¡Descarga Cálculo numérico I. Segunda prueba - Prof. Peris y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
En primer lugar calculamos las derivadas de 3 :
3 4657(8:9<;>=@?BAC DFE G^ H6IJ(KML^ N^ OQPRTSBUV^ WFX Y^ YZ6[(]_^a`,bc^ df@gBhi
Calculamos ahora las sucesivas diferencias divididas: jlk6mnm oqpTr s tvu"w(xMy z
{l|6}~"q (^)
l ."qT ( ¢¡
£l¤6¥¦¥¦¥ §q¨ª© « ¬ ®v¯"°(±¢²
³l´6μ¶μ¶"·¸q¹º<» ¼¾½À¿ÂÁ ÃÄ<Å Æ¾Ç Æ<È ÉÊ (^) Æ ËÌÎÍÏ Ð
ÑlÒ6ÓÔ"Õ.Ô"ÕÖq×Ø<Ù ÚÛÀÚÂÜ ÝÞ<ß à¾áÀâÂã
âä<à å_æèç
élê6ëìëìëì"íîqïð<ñ ò¾ó ò¾óÀôÂõ ö÷<ø ù¾ú ù¾ú ù<û üý<þ ÿ
!"# $% $% & '
&)($ *,+.-+ - +/ 0 1 2/ 0 354
Finalmente: 6 78 9 8 9 8 9 :9:;<=> ?@ ?@ A @ A BCDE FG FG FG H I
H)JF K2L M N5OPN QNR S TVUXWXY
Es decir: Z [\ ]^]\ ]^]`_acb de fe fe fgfghiVjXkXl
m nporq sutwvxsuqzyvx{5|} s ~ {} X~u}Pxyty zyqpx}c|}zy~ { y|} suqptw~u {xq x~uw{x}PvtwvxX|xsursuqp
~u vx~uw{ t} {~utw~u} {
z p ¡ p¢ £¤ ¥¦§¨©¤ ¥ªz«p¤
¬z® ¯°²±³´pμ¶z·w¸º¹p» ¼½ ¾¿²ÀÁ©½ ¾½zÂý
Si el polinomio buscado es ÄzÅ ÆÈÇÉ,ÊwÆËÍÌÏÎÐÑÌÏÒÐÓÌ5Ô , su primera derivada será ÕÖu× ØÈÙÚ©ÛÃÜwÝ`Þß5à áâÓãÏä y podemos construir el sistema: åzæç èéêë©ç èçÃìzíÃîPïXð ñðpòóÓïXð ñôõï5öø÷ùpñô ùú
ûzüý þÿ ©ý þýÃÿ ! "
#$&%(' ) *,+-.' )/!0213 4 5 67398:.4 5 ;!<
=>&?(@ ABCD.@ ABFE"GH I JLKNMH9OP.I J I!K2I
cuya solución es
G PRQ ,
M SPUTWV , XYUZ , [Y .
Así pues, el polinomio buscado es: ]!^&W`ab,ced fgFhjik"lmon
ÂuÃ<ÄÆÅuÇÉÈÀÊdÇÉÅÌËÍÇÉÅÏÎÑÐÓÒuÊdÔ¼ÕdÅÏÕdÐËÖØ×ÌÅ<ÕdÅÏÕdÐuÙÚÜÛ!ÝßÞ¼àÌá¹àÍâäã åæ!çÓèué2êÉè<ëìÌíuêÉèÌî¹ïÓë!ðñ¼ïÍòóèuôõíöêÉíö÷óñdé¼çÀøÉùuéúïÀé
û±üþý ÿ
ýÿ ý ÿ4ý ! #"%$ & '($) "*" +($, - ./,0 1(" 2 ,3"%%"546+7 8+9;:7 ! # +
Según la fórmula de Lagrange, el polinomio de interpolación en @A , BC , BD , BE es:
FHG
B
JILK
M
ONQPRS TVUOWQXWY ZV[O\Q]^_`
aObc def gVhOij klm nVoOpq rstu v,w x
y
OzQ{|}6~VOQ VO
Q
O6VO VO ¡ ¢
£O¤Q¥¦§6¨V©OªQ«ª¬ V®O¯Q°±²³
´Oμ¶&·¸¹6ºV»O¼½&¾¿À ÁVÂOÃÄ&ÅÆÇÈ É7Ê&Ë
Ì
OÍQÎÏÐ6ÑVÒOÓQÔÓÕ ÖV×OØQÙÚÛ Ü
ÝOÞßàáâ6ãVäOåæçèé êVëOìíîïð ñ òó
ôöõø÷OùQúùû üVýOþQÿþ
!" #$&%'() ( *+
,.-/ 021 3
3
4 56 5 7 89:; <>=@?ABC B DE
F.GH IKJML
N OP O Q RSTU V>W@XYZ[ Z&]
^_a
Derivando dos veces obtenemos:
bdc cfeghjilknmpo
k o>q r stMr s u vwx yz{
| p}~ ~ M~
2 ~p^ ^ >^ KM
p >
y el valor de la segunda derivada en ¢¡ £ es:
¤d¥ ¥f¦§ ¨ ©jªl«n¬p ®¯ °>± ¯ °²M¯ ° ³ ´μ¶ ·¸¹
º p» ¼½ ¾ ¼½ ¾¿M½ ¾ À
Á
À  2à ½ÄpÅ ÆÇ^ È ÉÇ^ È>Ê^ Ç È Ë Ì Ë Í KÎMÏ
Ï
ÐpÑ ÒÓ Ô ÒÓ Ô>Õ Ó ÔÖ
×ØÙ Ú Ù
ÛlÜ
Ü ÝÞÜàß.áÞâäãá
ãáå æçèêé
ë .ì
é
íì
ìî ï2ð ñ
ñ òÞñäóô
ôõ
ö K÷Møêù úÞùàû.ü ý üþ ÿ þ
Es decir:
(),+.-//-!021354,16$7819;:&-!0<->= ?&@BACEDGF!HJIK?ACL
MON NPRQSUTWVX Y ZR[^] _` a bGc^de^f gh i jlkm
nRoqp>rosutv&wEtxsyo{zJv&w|p}syw!zJtw~
p| |p!zo |!o{zqz<w!zo x.o |vxsyw. ro xs5zro |txsyo{z!p|w ^, yBK <&! &BEG!JK>
{q<!R¡ KB&!<EEy¢& £¢^¤ ¥¦O§ ¨©¦^ª«¬® ¯&°±U²W³μ´¶·{¶{¸º¹E»¼
La fórmula será de tipo interpolatorio si y sólo si es exacta para cualquier polinomio de
grado menor o igual que 2. Por tanto, utilizando las funciones ½!¾¿!À Áà, Ä!ÅÆ!Ç ÈÊÉ y Ë!ÌÉ!Í ÈÊÉ&Î
podemos construir un sistema de ecuaciones que nos permitirá calcular ÏÐ , Ï Î
y ÏÑ :
Ò!ÓÔ!Õ ÖÃ×ÙØÛÚÜÖÞÝß à áâ#à áã
ä!åæ!ç èÊæêéìëÜíÞîï ð ñò#ó ôõö
÷!øù!ú ûÊü&ýþ ÿ
La solución es
"!$# %
El error producido al aproximar &('*)+ con el polinomio de interpolación en ,, - . y / , que
llamaremos 0 21*34 , es 5
1 347698(134;:=<2>?@7A9BDCFEGIHGIHKJDHML NPORQST
donde ORQST7UVQSXWZY[^]_X`Za\b^cdXe fhg. Derivando dos veces obtenemos el error en la
aproximación de ikj jFl*mg :
n jjFlmg7o9pkq qFrst;u=v=w wFx*yz7{
{9|D}F~IIKDM(M(M PR ; DFIIKDM(M PF;DFIIK DM¡ ¢P£¤ ¤F¥*¦§
Si ¨ es de clase ©«ª en el intervalo ¬F®I¯K°± , existen ² , ³ , ´¶μ¸·º¹»I¼K½h¾ tales que:
¿DÀFÁÂIÃÂIÃKÄDÃMÅ(ÃMÅ(ÃMÅ Æ=ÇÉÈDÊÌËÎÍÏ ÐÑ
ÒDÓFÔÕIÖÕIÖK×DÖMØ(ÖMØ Ù=ÚÉÛkÜ ÝÌÞºß2à áãâ
äDåFæçIèçIèKéDèMê ë=ìÉíkî îîFïÎð;ñ òó
y el error para ôöõø÷FùúIûKüý será, teniendo en cuenta que þRÿ
, ! "# $%#'& y () )*+ ,- .!/0 1 :
243 3 56 78:9<;>=@?BA CEDGF HJIK LNM O
P Q R>SUTWV
XZY [\]^ _N`
a b bbc@dNe
f g h hij kl
l
mo@pBq
rEsGt uvwx yz{|z} ~N}
>U W
E ! 'N
@N
!
]^acb_d egfhd bijd blkmonpi krqts u_vxwhkcd bzy2ui{|fhd blwhkj}~klR_v Rc)Rkrqb
hs kiRbler_vi krq4nhfhvoRaqt^
Buscamos g conocidos %t , y pr y siendo hA , , A¡l¢¤£g¥ para
£| §¦¨R©o¨ª y «¬¯®°± ².
El polinomio de interpolación de ³´μ¶ en μ%· , μ ¸, μp¹ es:
´μ¶»z¼½¾%¿tÀ+Á%Âoà Ä%ÅRÆÈÇ ÉrÊÌËÍÎzÍ%ÏtÐ+Ñ%ÒoÓ Ô%ÕRÖÈ× ØÖÈ×pÙ ÚÌÛÜÝzÜ%Þtßàáâzã äåæ
æzçèé%êtë+ìîí
ï
ðñ òó+ô%õö÷%øtù
úûîü ýþ
û
þ%ÿ
Integrándolo entre 6 y 7 tenemos:
):<; =?>A@B=DCE;"F$GH'I JK L MNOP'QR STUV WX Y Z[
$]^ `_ a"b$cd'e)fhgi
j
k l mnopqr stuv wx y z{
E"$' D"$') ¡¢ £¤ ¥ ¦§¨§©«ª ¬ "®$¯°'±)² ³² ´ μ¶·¸¹º »¼½¾ ¿À Á ÂèÃ
que nos da finalmente la expresión buscada:
Ä
Å
)Æ<Ç È?ÉAÊBÈDËÍÌ
Î
Ï
"Ð$ÑÒ'Ó)ÔÖÕ×Ø Ù ÚÛÜ ÝÞ ßàáâãäå æ çè¨è
éëêíìîBïñðóòõô÷öøöúù ûîüî¨ýÿþ òõô"î û û ïñîöð !"$#&%(' )+*-,.0/1#2' )
304
4 65798!:<; 8 >=+?@ABDCE?@-F$GH
IKJLI0MNPO0QN+R&NSTNQUPV2U+R&UWXY&UZ1X U V2I[STNPV2U+Z]I Y&US^U+X [&NW`$&I^ab
c IY&ISTNWXed NY&V2U+W N+f-US0Z1_2W N NYQIS0X US0ghV2I Z]UPJiQjSTNS^`$_&I\I0MX JiQI Y V2UPJLOKUY&JiQNYQIKJlknm!oprqts uwv xyz{
|}~ KL$&(~ }+- 012~ }
9!< >j j+DEjr ¡£¢
¤K¥L¦0§¨P©0ª¨+«&¨¬T¨ªP®2+«&¯°±&²1° ®2¦\³¬T¨P®2+²]¦ ±&¬^+° ³´&¨¯μ$´&¦^¶·¹¸º§«$¬T¦K»¼¨¬\½n¾!¿ÀrÁt ÃÄÅ2Æ&Ç È ÉÆ Ê2Ë
ÌnÍÏÎÐ
Para que la fórmula sea exacta para cualquier polinomio de grado menor o igual que 3
basta con que lo sea para las funciones ÑÒ9ÓÔÖÕØ× , ÙÚ9ÛÜÖÝßÞ , àá9ÞâÖÝßÞ&ã , äå9æçÖèßé$ê :
ëì9íîÖïØð>ñ ò0ó
ó6ôõ9ö!÷<ø ö>ù
ú0û
û]ü ý>þ ÿ
! #" $&%
%(') ,+.-/
2 &
3 465/41798 :;<=> ?@ ABCDFEHGIEJD9K
LM NOP!QSRUT V&W
W(XY Z,[./Z1]
^&_
_Sacb/1d ae fghij kg lmnoFp6qsrIp6q
tu vwx!vyIz {&|
|(}~ ,./1
&
/ 19
&
( ,./1F I9
La ecuación 6sI6¡ ¢ admite una solución única en el intervalo £ ¤¥¦¨§ que es ©Jª «¬.
La generalización se consigue con un cambio de variable que nos convierta el intervalo ¯®±°&²°¨³ en el ´¯μ·¶¹¸»º ; este cambio de variable es ¼1½¿¾ÁÀÂà ÄÅÇÆÁÈÉÊ^ , ËsÌÍ¡Î ÑÏÐ ÏÐ Ò
Ó
. Con este
cambio de variable, Ô/Õ1Ö¿×ÁØÙÚ ÛÜ^ ; llamando ÝßÞ Ü.àáãâ^ äÁåæç^ èéÇêÁëìí^ :
î
ï ð ñ ò,ó.ô/ò1õ
ö&÷
÷Jøßùú.ûsüþýJÿ
"!$#% '&)(",+-. 0 / 12 "1436587$9;:"<4=?>A@@
donde:
= 6BDCEF H G I?JLK
J M H NKOQSR P T
U T V W X
Y [Z]\ ^`_ a[_]a b
c
d?e`fgh i j k 'l)m"n$oLp
o q r s
q `tvu wSx y
z y { | }
~ y
~ { `y
~ []
TVUWYX[Z]\ ^_`a$bdc e fgh"i$j&k lmno
p?qAr st
q
tuv
Integramos ahora:
w
x
zyV{|Y}Y~|-
$d "$&
?A
? A¡¢
¤ §¢¨d© ª« ¬«¯®
± ´¢μd¶ ·¸ ¹ º
y sustituyendo »¸ por su valor queda finalmente:
z¾V¿ÀYÁYÂÀ-ÃÅÄ
Æ
Ç
È?ÉAÊCËzÌ Í ÌÎÏÐ$Ñ&Ò ÓÔÕ"Ö×Ö
Con lo que la fórmula buscada es:
Ø
Ù
ÛÚ ÜÝYÞYßÝ-àÅá
â
ã
ä?åAæCçzè é èêëì$í&î ïðñ"ò×ò
y los parámetros pedidos son:
óõô÷öùøûú¢öÅü
ý
þ
BA
CED
D
F
HG
IKJLHM N/O
PRQ2S3T-U5VXW2SEY[Z0T-U\0]*^U&ZRaab;cBdR]/e&f9`dR]>g\0] hjilk9m
Para calcular esta integral de forma exacta es suficiente con la fórmula para tres puntos,
n0o
,
n
qp
,
n
Rr
, que se suele llamar de sutwv (y probablemente sea lo que quiere decir el
enunciado).
La fórmula de Gauss-Chebyshev para tres puntos es:
xEy
y
z
5R
/2B
2q
Aplicándola a este caso:
B
¢¡[£ ¡
©«ª^ ¬
,&/13
68c"&
/
& A
U^ ¡ ¢¤£Z¢P¢P¥¦§¢P¨P¨^
©|ª¬«A© ® ¯ ¡° ±¤²Z±§³P³±P´
® §μ ³
¶?·
¸ ¹
¶ º » U¼ ½¡¾ ¿¤ÀZ¿§Á¿§ÁÂ
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ÄÅÇÆAÄ È É Ê ¡Ë ̤ÍZÌPÎ§Ï ÈUФÑÒÈ^ Î
Ó Ô Õ Ö
Ó × Ø UÙ Ú¡Û Ü¤ÝZÜÞ
Ù PÙPßPà Þ §á
âhãåäAâ æç è¡é ê¤ëìPì æ §í
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ï ó ô Uõ ö¡÷ ø¤ù
ô ûúPüýPþPõPýPý
ÿ Aÿ ^
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%'&)(*% +, -. / 0 123 4
, 5
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=> ?@ A B CDEFD
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GIH9J*G K L M N OPKOQRTSQO S
U9V W X Y
U Z[
Z\ ]^ _ `
[ $a$a'bTZc\
dIe9f*d gh ij klnm
h m g o
k p qk
r9s t u v
r wyx
wz {| } ~
w yx Tw w
T *q Iq
Con lo que, finalmente:
¡ ¢
£ y¤¥
¢
¥ ¦ §$¨ ¦
