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TEMA 4: EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL: CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Wooldridge: Capítulos 3, 4, 5 y 6
¿Cómo podemos hacer afirmaciones sobre los parámetros β j del modelo de regresión?
● Se pueden construir intervalos de confianza o realizar contrastes de hipótesis para los
parámetros β j del modelo de regresión. Para ello podemos partir del supuesto de
distribución condicionada normal o emplear resultados asintóticos.
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4.1. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS PARÁMETROS
● Si suponemos que:
Y Xi ~ N ( β 0 + β 1 X 1 i + ...+ β k Xki ,σ^2 )
entonces:
β^ ɵ j X ~ N ( β j , V ( βɵ j^ ) ) →^ ɵ
( ɵ^ )
j j V j
− ~ N ( 0 1,)
y:
ε^ ɵ^ ɵ ( )
in 1^ i^2 SR^ n^ k 2
2 = 2 1
n^2 − k − 1
y tendremos por tanto que: ɵ ( ɵ^ )
j j s j
− (^) ~ tn-k-
Los extremos del intervalo del (1-α)% de confianza para β j serán:
β^ ɵ j^ ± tn (^) − k − 1 ; α/ 2 × s ( βɵ j^ ) con s ( βɵ (^) j^ ) = σɵ^2 aj + 1 , j + 1 donde a (^) j + 1 j + 1 es el elemento
correspondiente de la diagonal principal de la matriz ( X X ' )−^1. ● Si empleamos la aproximación asintótica: ɵ ( ɵ^ ) ( , )
j j s (^) j a N
los extremos del intervalos del (1-α)% de confianza para β j serán: βɵ^ j ± z α / 2 × s ( βɵ j^ ).
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Nota: En el MRL Simple
β^ ɵ^0 ± (^2) ; α/ 2 × σɵ^2 1 + 22
^
t − n
X
n Sx^ y^
βɵ^1 ± t (^) − 2 ; α/ 2 × σɵ^22
n nSx
β^ ɵ^0 ± α / 2 × σɵ^2 1 + 22
^
z n
X
Sx^ y^
βɵ^1 ± z α (^) / 2 × σɵ^22
nSx
● Intervalo del 95% de confianza para β 1
βɵ 1 ± σɵ (^) βɵ 1 × 1 96, ⇒ 0 1614, ± 0 0399, × 1 96, ⇒ [ 0 083 0 24, ; , ]
● Intervalo del 95% de confianza para β 2 βɵ 2 ± σɵ (^) βɵ 2 × 1 96, ⇒ 0 0975, ± 0 0637, × 1 96, ⇒ (^) [ −0 027 0 222, ; , ]
● Intervalo del 95% de confianza para β 3
[ ]
ɵ (^) ɵ (^) , , , ,
, ; ,
± × ⇒ − ± ×
E
E E
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● H 0 : β 2 = 0
H 1 : β 2 ≠ 0 Dado que el valor “0” está contenido en el intervalo de confianza al 95% entonces no rechazamos H 0 : β 2 = 0 al 5% (^).
● H 0 : β 1 = 0
H 1 : β 1 ≠ 0
Dado que el valor “0” no está contenido en el intervalo de confianza al 95% entonces
rechazamos H^0 :^ β^1 =^0 al 5%.
4.2. CONTRASTES DE HIPÓTESIS SOBRE LOS PARÁMETROS
A.- CONTRASTES SOBRE EL VALOR DE UN PARÁMETRO:
H 0 : β j =β j^0
● Si suponemos que: Y X (^) 1 ,..., X (^) K ~ N (^) ( β 0 + β 1 X (^) 1 + ...+ β (^) K XK ,σ^2 )
entonces bajo H 0 :
t = βɵ s^^ j^ (− βɵ j β) j
0 ~ tn-k-
● Empleando la aproximación asintótica tenemos que bajo H 0 :
z = βɵ s^ j^ (− βɵ j β ) j a N ( , )
0 ~ 0 1
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0 0 1 0
β β β β
rechazaremos la hipótesis nula si t > tn − 2 , α / 2 ( o si z > z α /2 )
0 0 1 0
β β β β
rechazaremos la hipótesis nula si t > tn − 2, α ( o si z > z α )
0 0 1 0
β β β β
rechazaremos la hipótesis nula si t < − tn − 2, α ( o si z < − z α )
● H 0 : β 1 = 1 H 1 : β 1 < 1
si empleamos la aproximación asintótica entonces bajo H 0 :
z = β s ɵ (^1 β−ɵ (^) ) a N ( , ) 1
z = 0 ,^ 0 0264^5573 , − 1 = − 16 77, < − z α=0 05, = −1 645,
→ SE RECHAZA H 0.
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● CONTRASTE DE SIGNIFICACIÓN INDIVIDUAL DE β 0 H 0 : β 0 = 0 H 1 : β 0 ≠ 0
bajo el supuesto de distribución normal y bajo H 0 :
(^02) 0
ˆ (^) ~ t = s (^ β β ˆ ) tn −
t = 2 32960 2054,^ , = 11 34, > t 36 , α / 2 = 0 025, ≈≈≈≈ 2,
→ SE RECHAZA H 0. β 0 ES SIGNIFICATIVAMENTE DISTINTO DE CERO
● INTERVALO DEL 95% DE CONFIANZA PARA β 1
βɵ 1 ± s ( βɵ^1 ) × 1 96, ⇒ 0 5573, ± 0 0264, × 1 96, ⇒ [ 0 505 0 609, ; , ]
● INTERVALO DEL 95% DE CONFIANZA PARA β 0
βˆ 0 ± s ( β ˆ 0 ) × 1 , 96 ⇒ 2 , 3296 ± 0 , 2054 × 1 , 96 ⇒[ 1 , 927 ; 2 , 732 ]
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Ejemplo: En base a una muestra de 30 observaciones anuales se ha estimado la siguiente ecuación de regresión para la demanda de aceite de oliva en un determinado país: log ɵ , , log , log , log , log ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
y = − 0 05 − 0 29 x + 0 23 x + 0 15 x + 0 09 x 0 05 0 08 0 10 0 09
(^1 2 3 4) R (^2) = 0 75, donde:
y =demanda de aceite de oliva x 1 =precio aceite oliva x 2 =precio aceite girasol x 3 =precio mantequilla x 4 =renta consumidores y los números entre paréntesis son los errores estándar de cada parámetro estimado.
(c) Contrastar la hipótesis de que la elasticidad renta de la demanda de aceite de oliva es cero. La hipótesis a contrastar será: H H
0 4 1 4
Bajo el supuesto de normalidad y bajo H 0 :
t = s (^ β βɵ^4 ɵ 4 ) ~ tn-k-1 t = 0 0 09^ , ,^09 = 1
Como t = 1 < t 25 , α / 2 =0 025, =2 06, → No se rechaza la hipótesis nula de que la elasticidad
renta de la demanda de aceite de oliva es igual a cero.
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(d) Contrastar la hipótesis nula de que el precio de la mantequilla no influye en la demanda de aceite de oliva. La hipótesis a contrastar será: H H
0 3 1 3
Bajo el supuesto de normalidad y bajo H 0 :
t = s (^ β βɵ^3 ɵ 3 ) ~ tn-k-1 t = 0 10^0 ,^ ,^15 =1 5,
Como t = 1 5, < t 25 , α / 2 =0 025, =2 06, → No se rechaza la hipótesis nula de que el precio de la
mantequilla no influye en la demanda de aceite de oliva.
(e) En base al modelo estimado, ¿podemos afirmar que un aumento en el precio del aceite de girasol implicaría un incremento en la demanda de aceite de oliva? La hipótesis a contrastar será: H H
0 2 1 2
Bajo el supuesto de normalidad y bajo H 0 :
t = s (^ β βɵ^2 ɵ 2 ) ~ tn-k-1 t = 0 08^0 ,^ ,^23 =2 875,
Como t = 2 875, > t 25 , α / 2 =0 025, =2 06, → Se rechaza la hipótesis nula. El precio del aceite de
girasol influye en la demanda de aceite de oliva.
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B.- CONTRASTE DE “Q” HIPÓTESIS LINEALES:
¿Cómo se puede contrastar más de una hipótesis sobre los parámetros del MRL Múltiple? ● Por ejemplo:
H 0 : β 1 = β 2 =... = β K = 0
o H 0 1 2
o H 0 1 3 2 4 5
: β β β β β
Ejemplo 2: Modelo sin restringir
Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 +ε
Hipótesis a contrastar H 0 : β 2 + 2 β 1 = 1
Modelo restringido
Y *^ = β 0 + β 1 X *+ε
con Y *^ = Y − X 2 y X *^ = X 1 − 2 X 2
Efectivamente: β 2 + 2 β 1 = 1 ⇒ β 2 = 1 − 2 β 1 ⇒ Y = β 0 + β 1 X (^) 1 + (^) ( 1 − 2 β 1 ) X 2 + ε ⇒ Y − X (^) 2 = β 0 + β 1 ( X (^) 1 − 2 X 2 )+ ε ⇒ Y *^ = β 0 + β 1 X *+ε
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● Sea RS^2 el coeficiente de determinación del ajuste MCO del Modelo Sin Restringir y
i^ ∑= n^ 1 ε^ ɵ iS^2 o SRS la suma al cuadrado de los residuos MCO de dicho modelo.
● Sea RR^2 el coeficiente de determinación del ajuste MCO del Modelo Restringido y i ∑ n =^ 1 εɵ iR^2 o
SRR la suma al cuadrado de los residuos MCO de dicho modelo. Habitualmente este estimador es conocido como de Mínimos Cuadrados Restringidos.
● Si suponemos que:
Y X (^) 1 ,..., X (^) K ~ N (^) ( β 0 + β 1 X (^) 1 + ...+ β (^) K XK ,σ^2 )
entonces bajo H 0 : [“q” hipótesis lineales] ( ) ( ) F R^ R (^ ) R
n K q
S R = (^) S
− ×^
(^1) ~ F q,n-K-
o de modo equivalente:
( ) ( ) F SRR^ SRS^ (^ ) SRS
n K = (^) q − (^) × − − (^1) ~ F q,n-K-
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● Empleando la aproximación asintótica tenemos que bajo H 0 : [q hipótesis lineales]
( ) W (^) ( ) ( )
R R
R n^ K^ qF
S R S a^ q
0 2 22 2 = 1 1
− ×^ −^ −^ =^ ~^ χ
o de modo equivalente: ( ) W (^) ( ) ( )
SRR SRS
SRS n^ K^ qF^ a^ q
0 = −^ × − − 1 = ~ χ 2
● Nótese:
-Se puede demostrar que (^) ( RS^2^ − RR^2 )≥ 0 y que (^) ( SRR − SRS )≥ 0. -El caso visto anteriormente es un caso particular de este contraste.
● H 0 : β 2 − β 3 = 0
H 1 : β 2 − β 3 ≠ 0
entonces bajo H 0 :
( ) W (^) ( ) ( )
R R
R n^ K^ qF
S R S a^ q
0 2 22 2 = 1 1
− ×^ −^ −^ =^ ~^ χ
o de modo equivalente: ( ) W (^) ( ) ( )
SRR SRS
SRS n^ K^ qF^ a^ q
0 = −^ × − − 1 = ~ χ 2
Modelo restringido: Y = β 0 + β 1 X (^) 1 + β 2 ( X (^) 2 + X 3 )+ ε
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Dependent Variable: Y Method: Least SquaresSample: 1 526 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X^ C 1 0.1684930.098557^ 0.1021540.007281^ 1.64940113.53549^ 0.09970. X 2 +X 3 0.009793 0.001103 8.880467 0. R-squared Adjusted R- 0.292491 Mean dependent var 1. squared S.E. of regression 0.2897860.447950^ S.D. dependent varAkaike info criterion^ 0.5315381. Sum squaredresid 104.9446 Schwarz criterion 1. Log likelihood Durbin-Watson -322.4402 F-statistic 108. stat 1.775608^ Prob(F-statistic)^ 0. luego: ( ) W ( ) ( )
0 0 316013^ 0 292491
− ×^ −^ −^ =
W^0 = 17 95, > χ 12 =3 84, Se rechaza H 0
C.- CONTRASTE DE SIGNIFICACIÓN CONJUNTA O GLOBAL:
H 0 : β 1 = β 2 =... = β K = 0
Modelo sin restringir Y = β 0 + β 1 X (^) 1 + ..+ β (^) K XK +ε
Modelo restringido Y = β 0 + ε ⇒ RR^2 = 0
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● Si suponemos que:
Y X (^) 1 ,..., X (^) K ~ N (^) ( β 0 + β 1 X (^) 1 + ...+ β (^) K XK ,σ^2 ) entonces bajo H 0 :
( ) ( ) F R (^ ) R
n K K
S = (^) − (^) S ×
(^1) ~ F K,n-K-
● Empleando la aproximación asintótica tenemos que bajo H 0 :
( ) W (^) ( ) ( )
R
R n^ K^ KF^ a^ K
0 22 2 = (^1) − × − − 1 = ~ χ
Ejercicio: Con objeto de analizar el efecto del gasto en publicidad ( pub ) y del gasto en personal ( gper ) en las ventas de un determinado producto ( y ) se ha obtenido una muestra de 30 marcas que fabrican el producto. Se ha planteado estimar el modelo de regresión:
y = β 0 + β 1 pub + β 2 pub^2 + β 3 gper +ε
donde se ha incluido el gasto en publicidad al cuadrado para ver si el efecto de pub en las ventas depende del nivel del gasto en publicidad. Las variables están medidas en millones de pesetas. Los resultados obtenidos son:
IndependentVariable Coefficent std.Error t-Stat P-Value ---------------------------------------------------------------Constant 52.98 14.44 3.67 0. PubPub (^2) -0.344.11 0.151.70 -2.212.42 0.03610. Gper 4.74 1.02 4.64 0.
Econometría. Tema 4. Curso 2013-14. Pilar Abad 38
R-SQ (ADJ) = 0.4879 S.E.=7.
Var ɵ ( ɵ)
(a) Calcule el efecto que tendría sobre el volumen de ventas un aumento de un millón de pesetas en los gastos en publicidad. Interprete el resultado. Como:
E Y X ( ) = β 0 + β 1 pub + β 2 pub^2 +β 3 gper El efecto de variar los gastos en publicidad ( pub ) en 1 unidad (1 millón de pesetas) sobre el
volumen de ventas medio será β 1 + 2 β 2 pub , es decir, que dependerá del nivel de los gastos
en publicidad. Con esta muestra se estima que el efecto de variar en 1 millón de pesetas pub será:
- 11 − 2 × 0. 34 × pub = 4. 11 − 0. 68 × pub b) Señale en base al p-valor qué variables son significativas al 5% y al 1%. Al 5% son significativas todas ya que todos los p-valores son inferiores a 0.05. Al 1% sólo son significativas la constante y los gastos de personal.
(c) Construya un intervalo de confianza al 99% para el coeficiente de gasto en personal
Los extremos del intervalo del 99% de confianza para β 3 serán:
β^ ɵ 3 ± t n − k − 1 ; α/ 2 × s ( βɵ 3 )
Como:
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β^ ɵ 3 = 4 74. s ( βɵ 3 ) = 10445527. = 1022.
t 30 − 3 1− = 26 ; α/ 2 = 0 005, = 2 , 78
el intervalo queda:
- 74 ± 2. 78 × 1. 02 → [1,9044; 7,5756] (e) Efectúe el contraste de significación global al nivel de significación del 1%. Sabemos que:
σ^ ɵ 2 = VNE / n − k − 1 = 7 1831, 2 =51 6,
R^2 = 0 4879, = 1 − VNE VT^ / / nn^ − −^ k 1 − 1 = 1 − VT^51 /^ ,^629
luego VT = 2922 , 08 VE = VT − VNE = 2922 , 08 − 51 , 6 × 26 = 1580 , 48
