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Prueba 1 An´alisis num´erico
- Utilizando el m´etodo de Newton-Raphson:
a) Justifique la convergencia del m´etodo utilizando el teorema de convergencia local.
R: Proponemos la funci´on f (x) = x^3 − 71. Note que f ′( 3
71)^2 6 = 0. Adem´as f (x) tiene derivadas con´ınuas hasta el orden 2: f ′(x) = 3x^2 y f ′′(x) = 6x son cont´ınuas en R. Por lo tanto es aplicable el teorema de convergencia local.
b) Justifique la convergencia del m´etodo utilizando el teorema de convergencia global aplicada a alg´un intervalo.
R:Note que 64 < 71 < 125 entonces 4 < 3
71 < 5. Luego, consideramos el intervalo [4, 5] y la funci´on f (x) = x^3 − 71. Entonces:
- f ∈ C^2 (R) como ya fue notado.
- f (a)f (b) = f (4)f (5) = − 378 < 0
- f ′(x) = 3x^2 6 = 0 para todo x ∈ [4, 5].
- f ′′(6x) ≥ 0 para todo x ∈ [4, 5].
- m´ax{ (^) ||ff ′^ (4)(4)|| , (^) ||ff ′^ (5)(5)|| } = m´ax{ 0 , 1458 , 0 , 72 } ≤ 1 = 5 − 4. Por lo tanto se satisfacen las hip´otesis del teorema de convergencia global del m´etodo de Newton. c) Aproxime el valor de 3
71 con cuatro decimales correctos.
R:El t´ermino general del m´etodo de Newton est´a dado por
xn+1 = xn −
f (xn) f ′(xn)
= xn −
x^3 n − 71 3 x^2 n
= xn −
xn 3
x^3 n
2 xn 3
3 x^2 n
xn+1 =
2 xn 3
3 x^2 n Tomemos x 0 = 4. Por el teorema global del m´etodo de Newton se sigue que el m´etodo de Newton es convergente. Entonces: x 1 = 4, 14583 x 2 = 4, 14583
d ) Escriba el t´ermino general de la sucesi´on generada por el m´etodo de Newton. Escoja un punto inicial para el cual el m´etodo es convergente, indique la velocidad de convergencia y realice 5 iteraciones indicando el error relativo y absoluto correspondiente a la 5ta iteraci´on.
R: El error absoluto est´a dado por
EA(xn+1) ≤ M EA(xn)
y EA(xn+1) ≤ M 4 EA(x 1 ) donde M =
sup x∈[4,5]
|f ′′(x)| |f ′(x)|
sup x∈[4,5]
6 x 3 x^2
Por lo tanto, EA(xn+1) ≤ M 4 EA(x 1 ) =
| 4 , 14583 − 4 | = 5, 69648 × 10 −^4
Y el error relativo est´a dado por
ER(x 5 ) =
EA(x 5 ) |x 5 |
- Considere la funci´on f (x) = (x − 0 ,1)(x − π/3).
a) Proponga intervalos de modo que cada uno de ellos contenga exactamente una ra´ız de f (x). Haga esto con cada una de las ra´ıces de f (x). Justifique.
R: Las ra´ıces de f (x) son x 1 = 0,1 y x 2 = π/3. Los intervalos [0; 0,2] y [1; 1,2] contienen exactamente una ra´ız, a saber, x 1 = 0,1 y x 2 = π/3 respectivamente.
b) Utilize el m´etodo de bisecci´on para aproximar π con tres cifras decimales exactas. Justifique.
R: Note que f (1)f (1,2) < 0 por lo que podemos aplicar el m´etodo de bisecci´on en el intervalo [1; 1,2]. La soluci´on que aproximaremos es x 2 = π/3. Requerimos que el error de la aproximaci´on sea tal que la aproximaci´on de π tenga precisi´on < 10 −^3. Si > 0 es el error de aproximaci´on para π/3 entonces:
3
(π 3
= π ± 3
Por lo tanto, imponemos la condici´on 3 < 10 −^3 ⇒ < 10 −^3 / 3 < 3 , 3334 × 10 −^4 < 10 −^4. O sea, buscamos la iteraci´on para la que el error de aproximaci´on para π/3 sea menor que 10−^4 :
|xn − π/ 3 | <
b − a 2 n+^
< 10 −^4
2 n+^
< 10 −^4 ⇒ n >
log 10100 ,−^24 log 10 2
Por lo tanto debemos realizar al menos 10 iteraciones para obtener la precisi´on deseada.
- Claramente 2 ≤ 2 + 0,5 cos x ≤ 3 para todo x ∈ R, en particular,
2 ≤ g(x) ≤ 3 ∀x ∈ [1, 3],
por lo que g([1, 3]) ⊂ [1, 3].
- Note que |g′(x)| = | 0 ,5 sin x| ≤ 0 , 5 < 1 para todo x ∈ R. En particular,
|g′(x)| ≤ k ∀x ∈ [1, 3],
donde k = 0, 5 < 1. Luego, g(x) es una contracci´on en [1, 3]. Por lo tanto la sucesi´on xn+1 = g(xn) converge a un ´unico punto fijo c ∈ [1, 3] para cualquier x 0 ∈ R. Claramente este punto fijo es la ra´ız positiva de f (x).
c) Utilizando la constante de contracci´on encontrada en (b) y un x 0 para el cual el m´etodo de punto fijo converge indique el orden de convergencia del m´etodo y calcule el n´umero de iteraciones necesarias para obtener 25 cifras decimales de precisi´on de la ra´ız positiva de f (x) en (b).
R: Calculemos el n´umero de iteraciones necesarias para obtener un error < 10 −^25 utilizando x 0 = 2 (ver ´ıtem d))
|xn − c| <
kn 1 − k
|x 1 − x 0 | < 10 −^25 ⇒ n >
log (1−k)
− 25 |x 1 −x 0 | log k
por lo tanto se deben realizar al menos 82 iteraciones para obtener el error deseado.
d ) Haga 5 iteraciones utilizando x 0 e indique el error relativo y absoluto de la quinta iteraci´on.
R: Tomemos x 0 = 2 ∈ [1, 3]: x 1 = g(2) = 2, 20807 x 2 = 2, 29750 x 3 = 2, 33221 x 4 = 2, 34497 x 5 = 2, 34956
Puntaje: Cada ´ıtem vale 5 puntos
