¡Descarga EDP's Hiperbolic y más Apuntes en PDF de Ingeniería de Transportes solo en Docsity!
EXERCICIS D’EQUACIONS DIFERENCIALS AMB DERIVADES PARCIALS
Apunts recopilats per Guillem Piris
Tipus Hiperbòlic ( fenòmens ondulatoris)
Ara ens plantegem resoldre un nou tipus d’equacions diferencials, les que ens descriuen els fenòmens ondulatoris (vibració d’una corda, ones, ...). La equació diferencial amb derivades parcials que descriu aquests fenòmens és la següent:
ܲ ݑሻሾݔሺ (^) ௧௧ ݑݎ2 (^) ௧ ݑሻݔሺܽሾ െ ሿ (^) ௫ ሿ௫ ሻݐ ,ݔሺܨൌ ݑሻݔሺܥ
Condicions de contorn: Condicions inicials:
ݑଵ ሺݑሻ ൌ 0 ݂ൌ 0ሻ ,ݔሺݑ ሺݔሻ ൌ ∑ܶ (^) ܺሺ0ሻ (^) ሻݔሺ ݂ൌ ሻݔሺ
ݑ (^) ଶ ሺݑሻ ൌ 0 ݑ (^) ௧ ሺݔ, 0ሻ ൌ݃ ሺݔሻ ൌ ∑ܶ (^) ᇱ^ ܺሺ0ሻ (^) ሻݔሺ ݃ൌ ሻݔሺ
Podem observar una diferencia clara amb les equacions resoltes fins ara (problemes de difusió), en aquestes equacions trobem una derivada segona respecte del temps. Això implica que per resoldre el problema necessitem dues condicions inicials. Una de les quals ha de ser de la derivada primera temporal.
Nota : En cas de tractar-se de la vibració d’una corda, la constant P(x) representaria la densitat de la corda, la constant r el fregament i la constant C(x) la elasticitat. En cas de que aquestes variables fossin constant als llarg de la corda, deixarien d’esser funcions d’x.
Resolució:
De la mateixa manera que amb els problemes parabòlics, primer de tot, plantegem l’equació amb les condicions de contorn i inicials.
ܲ ݑሻሾݔሺ ௧௧ ݑݎ2 ௧ ݑሻݔሺܽሾ െ ሿ ௫ ሿ^ ௫ ሻݐ ,ݔሺܨൌ ݑሻݔሺܥ x ∈ ሾ0, lሿ^ t ∈ ሾ0, ∞ሿ
Condicions de contorn: Condicions inicials:
ݑଵ ሺݑሻ ൌ 0 ݂ൌ 0ሻ ,ݔሺݑ ሺݔሻ ൌ ∑ܶ^ ܺሺ0ሻ^ ሻݔሺ ݂ൌ ሻݔሺ
ݑ (^) ଶ ሺݑሻ ൌ 0 ݑ (^) ௧ ሺݔ, 0ሻ ൌ݃ ሺݔሻ ൌ ∑ܶ^ ᇱ^ ܺሺ0ሻ^ ሻݔሺ ݃ൌ ሻݔሺ
La part d’autovalors d’aquest tipus d’equacions es resol exactament igual que amb els problemes anteriors.
Per tant ens plantegem la solució d’aquest problema com: ݊ܶ∑ ൌ ሻݐ ,ݔሺݑ 1 ݐሺ݊ܺሻ ݊ሻݔሺ
i substituïm ሻݐ ,ݔሺݑ^ a l’equació inicial.
ܲ ሺݔሻ ቂܶ (^) ᇱᇱ^ ܺሻݐሺ (^) ሺݔሻ 2 ݎܶ (^) ᇱ^ ܺሻݐሺ (^) ሺݔሻቃ െ ቂܽሺݔሻ ܶ (^) ܺሻݐሺ (^) ᇱ^ ሻቃݔሺ ௫
ܶ ሻݔሺܥ (^) ܺሻݐሺ (^) ሻݐ ,ݔሺܨൌ ሻݔሺ
Recordem: ܺሻݔሺ ܽሾെ (^) ᇱ^ ሻሿݔሺ ᇱ^ ܺሻݔሺܥ ሺݔሻ ൌ ߣ (^) ܲ ܺሻݔሺ (^) ሻݔሺ
Podem incloure P(x), a(x) i C(x) dins els sumatoris i treure factor comú d’aquests.
ܲ ܶሻሾݔሺ ᇱᇱ^ ܺሻݐሺ ܶݎ2 ሻݔሺ ᇱ^ ܺሻݐሺ ܺሻݔሺܽሾ െ ሻሿݔሺ ᇱ^ ሻሿݔሺܶᇱ^ ܶሻݔሺܥ ሻݐሺ ܺሻݐሺ ሻݐ ,ݔሺܨൌ ሻݔሺ
ܲ ܶሻሾݔሺ^ ᇱᇱ^ ܺሻݐሺ^ ܶݎ2 ሻݔሺ ᇱ^ ܺሻݐሺ^ ሺݔሻሿ ሾെሾ ܽሺݔሻܺᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ^ ᇱ^ ሻሿݔሺᇱ^ ܺሻݔሺܥ^ ሻሿݔሺ
ఒ (^) ሺ௫ሻ ܶሺ௫ሻ
ܲ ሺݔሻ ൫ܶ ᇱᇱ^ ܶݎ2 ሻݐሺ ᇱ^ ሺݐሻ ߣ ܶ ܺሻ൯ݐሺ ሻݐ ,ݔሺܨൌ ሻݔሺ
ܶ൫ ᇱᇱ^ ܶݎ2 ሻݐሺ ᇱ^ ሺݐሻ ߣ ܶ ܺሻ൯ݐሺ ሺݔሻ ൌ
Es pot veure que aquest sumatori és l’expressió en sèrie de Fourier de F(x,t) en la base ܺ ሻݔሺ.
ܶ ᇱᇱ^ ܶݎ2 ሻݐሺ ᇱ^ ሺݐሻ ߣ ܶ ሺݐሻ ൌ ܨ ሺݐሻ ൌ නܲ ሻݔሺ
ܺ
D’aquesta manera trobem el coeficient de Fourier ܨ ሻݐሺ.
Un cop aquí per resoldre la EDO anterior cal aplicar les condicions inicials.
ஶ
ܺୀଵ
Observem que aquest sumatori és l’expressió en sèrie de Fourier de f(x) en la base ܺ ሻݔሺ.
ܶ ሺ0ሻ ൌ݂ ݂ሻݔሺ ܲන ൌ ܺሻݔሺ^ ݔ݀ሻݔሺ
Segona condició inicial:
ஶ
ܺୀଵ
Observem que aquest sumatori és l’expressió en sèrie de Fourier de g(x) en la base ܺ ሻݔሺ.
ܶ ′ሺ0ሻ ൌ݃ ݃ሻݔሺ ܲන ൌ ܺሻݔሺ^ ݔ݀ሻݔሺ
Problema temporal:
ܶ ᇱᇱ^ ሺݐሻ ߣ (^) ܶ ሺݐሻ ൌ 0 ൌ ݏ → ܿ݅ݐݏíݎ݁ݐܿܽݎܽܥ ݅݉ò݈݊݅ ܲ → (^) ߣඥെ (^) ݅ൌ ାିߣඥ (^) ൌି
݅ା ାݓ (^) ି
Aquí la única opció és ߣ (^) 0 i per tant la solució del polinomi característic és imaginaria.
ܶ ሺݐሻ ൌ݁ି ௧^ ܣሺ senሺߤ ܤ ሻݐܿ ߤሺݏ ݐሻሻ ݁ି
௧
݁න ௦^ ܨ ߤሺ݊݁ݏሻݏሺ ݏ݀ሻሻݏെ ݐሺ
௧
ܶ ሺݐሻ ൌ ܣ senሺݓ ܤ ሻݐܿ ݓሺݏ ሻݐ
ܶ ᇱ^ ሺݐሻ ൌ ݓ ܣሺ cosሺݓ ܤ െ ሻݐ ݓሺ݊݁ݏ ሻሻݐ
Així: ܶ ሺ0ሻ ൌ ܤ ݂ൌ ܶ݅ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ݓ ܣ ݃ൌ
D’aquesta manera ܶ ሺݐሻ ൌ
௪
senሺݓ ݂ ሻݐ ܿ ݓሺݏ ሻݐ
Solució final del problema:
senሺݓ ݂ ሻݐ ܿ ݓሺݏ ݐሻ൰ ඨ
ஶ
ୀଵ
Exemple 2:
ݑߩ ௧௧ ݑ ܽെ ௫௫ ൌ 0 x ∈ ሾ0, lሿ^ t ∈ ሾ0, ∞ሿ
Condicions de contorn Condicions inicials
Primer de tot, suposem que la solució és de la forma:
ஶ
ୀଵ Ara resolem la part d’autovalors:
ܺܽെ ᇱᇱ^ ܺߩߣ ൌ Solució: ߣ (^) ൌ ఘ
మ^ గ మ ܺమ^ ^
ଶ ఘ
గ
Problema temporal:
ܶ ᇱᇱ^ ሺݐሻ ߣ (^) ܶ ሺݐሻ ൌ 0 ൌ ݏ → ܿ݅ݐݏíݎ݁ݐܿܽݎܽܥ ݅݉ò݈݊݅ ܲ → (^) ߣඥെ (^) ݅ൌ ାିߣඥ (^) ൌି
݅ା ାߥ (^) ି
ܶ ሺ0ሻ ൌ 0 ܶ ′ሺ0ሻ ൌ݃ (^)
ܶ ሺݐሻ ൌ ܣ (^) senሺߥ ܤ ሻݐܿ ߥሺݏ (^) ሻݐ
ܶ ᇱ^ ሺݐሻ ൌ ߥ ܣሺ (^) cosሺߥ ܤ െ ሻݐ ߥሺ݊݁ݏ (^) ሻሻݐ
Així: ܶ ሺ0ሻ ൌ ܤ ܶ݅0 ൌ (^) ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ߥ ܣ (^) ݃ൌ (^) → ܣ (^) ൌ ఔ (^) On:
݃ ݃ߩ න ൌ ܺሻݔሺ^ ݔ݀ሻݔሺ
௫ (^) బ ାఋ
௫ (^) బି ఋ
௫ (^) బ ାఋ
௫ (^) బି ఋ
ଶ ఘ ^ ቂ^
ܿగ ቀ ݏ^
గ ௫ (^) బ ାఋ ^ ቁቃݔ
௫ (^) బି ఋ ൌ
Així la solució final és:
ߥ
senሺߥ ݐሻ൰ ඨ
ஶ
ୀଵ
Exemple 3:
Una corda elàstica de longitud l, tensió a>0 i densitat de massa p>0 té dos extrems fixos. L’esquerre es troba dalt d’un suport d’alçada h>0 i el dret a l’horitzontal. Descobreix la
ܨ ܺሻݐ ,ݔሺܨන ൌ ሻݐሺ^ ݔܭ න ൌ ݔ݀ሻݔሺ ඨ^
ݔ ݀൰ ܭ ൌ ݔ ඨ^
0
Integrant per parts
݈ߨ
݈݊െ
ܿߨ ݏ^ ݊ቀ^
݈ߨ
െ න
݀
݊ଶ
ߨ
ሺെ1ሻ ାଵ^ ሻݐ ݁݀ ݊݁ ݁݀ ݊ሺݐ݊ܽݐݏ݊ܥ ൌ
ට^
ଶ ሻ ݈െ ݔሺ
ቀ ݊݁ݏ^
గ ݔ ݀ቁݔ^ Integrant per parts obtenim
݃ ൌ 0
Ara plantegem el polinomi característic de la part homogènia:
ܶ ᇱᇱ^ ሺݐሻ ߣ (^) ܶ ሺݐሻ ൌ 0 ൌ ݏ → ܿ݅ݐݏíݎ݁ݐܿܽݎܽܥ ݅݉ò݈݊݅ ܲ → (^) ߣඥെ (^) ݅ൌ ାିߣඥ (^) ൌି
݅ା ାߥ (^) ି
Solució imaginaria
ܶ ሺݐሻ ൌ ܣ senሺߥ ܤ ሻݐܿ ߥሺ ݏ ݐ݊݁݀݊݁ ݁݀݊݅ ݁݉ݎ݁ܶሾ ሻݐ ሿ^ ∗
ܶ ሺݐሻ ൌ ܨ ሻݐሺ^ i^ ܨ ሻݐሺ^ és una constant, una solució particular de^ ܶ ሻݐሺ
és ݊ܶ ݐሺሻ^ ൌ
݊ܨ ሻݐሺ ݊ߣ
Així:
ܶ ሺݐሻ ൌ ܣ senሺߥ ܤ ሻݐܿ ߥሺ ݏ ݐሻ
ܶᇱ^ ሺݐሻ ൌ ߥ ܣሺ cosሺߥ ܤ െ ሻݐ ߥሺ݊݁ݏ ሻሻݐ
ܶ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ݃ ൌ ݊ߥ ݊ܣ ൌ 0 → ൌ
Aquesta solució ha de ser exactament igual a la plantejada a través de:
ܶ ሺݐሻ ൌ ሺܣ senሺߥ ܤ ሻݐܿ ߥሺݏ ݐሻሻ
௧
ܶ ′ሺݐሻ ൌ ߥ ܣሺ cosሺߥ ܤ െ ሻݐ ߥሺ݊݁ݏ ݐሻሻ
ܶ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ߥ ܣ ݃ൌ ൌ 0 → ൌ
cosሺߥ ሺ ݐെ ݏሻሻ൨
௧ ௧
ሺ1 െ cosሺߥ ሻሻݐ
Aleshores, ܶ ሻݐሺ té la següent forma
D’aquesta manera, ja podem completar la solució de ܶ∑ ൌ ሻݐ ,ݔሺݒ^ ஹଵ ܺሻݐሺ^ ሻݔሺi
la solució completa l’obtenim substituint a ࢛ ࢚,࢞ሺ ࢜ൌ ሻ ࢚,࢞ሺ ሻ ࢝ሺ࢚,࢞ ሻ.
