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Departamento de Fundamentos del An·lisis EconÛmico. Universidad de Alicante. Curso 2015/ ESTADÕSTICA E INTRODUCCI”N A LA ECONOMETRÕA Soluciones a los problemas del Tema 6
- La siguiente tabla contiene los resultados de la prueba de aptitud para el acceso a la universidad en Estados Unidos (ACT ) y la nota media en la universidad (GP A) de 8 estudiantes universitarios:
GP A ACT 2 : 8 21 3 : 4 24 3 : 0 26 3 : 5 27 3 : 6 29 3 : 0 25 2 : 7 25 3 : 7 30 Utilizando estos datos:
(a) Estime los par·metros del modelo
GP A = 0 + 1 ACT + u
y presente los resultados en forma de ecuaciÛn. (b) øEl tÈrmino constante se presta a interpretaciÛn en este caso? Explique la respuesta. (c) øEn cu·nto se predice que aumente la nota media en la universidad si el resultado del test de aptitud aumenta en 6 puntos? (d) Calcule los valores ajustados y los residuos para cada observaciÛn y compruebe que la suma de los residuos es cero. (e) øQuÈ valor predice el modelo para la nota media para los individuos que han obtenido 22 puntos en el test de aptitud? (f) øQuÈ proporciÛn de la variaciÛn de GP A de estos 8 estudiantes se explica por ACT?
SoluciÛn:
(a) Tenemos que calcular b (^1) = Sxy S^2 x b (^0) = y b (^1) x
para eso vamos a calcular primero la media de ACT y de GP A; la varianza de ACT y la covarianza entre ACT y GP A
ACT = 25: 875 GP A = 3: 2125 S^2 ACT = 8: 125 SACT;GP A = 0: 83035714
Los par·metros estimados son:
b (^1) =^0 :^83035714 8 : 125
b (^0) = y b (^1) x = 3: 2125 0 : 1022 25 :875 = 0: 5681
y por tanto GP A^ [ = 0:5681 + 0: 1022 ACT
(b) El tÈrmino constante mide la predicciÛn para la variable dependiente cuando la variable explicativa es cero, por tanto como en este ejercicio no tiene sentido que la puntuaciÛn del test de aptitud sea cero, la constante no se presta a interpretaciÛn. (c) El modelo estimado predice que si el resultado del test de aptitud aumenta en 6 puntos la nota media de la universidad aumentar· en 0 : 1022 6 = 0:613 2 puntos. (d) GP A ACT GP A[ = 0:5681 + 0: 1022 ACT bu = GP A GP A[ 2 : 8 21 2 : 7143 0 : 0857 3 : 4 24 3 : 0209 0 : 3791 3 : 0 26 3 : 2253 0 : 2253 3 : 5 27 3 : 3275 0 : 1725 3 : 6 29 3 : 5319 0 : 0681 3 : 0 25 3 : 1231 0 : 1231 2 : 7 25 3 : 1231 0 : 4231 3 : 7 30 3 : 6341 0 : 0659 La suma de los residuos es -0.0002 (no es exactamente cero por los errores de redondeo). (e) El modelo predice que la nota media para los individuos que han obtenido 22 puntos en el test de aptitud es 0 :5681 + 0: 1022 22 = 2: 816 5 puntos. (f) Tenemos que calcular el R^2 R^2 = 1
SCR
SCT
SCR =
X^ n
i=
bu^2 i = 0: 4347 y SCT =
X^ n
i=
(yi y)^2 = 1: 0288 ) R^2 = 1 01 ::^43470288 = 0: 5775. ACT
explica el 57 :75% de la variaciÛn de GP A:
- Considere la funciÛn de consumo lineal estimada utilizando una muestra de ingresos (renta) y consumos (cons) anuales (ambos medidos en dÛlares) para una muestra de 100 familias americanas:
cons d = 124 :84 + 0: 853 renta n = 100 ; R^2 = 0: 692
(a) Interprete el tÈrmino constante de esta ecuaciÛn y comente su signo y su magnitud. (b) Interprete la pendiente de esta ecuaciÛn. (c) øCu·l es la predicciÛn para el consumo de una familia cuyos ingresos son de 25000 dÛlares? (d) øQuÈ proporciÛn de la variaciÛn en el consumo viene explicada por la renta? (e) Suponga que utilizando la misma muestra medimos el consumo de las familias en miles de dÛlares. Calcule los nuevos par·metros estimados del modelo y el R^2 : Si medimos ahora tambiÈn los ingresos en miles de dÛlares, øcu·les serÌan los nuevos par·metros estimados del modelo y el R^2?
SoluciÛn:
(c) Compare los resultados obtenidos en los apartados anteriores para un individuo cuyo salario mensual coincide con el salario medio en la muestra (el salario medio en la muestra es 958 dÛlares). (d) øCu·l de estos modelos supone que el aumento de un 1% en el test de inteligencia IQ tiene siempre, en media, el mismo efecto porcentual sobre wage? En base a ese modelo, calcule la variaciÛn porcentual estimada en el salario ante un aumento del 10 por ciento en el resultado del test. En este modelo, obtenga el incremento salarial que experimentar· un individuo que tenga el salario medio y el resultado de IQ medio de la muestra ante un aumento del 10% en el resultado del test (la media del resultado del test de inteligencia en la muestra 101). Compare este resultado con el obtenido en el apartado b) para dicho individuo. (e) Calcule las pendientes estimadas para cada modelo si medimos el salario en cientos de dÛlares.
SoluciÛn:
(a) El modelo que supone que una variaciÛn en una unidad en la variable explicativa implica una variaciÛn constante en la media de la variable dependiente es el modelo lineal en niveles (1). En este ejercicio, se estima que si IQ aumenta en 10 puntos el salario medio aumentar· en 8 : 3 10 = 83 dÛlares. (b) El modelo que supone que una variaciÛn en una unidad en la variable explicativa supone un cambio porcentual constante en la variable dependiente es el modelo log-nivel (3). En este ejercicio, se estima que si IQ aumenta en 10 el salario aumentar· en media un 100 0 : 0088 10 = 8 :8%. (c) Seg˙n el modelo (1) el aumento del salario en dÛlares serÌa de 83 dÛlares y seg˙n el modelo (3) del 8 :8%, que dado su salario equivale a 0 : 088 958 = 84: 3 dÛlares (muy similar a la estimaciÛn basada en el modelo (1)). (d) El modelo que supone una variaciÛn porcentual constante en la variable dependiente ante un incremento porcentual de la variable explicativa es el modelo en log-log, cuyas estimaciones se presentan en la ecuaciÛn (4). Utilizando dichas estimaciones, se obtiene que ante un aumento de un 10% en el resultado del test, la variaciÛn porcentual media en el salario ser· de un 8 :3%. Para un individuo con los valores medios de las variables, un aumento de un 10% en el test supondr· un aumento de 0 : 1 101 = 10: 1 puntos. Seg˙n el modelo (4), ante este aumento en el resultado del test, el incremento en salario ser·, en media, de un 8 :3%, que dado su salario equivale a 0 : 083 958 = 79: 5 dÛlares. Comparando los resultados con los obtenidos en el apartado b), ante un incremento del resultado del test similar (de 10 puntos) el aumento en el salario medio en este apartado es similar, aunque ligeramente menor, que el que se estima utilzando el modelo (3). (e) Si llamamos wage 100 al salario en cientos de dÛlares tenemos que
wage100 = wage 100 por tanto, en los modelos (1) y (2) tenemos que dividir la pendiente por 100. Es decir en el modelo (1) el coeÖciente estimado de IQ serÌa 1008 :^3 = 0: 083 ; y en el modelo (2) el coeÖciente estimado de log(IQ) serÌa 778100 :^5 = 7: 785 : En los modelos (3) y (4) la pendiente no cambia ya que la variable wage est· en logaritmos.
- Considere el siguiente modelo que relaciona el peso del bebÈ al nacer (peso) con el consumo de cigarrillos de la madre durante el embarazo (cigs)
peso = 0 + 1 cigs + u
Utilizando una muestra de 1388 nacimientos se han obtenido los siguientes resultados
peso d = 3395 : 5 (16:23)
(2:56)
cigs
n = 1388 ; R^2 = 0: 0227
donde peso est· medido en gramos y cigs en n˙mero de cigarrillos diarios.
(a) Interprete la pendiente de esta ecuaciÛn. (b) øCu·l es el peso predicho si la madre no ha fumado durante el embarazo? øy si la madre fuma un paquete diario (cigs = 20)? Comente la diferencia. (c) øImplica necesariamente esta regresiÛn simple que existe un efecto causal del h·bito de fumar de la madre sobre el peso del bebÈ al nacer? Razone su respuesta. (d) Para predecir un peso de 3 kilos y medio øa quÈ tendrÌa que ser igual cigs? Comente la respuesta.
SoluciÛn:
(a) La pendiente, 14 : 57 , mide la variaciÛn estimada en el peso medio ante un aumento de una unidad en el n˙mero de cigarrillos que fuma la madre durante el embarazo. El modelo predice que si las madres fumaran un cigarrillo m·s al dÌa los bebÈs pesarÌan en media 14 : 57 gramos menos.
(b) Si la madre no ha fumado durante el embarazo el peso predicho es de 3395 : 5 gramos. Si la madre ha fumado un paquete diario durante el embarazo el peso predicho es de pesod = 3395 : 5 14 : 57 20 = 3104: 1 gramos. El modelo estimado predice que fumar un paquete de tabaco al dÌa durante el embarazo supone una pÈrdida de peso para el bebÈ de casi 300 gramos.
(c) No, ya que hay muchos otros factores que ináuyen en el peso del bebÈ y que pueden estar correlacionados con el consumo de cigarrillos como la salud general de la madre, el consumo de alcohol u otras substancias, la renta, etc.
(d) Para que el modelo prediga un peso de 3.5 kilos el consumo diario de cigarrillos deberÌa ser negativo, lo cual no tiene ning˙n sentido. El modelo no sirve para ese rango de valores.
- Considere el siguiente modelo que relaciona el tiempo dedicado a dormir con el tiempo dedicado al trabajo remunerado sleep = 0 + 1 totwrk + u donde sleep son los minutos de sueÒo nocturno semanales y totwrk es el n˙mero de minutos de trabajo remunerado a la semana. Utilizando los datos del Öchero SLEEP75 del libro de Wooldridge:
(a) Estime este modelo y presente en forma de ecuaciÛn los par·metros estimados, los errores est·ndar, el n˙mero de observaciones y el R^2. (b) Interprete el tÈrmino constante y la pendiente. (c) øQuÈ porcentaje de la variaciÛn del tiempo dedicado a dormir viene explicado por el tiempo dedicado al trabajo? (d) Si aumenta en dos horas el tiempo semanal dedicado al trabajo, øen cu·nto se estima que disminuir· el tiempo medio dedicado a dormir?
(d) øCÛmo variarÌa el coeÖciente estimado de las ventas si estas se midieran en miles de dÛlares? Razone su respuesta.
SoluciÛn:
(a) Para que la elasticidad sea constante el modelo tiene que ser lineal en logaritmos
log(rd) = 0 + 1 log(sales) + u
1 mide la elasticidad del gasto en I+D con respecto a las ventas.
(b)
Model 1: OLS, using observations 1- 32
Dependent variable: l_rd
coefficient std. error t-ratio p-value
const - 4.10472 0.452768 - 9.066 4.27e-010 ***
l_sales 1.07573 0.0618275 17.40 3.20e-017 ***
Mean dependent var 3.602825 S.D. dependent var 1.
Sum squared resid 8.407684 S.E. of regression 0.
R-squared 0.909835 Adjusted R-squared 0.
F(1, 30) 302.7216 P-value(F) 3.20e- 17
log(^ \rd) = 4 : 105 (0:453)
(0:0618) log(sales)
n = 32 ; R^2 = 0: 91
(c) La elasticidad estimada es 1 : 076 y por tanto un aumento en las ventas del 1% supone un incremento estimado en el gasto en I+D del 1 :076% (d) Puesto que las ventas est·n en logaritmos, el coeÖciente estimado de las ventas no cambia ante un cambio en las unidades de medida de las ventas.
- El Öchero CEOSAL2 del libro de Wooldridge contiene informaciÛn sobre directores generales de empresas americanas. La variable salary es la remuneraciÛn anual en miles de dÛlares y ceoten es el n˙mero de aÒos de antig¸edad en el puesto de director general.
(a) Proponga un modelo para el que un aumento de un aÒo el cargo de director general suponga siempre el mismo aumento porcentual en el salario. (b) Estime el modelo del apartado a) y presente los par·metros estimados, los errores est·ndar, el n˙mero de observaciones y el R^2 en una ecuaciÛn. (c) Interprete la pendiente de esta ecuaciÛn.
SoluciÛn:
(a) Para que un aumento en un aÒo el cargo de director general suponga siempre el mismo aumento porcentual en el salario tenemos que considerar un modelo log-lineal
log(salary) = 0 + 1 coeten + u
(b)
Model 1 : OLS, using observations 1- 177
Dependent variable: l_salary
coefficient std. error t-ratio p-value
const 6.50550 0.0679911 95. 68 4.84e-153 ***
ceoten 0.00972363 0.00636448 1.528 0.
Mean dependent var 6.582848 S.D. dependent var 0.
Sum squared resid 63.79531 S.E. of regression 0.
R-squared 0.013163 Adjusted R-squared 0.
log(^ \salary) = 6 : 51 (0:068)
(0:00636)
ceoten
n = 177 ; R^2 = 0: 013
(c) La pendiente de esta ecuaciÛn supone que un aumento de 1 aÒo en el n˙mero de aÒos que lleva en la empresa el director general implica, en media, un aumento estimado del salario del 100 0 :00972 = 0:972%:
