¡Descarga Problemas EPD's y más Ejercicios en PDF de Ingeniería de Transportes solo en Docsity!
Problemes d’autovalors
Sigui ߯ ሻݔሺ^ una funció real definida en l’interval [0, l ]. Hem de resoldre el següent problema de contorn:
߯ ܭ ሻݔሺ ᇱᇱ^ ߯ܲߣ ሺݔሻ ൌ 0 ߯ ሺ0ሻ ൌ 0 ߯ ሺ ݈ሻ ൌ 0
Resolució de la EDO:
߯ ሻݔሺ ᇱᇱ^
ఒ ߯ ሺݔሻ ൌ 0 on definim ൌ ߤ ఒ , d’aquesta manera ens queda:
߯′′ ߯ߤൌ 0 (ara, ja no especifiquem que ߯ depèn de x)
Plantegem el polinomi característic de la EDO: 0
2 s es a dir s ^
Resolem la EDO en funció del caràcter de la seva arrel ( )
Observem que és funció de dos constants conegudes (p i k) i de la constant λ que és desconeguda
Donat que desconeixem , hem de plantejar els següents possibles cassos:
Primer cas:^ ^ < 0
Si^ ^ < 0 aleshores
x x
X x C e C e
· 2
·
on C 1 i C 2 son constants arbitràries que queden determinades per les condicions de contorn.
X ( 0 ) X ( l ) 0
Ara, substituïm les condicions de contorn a l’equació i observem si aquest cas^ ^ < 0 és solució de
la EDO:
X ( 0 ) C 1 C 2 0 C 1 (^) C 2
( ) · · 0
· 2
· 1
l l X l C e C e
on substituïm C 1^ ^ C 2 obtenim:
· · 1
l l X l C e e
d’aquí, observem que el terme
l l e e · ·
Per tant l’única solució possible és: C 1^ ^ C 2 ^0 per tant ߯ ሺݔሻ ൌ 0 (solució trivial)
Segon cas:^ ^ = 0
Si^ ^ = 0 aleshores X^ (^ x ) C 1 · x C 2
Juntament amb les condicions de contorn: X (^0 )^ X ( l )^0
Ara, substituïm les condicions de contorn a l’equació observem si aquest cas^ ^ = 0 és solució de
la EDO:
X ( 0 ) C 2 0
X ( l ) C 1 · l 0
Per tant la solució és: C 1^ ^ C 2 ^0 per tant ߯ ሺݔሻ ൌ 0 (solució trivial)
Tercer cas:^ ^ > 0
Si^ ^ > 0 aleshores X (^ x ) C 1 · sen ( ^ · x ) C 2 ·cos(^ · x )
Juntament amb les condicions de contorn: X (^0 )^ X ( l )^0
X ( 0 ) C 2 0
X ( l ) C 1 · sen ( · l ) 0
Observem que per que la solució no sigui trivial ( C 1^ ^ C 2 ^0 ) s’ha de complir:
sen ( · l ) (^0) es a dir · l n ·
Aïllant^ ^ obtenim:
2
2 2 2
2 2
·
· · · · P l
n K K
P l
n n
Observem que la EDO que hem resolt tan sols té solució no trivial per aquestes constants λ. El subíndex ߣ (^) ens indica que tenim infinites constants, una per cada nombre natural n
Així la solució de la EDO és la següent:
· )
· ( ) · ( x l
n X (^) n x Cn sen
2
2 2
·
· · P l
n K n
La solució queda determinada a menys de la constant Cn. És a dir, per a qualsevol valor de Cn l’expressió anterior és solució.
on C 1 i C 2 son constants arbitràries que queden determinades per les condicions de contorn.
X ' ( 0 ) X '( l ) 0
Ara, substituïm les condicions de contorn a l’equació i observem si aquest cas^ ^ < 0 és solució de
la EDO:
ܺ ᇱ^ ሺݔሻ ൌ ܥଵ √െ ߤ݁ ሺ√ିఓ^ ሻ௫^ ܥ െଶ √െ ߤ݁ି ሺ√ିఓ^ ሻ௫
ܺ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ܥଵ √െ ߤെ ܥଶ √െ ߤൌ 0 C 1^ C 2
ܺ ᇱ^ ሺ ݈ሻ ൌ ܥଵ √െ ߤ݁ ሺ√ିఓ^ ሻ^ ܥ െଶ √െ ߤ݁ି
ൌ 0
Si substituïm C 1^ ^ C 2 obtenim:
ܺ ᇱ^ ሺ ݈ሻ ൌ ܥଵ ݁ሺ ሺ√ିఓ^ ሻ^ ି݁െ
ሻ ൌ 0
D’aquí, observem que el terme
l l e e · · (^0)
Per tant l’única solució possible és: C 1^ ^ C 2 ^0 per tant ߯ ሺݔሻ ൌ 0 (solució trivial)
Segon cas:^ ^ = 0
Si^ ^ = 0 aleshores X^ (^ x ) C 1 · x C 2
Juntament amb les condicions de contorn: X '^ (^0 )^ X '( l )^0
Ara, substituïm les condicions de contorn a l’equació observem si aquest cas^ ^ = 0 és solució de
la EDO:
X ' ( 0 ) C 1 0
X ' ( l ) C 1 0
Per tant la solució és: X^ (^ x )^ C 2 ܥ ∀ଵ , d’aquí observem que existeix una ߣ (^) ൌ 0 i una
funció ܺ ሺݔሻ ൌ ԧ(constant).
Tercer cas:^ ^ > 0
Si^ ^ > 0 aleshores X (^ x ) C 1 · sen ( ^ · x ) C 2 ·cos(^ · x )
Juntament amb les condicions de contorn: X '^ (^0 )^ X '( l )^0
ܺ ᇱ^ ሺݔሻ ൌ ܥଵ √ ݑ cos൫ඥ ߤ ݔ൯ െ ܥଶ ݊݁ݏ ݑ√ ൫ඥ ߤ ݔ൯ ൌ
ൌ √ ݑ ሺܥଵ cosሺ√ ߤ ݔሻ െ ܥଶ ݊݁ݏ ሺ√ ߤ ݔሻሻ
ܺ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ √ ߤ ܥଵ per tant ܥଵ ൌ 0
ܺ ᇱ^ ሺ ݈ሻ ൌ െඥ ߤ ܥଶ ݊݁ݏ ൫ඥ ߤ ݈൯ ൌ 0
Observem que per que la solució no sigui trivial ( C 1^ ^ C 2 ^0 ) s’ha de complir:
sen ( · l ) (^0) es a dir · l n ·
Aïllant^ ^ obtenim:
2
2 2 2
2 2
·
· · · · P l
n K K
P l
n n
Observem que la EDO que hem resolt tan sols té solució no trivial per aquestes constants λ. El subíndex ߣ (^) ens indica que tenim infinites constants, una per cada nombre natural n
Així la solució de la EDO és la següent:
· )
· ( ) ·cos( x l
n X (^) n x Cn
2
2 2
·
· · P l
n K n
I la solució completa d’autovalors és la següent:
ߣ ܺ0 ൌ (^) ሺݔሻ ൌ ԧ
ߣ ൌ
݊ ܭ ଶ^ ߨ ݈ଶ ଶ (^) ܺܲ ^ ሺݔሻ ൌ ܥ cos ቀ
݈݊ ߨ ቁݔ
La solució queda determinada a menys de la constant Cn i ԧ. És a dir, per a qualsevol valor de Cn i
ԧ l’expressió anterior és solució.
En particular estem interessats en les solucions que compleixen que ߯|^ |=1 i ߯|^ |=1, lo que fixa el
valor de la constant C (^) n iԧ.
Per trobar el valor de C^ n utilitzem · ·^1
1 , · ·cos
0
(^222)
^
x dx
l
n
X X X PC
l n n n n
On aïllant de l’equació anterior obtenim: C^ n = P · l
Si^ ^ < 0 aleshores
(^) x (^) x X x C e C e
· 2
· ( ) 1 · ·
on C 1 i C 2 son constants arbitràries que queden determinades per les condicions de contorn.
X ( 0 ) X ( l ) X ' ( 0 ) X '( l )
Ara, substituïm les condicions de contorn a l’equació i observem si aquest cas^ ^ < 0 és solució de
la EDO:
ܺ ሺݔሻ ൌ ܥଵ ݁ ሺ√ିఓ^ ሻ௫^ ܥ ଶ ି݁ ሺ√ିఓ^ ሻ௫
ܺ ᇱ^ ሺݔሻ ൌ ܥଵ ඥെ ߤ݁ ሺ√ିఓ^ ሻ௫^ ܥ െଶ √െ ݑ݁ି ሺ√ିఓ^ ሻ௫
ܺ ሺ0ሻ ൌ ܥଵ ܥ ଶ ܥ ൌଵ ݁ ሺ√ିఓ^ ሻ^ ܥ ଶ ି݁ ሺ√ିఓ^ ሻ^ ሻ݈ሺ ܺൌ
ܺ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ܥଵ ܥ െଶ ܥ ൌଵ ඥെ ߤ݁ ሺ√ିఓ^ ሻ^ ܥ െଶ ඥെ ߤ݁ି
ܺൌ ᇱ^ ሻ݈ሺ
Operant les equacions anteriors, obtenim que l’única solució possible, és: ܥଵ ܥ ൌଶ ൌ 0
Segon cas:^ ^ = 0
Si^ ^ = 0 aleshores X^ (^ x ) C 1 · x C 2
Juntament amb les condicions de contorn: X^ (^0 )^ X ( l ) i X^ '^ (^0 ) X '( l )
ܺ ሺݔሻ ൌ ܥଵ ݔ ܥଶ
ܺ ᇱ^ ሺݔሻ ൌ ܥଵ
ܺ ሺ0ሻ ൌ ܥଶ ܥ ൌଵ ܥ ݈ (^) ଶ ሻ݈ሺ ܺൌ ܥଵ ൌ 0
ܺ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ܥଵ ܥ ൌଵ ܺൌ ᇱ^ ሻ݈ሺ
Per tant la solució és: X^ (^ x )^ C 2 ܥ ∀ଵ , d’aquí observem que existeix una ߣ (^) ൌ 0 i una
funció ܺ ሺݔሻ ൌ ԧ(constant).
Tercer cas:^ ^ > 0
Si^ ^ > 0 aleshores X (^ x ) C 1 · sen ( ^ · x ) C 2 ·cos(^ · x )
Juntament amb les condicions de contorn: X^ (^0 )^ X ( l ) i X^ '^ (^0 ) X '( l )
ܺ ሺݔሻ ൌ ܥଵ ݊݁ݏ ሺ√ ߤ ݔሻ ܥଶ cosሺ√ ߤ ݔሻ
ܺ ᇱ^ ሺݔሻ ൌ √ ݑ ൫ܥଵ ܥ െ ൯ݔ ߤ൫ඥ ݏ ܿଶ s en൫ඥ ߤ ݔ൯൯
ܺ ሺ0ሻ ൌ ܥଶ ܥ ൌଵ ݊݁ݏ ሺ√ ߤ ݈ሻ ܥଶ cosሺ√ ߤ ݈ሻ ൌ ܺሺ݈ሻ
ᇱܺ^ ሺ0ሻ ൌ √ ݑ ܥଵ ൌ ඥ ߤ ൫ܥଵ ܥ െ ൯ ݈ ߤ൫ඥ ݏ ܿଶ s en൫ඥ ߤ݈ ൯൯ ൌܺ ′ሺ݈ሻ
Ara tenim dues equacions que formen un sistema:
ܥଵ ܥ െ ൯ ݈ ߤ൫ඥ ݏ ܿൌଶ s en൫ඥ ߤ݈ ൯
ܥଶ ܥ ൌଵ ݊݁ݏ ൫ඥ ߤ ݈൯ ܥଶ cos൫ඥ ߤ݈ ൯
Per poder resoldre el sistema, l’expressem de forma matricial:
ܿቆ
൯ ݈ ߤ൫ඥ ݏ ݊݁ݏെ ൫ඥ ߤ݈ ൯
݊݁ݏ ܿ൯ ݈ ߤ൫ඥ ൯ ݈ ߤ൫ඥ ݏ
ቇ ൬
ܥଵ ܥଶ
൰ ൌ ൬
ܥଵ ܥଶ
൰
Observant l’expressió anterior i recordant que tot vector multiplicat per la matriu identitat, és el mateix vector. Tenim que la nostra matriu de sinus i cosinus ha de ser per força la matriu identitat per complir la igualtat anterior, es a dir:
ܿቆ
൯ ݈ ߤ൫ඥ ݏ ݊݁ݏെ (^) ൫ඥ ߤ݈ ൯
݊݁ݏ (^) ܿ൯ ݈ ߤ൫ඥ ൯ ݈ ߤ൫ඥ ݏ
ቇ ൌ ݀ܫ ൌ ቀ
1 0 0 1
ቁ
Per tant, tenim que:
ܿݏ ሺ√ ߤ ݈ሻ ൌ 1
݊݁ݏ ൫ඥ ߤ ݈൯ ൌ 0
Així: ൌ ߤ
ସ మ^ గ మ
మ^
ൌ
ߣ ൌ
ସ మ^ గ మ^
మ^
Observem que la EDO que hem resolt tan sols té solució no trivial per aquestes constants λ. El subíndex ߣ (^) ens indica que tenim infinites constants, una per cada nombre natural n
Així la solució de la EDO és la següent:
· )
2 ·· ( ) · ( x l
n X (^) ns x Cnssen
2
2 2
·
4 · · · P l
n K n
· )
2 · · ( ) ·cos( x l
n X (^) nc x Cnc
I la solució completa d’autovalors és la següent:
ߣ ܺ0 ൌ (^) ሺݔሻ ൌ ԧ
· l 2 · n ·
