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19. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS BASADAS EN LA
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
19.1. Formas geométricas fundamentales.
Un conjunto de elementos fundamentales agrupados en especies: puntos, rectas y planos es una forma geométrica.
19.1.1. Formas geométricas de 1º categoría. Son las formadas por elementos de la misma especie: Serie rectilínea. Es el conjunto de punto que pertenecen a un a recta llamada base de la recta.
Haz de rectas : Es el conjunto de rectas de un plano que pasan por un punto, llamado vértice del haz:
Haz de planos : Es el conjunto de planos que pasan por una recta, llamada arista:
19.1.2. Formas geométricas de 2º categoría. Son las formadas por elementos de distinta especie además de por las formas de 1º categoría: Forma plana. Es el conjunto de todos los puntos y rectas que pertenecen a un plano.
Radiación de rectas : Es el conjunto de rectas del espacio que pasan por un punto:
Radiación de planos : Es el conjunto de planos que pasan por un punto O: 19.1.3. Formas geométricas de 3º categoría. Es el conjunto de todos los puntos, las rectas y los planos del espacio, incluidas las formas de 1º y 2º especie.
19.2. Homografía.
La homografía es una transformación proyectiva que establece una correspondencia entre dos formas geométricas, de forma que a un elemento, (punto o recta), de una de ellas le corresponde otro elemento de la misma especie de la otra. Transformaciones homográficas: Traslación Simetrías. Giro. Homotecia. Homología. Afinidad.
19.3. Homología.
La homología es una transformación que no es isomórfica ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Transforma los puntos del plano: A, B, C…en puntos del plano A’, B’, C’,.., de modo que:
- dos puntos homólogos A y A’ están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homología
- dos rectas homólogas r y r’ se cortan en una recta doble llamada eje de la homología
- existe un coeficiente de homología, k = (OM AA’), la razón doble en la que O es el centro, A y A’ un par de homólogos y M punto doble de la recta OA.
19.4. Homotecia.
Es una homología con el eje en el infinito. La homotecia es una transformación isomórfica y no isométrica, pues mantiene la forma de la figura que transforma, pero no su tamaño. Transforma los puntos del plano: A, B, C,.. en puntos del plano A’, B’, C’,.., de modo que:
- dos puntos homólogos A y A’ están alineados con un punto fijo O que es el centro de la homotecia
19.7. Translaciones.
Las translaciones son isomórficas e isométricas. Son homologías con el eje y el centro en el infinito. La translación de un punto A una magnitud m , según una dirección d y en un sentido dado es un punto A’ tal que: AA’ = m es paralelo a d e indica el sentido dado.
19.8. Inversión.
La inversión es una transformación que hace corresponder a un punto A otro punto A’ cumpliendo las siguientes condiciones: 1ª.- Ambos puntos están alineados con otro punto fijo O , llamado centro de inversión. 2ª.- El producto de las distancias de ambos puntos al citado centro de inversión es un valor constante, K llamado potencia de inversión, es decir; OA x OA’ = K
