Xk )=^ σ^2 →Homocedasticidad
Implicaciones:
a) V ( ) ε = σ^2
V ( ) ε = E ( ε^2 ) − [ E ( )] ε 2 =σ^2 donde E ( ε )= 0 y
E ( ε^2 ) = E E [ ( ε^2 X )] = E ( σ 2 )=σ^2
b) V ( Y X ) = σ 2 → La varianza de Y dado X es constante
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. x 1 x 2 x
f( y|x ) y
C aso H etero ced astico
x 3
..^ E ( y | x ) =^ β^^0 +^ β^^1 x
x (^) 1 x (^) 2
C a so H o m o c e d a stic o
E ( y | x ) = β (^) 0 + β (^) 1 x
f( y |x )^ y
NOTA: Si escribimos el MRL Múltiple de forma matricial: Y = X β + ε donde 11 21 1 12 22 2 (^1 2) ( 1)
1 ... 1 ... ... ... ... ... ... 1 ...
k k n n kn (^) nx k
X X X X X^ X^ X X X X (^) +
= ^
1 2 1
... n (^) n
Y Y Y Y (^) ×
= ^
0 1 ( 1) 1
ˆ ˆ ˆ ... ˆ k (^) k
β β β β (^) + ×
= ^
y
1 2 1
... n (^) n
ε ε ε ε (^) ×
= ^ los supuestos de homocedasticidad y no autocorrelación implican que: 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
( ) (^ ,^ )^ (^ )^ ...^ (^ ,^ )^0 ...^0
n n n n n n (^) n n n n
V X Cov X Cov X V X Cov^ X^ V^ X^ Cov^ X I Cov X Cov X V X
ε ε ε ε ε σ ε ε^ ε ε ε^ ε σ σ ε ε ε ε ε × σ (^) ×
= ^ ^ = =^
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SUPUESTO 5: Distribución condicionada normal de las perturbaciones:
ε X 1 (^) i , X (^) 2 i ,..., Xki ~ N ( , 0 σ^2 ) Implicaciones:
Y X 1 i , X 2 i ,..., X ki ~ N ( β 0 +β 1 X , σ^2 )
Este supuesto no siempre es necesario.
SUPUESTO 6: Ausencia de multicolinealidad exacta: Ninguna de las variables X 1 , X 2 , …, XK es constante ni existe una relación lineal exacta ntre ellas (son linealmente independientes). El rango de la matriz X es igual a k +1.
SUPUESTO 7: Grados de libertad positivos El número de datos disponibles es mayor que k +1 (parámetros β a estimar).
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2.3. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL: INTERPRETACIÓN A) En el MRL Simple:
E Y X ( ) = β 0 +β 1 X
β 1 → Cuando X aumente en una unidad, Y varía, en media, β 1 unidades:
β 1 = ∆^ E Y X ∆^ (^ X )
β 0 → Se puede interpretar como el valor medio de Y cuando X toma valor cero,
pero en muchas aplicaciones esta interpretación no tiene sentido.
Ejemplo 2: Peso = β 0 + β 1 Cigs +ε
Peso : peso de un niño al nacer (en gramos) Cigs : nº medio de cigarros fumados al día por la madre en el embarazo ¿Qué interpretación tiene β 1****? ¿Qué signo esperaría que tuviera?
- Si la madre varía el número de cigarros fumados al día en una unidad (un cigarro), en media el peso del niño al nacer variará en β 1 unidades (gramos).
- Signo negativo ¿Qué factores puede contener ε****?
- Vigilancia prenatal, salud de la madre, factores genéticos,...
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B) En el MRL Múltiple: Si todas las variables excepto Xj permanecen constantes: ∆ E Y X ( (^) 1 , X (^) 2 ,..., X (^) K )= β j ∆ Xj
⇒ β (^) j =^ ∆^ E Y X^ (^^ ∆^1 ,^ X^ Xj^^2 ,...,^ Xk )
β (^) j → Cuando Xj varía en una unidad (permaneciendo el resto de las variables constantes),
Y varía, en media, en β j unidades: β j = ∂ E ( Y^ X ∂ X^1 ,..., j XK ).
Ejemplo: ● Consideremos el modelo: Educ = β 0 + β 1 Herm + β 2 EducM + β 3 EducP + ε
- ¿Qué interpretación tiene β 1? Si Herm varía en una unidad (un hermano), y EducM y EducP permanecen constantes , Educ variará en media en β 1 unidades (años)
- ¿ Y β 2? Si EducM varía en una unidad (un año), y Herm y EducP permanecen constantes , Educ variará en media en β 2 unidades (años)
Econometría. Tema 2. Curso 2013-14. Pilar Abad 28 2.4. ALGUNAS FORMULACIONES NO LINEALES EN VARIABLES ● Hasta ahora nos hemos centrado en relaciones lineales (tanto en parámetros como en variables) entre la variable dependiente y la explicativa. Sin embargo, muchas relaciones no son lineales. ● Es fácil incorporar relaciones no lineales en el análisis lineal de regresión (linealidad en parámetros) definiendo adecuadamente (transformando) la variable dependiente y la explicativa. Otra posibilidad, en el ámbito del MRL Múltiple es incluir variables explicativas adicionales (como polinomios). ● Vamos a contemplar los ejemplos más frecuentes en los trabajos aplicados y a analizar cómo se interpretan los parámetros en los modelos transformados.
Ejemplo: Sean Y =Consumo y X =Renta
Y = β 0 + β 1 ln X + ε
Si la renta varía en un 1%, el consumo varía en media en β 1 / 100 unidades.
Nótese que en este modelo: e Y^ = e^ β^0 X β^1 e ε
e Y^ = e^ β^0 X β^1 → Y = β 0 +β 1 ln X
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b) Modelo con logaritmo en la variable endógena ● El modelo considerado sería:
ln Y = β 0 + β 1 X +ε
donde E ( ε X ) = 0 → E (ln Y X )= β 0 +β 1 X
β 1 = ∆^ E^^ (ln ∆ XY X^ )^ ≈^ E^ (^ ∆ ∆ Y Y X X /^ )
Si multiplicamos por 100 para expresar la variación de Y en términos % tendremos:
β 1 × 100 ≈ E^^ (^100 × ∆∆ X Y^ /^ Y X ) → Cuando X varía en una unidad, Y varía en
media en un ( β 1 × 100 ) %.
y
x
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Ejemplo: Sean Y =Salario-hora y X =Educación
ln Y = β 0 + β 1 X +ε
Si la educación varía en un año, el salario-hora varía en media en un
( β 1 × 100 ) % →Rendimiento de un año adicional de educación.
Nótese que en este modelo: Y = Ae^ β^1 Xe ε Y = Ae^ β^1 X → ln Y = β 0 +β 1 X
d) Modelo recíproco ● El modelo considerado sería:
Y = β 0 + β 1 X^1 +ε
donde E ( ε X ) = 0 → E Y X ( )= β 0 +β 1 X^1
- Permite una formulación con curvatura hiperbólica.
- Se emplea, por ejemplo, para la curva de Phillips.
- Al variar X en una unidad, Y varía en media en − β (^1) X^12
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Recíproca → Y = β 0 +β 1 X^1
y
x
e) Modelo con términos cuadráticos En algunas situaciones queremos modelizar la relación entre X e Y considerando la existencia de efectos marginales crecientes o decrecientes. El modelo considerado sería: Y = β 0 + β 1 X + β 2 X^2 +ε donde E ( ε X ) = 0 → E Y X ( )= β 0 + β 1 X +β 2 X^2 ∂ ∂^ β^ β
E Y X X X
( ) (^) = 1 + 2 2 → Cuando X varía en 1 unidad Y varía en media en β 1 + 2 β 2 X unidades → β 1 y β 2 no tienen interpretación por separado****.
- Dependiendo del signo de β 2 , los efectos marginales serán crecientes ( β 2 > 0 ) o decrecientes ( β 2 < 0 ).
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Ejemplo: Sean Y =Salario-hora, X 1 =Educación y X 2 =Experiencia.
Modelo 1: ln Y = α 0 + α 1 X (^) 1 + α 2 X 2 +ε En este modelo α 2 → Si la experiencia varía en 1 unidad (1 año), permaneciendo constante la educación, el salario-hora varía en media en ( α 2 × 100 )%
Modelo 2: ln Y = β 0 + β 1 X (^) 1 + β 2 X (^) 2 + β 3 X 22 +ε En este modelo si la experiencia varía en 1 unidad (1 año), permaneciendo constante la educación, el salario-hora varía en media en ( ( β 2 + 2 β 3 X (^) 2 )× 100 )%.
