Ejercicio de aproximación normal a la binomial, Ejercicios de Estadística

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Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Economía

Probabilidad y Estadística

Unidad 2 Distribuciones de probabilidad

Actividad 6

Profesor. David Avilés

Domingo 5 de abril del 2020

Introducción:

6.5 Aproximación normal a la binomial

Una distribución normal por lo general es una buena aproximación a una distribución

discreta si esta es simétrica.

El siguiente teorema permite aproximar el área bajo la curva normal

Si X es una variable binomial con μ =np y σ ²=npq la forma limitante será:

Z =

X − np

√ npq

Conforme n → ∞ , es la distribución estándar n(z;0,1)

Cuando n es pequeña se puede percibir en los gráficos como el área de interés al

buscarla por la distribución normal tiene un buen acercamiento al resultado dado

mediante la distribución binomial. Brinda una excelente aproximación cuando n es muy

pequeña y p este razonablemente cerca de ½.

Se hace necesario usar una regla para acercarse a variables x discretos por medio de

la distribución normal y es usar x+5. Por lo que se formaliza la aproximación normal

formal a la binomial:

P ( X ≤ x )= ∑

k = 0

x

b ( x ;n , p ) ≈ P ( Z ≤

x + 0.5− np

√ npq

La aproximación será buena si np y n(1-p) es igual o mayor que 5.

Ejercicios:

6.24 Se lanza una moneda 400 veces. Utilice la aproximación de la curva normal para

encontrar la probabilidad de obtener

μ =

√ npq =

a ) entre 185 y 210 caras inclusive;

Z 1 =

=−1.55 ; Z 2 =

P ( 185 < x < 210 ) ≈ P (−1.55< Z < 1.05)=¿

Con ayuda de la tabla A.

Z =

Con la ayuda de la tabla A.

P ( x < 8 ) ≈ 0.

6.28 Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de

Salud informan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los

tranquilizantes funcionan muy bien para lograr que una persona esté más tranquila y

relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que

μ = 80 ∗0.75= 60 ; √ npq = √

√

a ) al menos 50 tengan esta opinión?

Z =

√

Con la ayuda de la tabla A.

P ( x > 49.5) ≈ 1 −0.0034=0.

b ) a lo más 56 tengan esta opinión?

Z =

√

Con la ayuda de la tabla A.

P ( x <56.5 ) ≈ 0.

6.30 Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura una

enfermedad de la sangre, en promedio, en 80% de las veces. Para verificar la

aseveración, inspectores gubernamentales utilizan el medicamento en una muestra de

100 individuos y deciden aceptar la afirmación si se curan 75 o más.

a ) ¿Cuál es la probabilidad de que la aseveración se rechace cuando la probabilidad de

curación es, de hecho, 0.8?

La media y la varianza se sacan con la población

μ = 100 ∗0.8= 80 ; √ npq = √

Siendo la muestra, x=

Z =

Con la ayuda de la tabla A.

P ( x <74.5 ) ≈ 0.

b ) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación cuando la

probabilidad de curación sea

tan baja como 0.7?

μ = 100 ∗0.7= 70 ; √ npq = √

Z =

En la tabla A.

P ( x >74.5 ) ≈ 1 −0.8365=0.

6.36 Una práctica común por parte de las compañías de aviación consiste en vender

más boletos que el número real de asientos para un vuelo específico, porque los

clientes que compran boletos no siempre se presentan a tomar el vuelo. Suponga que

el porcentaje de pasajeros que no se presentan a la hora del vuelo es 2%. Para un

vuelo particular con 197 asientos, se vendieron un total de 200 boletos. ¿Cuál es la

probabilidad de que la aerolínea tenga una sobresaturación del vuelo?

La aerolínea tendrá saturación si algunos de los 3 sobrevendidos se presentasen.

μ = 200 ∗0.02= 4 ; √ npq = √