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Grado en Ingenier´ıa en Energ´ıa
Introducci´on a Octave y Tutorial de ´Algebra Lineal
1 Introducci´on a Octave
Octave es un entorno integrado de programaci´on y visualizaci´on dise˜nado principalmente para c´alculo num´erico. Es muy similar a Matlab, tanto en sintaxis como en la forma de uso mediante m-files o archivos .m. Tienen un alto grado de compatibilidad (ambos escritos en C y C++).
Algunas p´aginas y enlaces de inter´es:
- Web de Octave: https://www.gnu.org/software/octave/
- Documentaci´on:
- Manual de referencia: Eaton, Bateman, Hauberg, Wehbring “GNU Octave. Free your numbers” en https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf
- Menos extenso es este, y una buena primera toma de contacto es el tutorial r´apido que pod´eis encontrar aqu´ı.
- Descarga de paquetes: http://octave.sourceforge.net. Por ejemplo symbolic para utilizar polinomios de manera simb´olica o lineal-algebra (en principio no necesarios para el curso).
1.1 Octave 4 GUI (Graphical User Interface)
La versi´on 4 de Octave ya trae incorporada un entorno gr´afico que permite usarlo de manera c´omoda.
Partes de la GUI
- Directorio actual y Explorador de archivos: donde Octave busca archivos .m
- Espacio de trabajo: donde almacena las variables que vamos usando.
- Historial de comandos: donde se guardan todos los comandos ejecutados.
- Ventana de comandos: L´ınea de comandos o instrucciones para que Octave ejecute (2+2, sin(2.23).. .). Podemos hacerlo todo desde esta ventana, es donde realmente se encuentra Octave. - Calculadora muy potente. - Muestra los errores que cometemos. - Permite comprobar c´alculos r´apidamente - Si se ejecutan muchos comandos, y sobre todo si hay errores frecuentes, es dif´ıcil seguir el rastro de lo que se ha hecho.
- Editor: (Recomendado) Crea archivos .m y los ejecuta con el s´ımbolo
- Octave ejecuta el archivos l´ınea a l´ınea de arriba a abajo, excepto aquello que siga al caracter % (comentario).
- Permite ordenar los c´alculos que se van haciendo y crear secuencias. Adem´as, modificar un dato o c´alculo en cualquier parte de la secuencia es muy sencillo.
a = 2.33; printf(’La soluci´on es %f \n’,a)
que muestra por pantalla: La soluci´on es a = 2. 3300
En el comando % indica la posici´on en donde se sit´ua la variable a, la letra f le da un formato (ver tabla) y \n hace realiza un salto de l´ınea al finalizar.
%f n´umero en coma flotante (decimal) %e notaci´on cient´ıfica %g como %f o %e pero sin ceros a la derecha %i n´umero entero %c caracter %s cadena de caracteres (string)
Otros comandos ´utiles que se pueden incluir dentro del comando son:
%n nueva l´ınea %t tabular %b elimina un espacio
Para incluir varias variables el orden de los % coincide con el orden de las variables separadas por comas al final del comando. Por ejemplo,
niter = 9;z = log(10); printf(’En %i iteraciones obtenemos %g \n’,niter,z)
con resultado: Al cabo de 9 iteraciones el el resultado es 2.30259.
2 Tutorial ´Algebra Lineal
2.1 Definici´on de matrices y vectores
Un vector se define escribiendo sus elementos separados por comas.
v = [1, -3, 4, 0, -2, 15, 1]
Octave tamb´en permite no usar las comas y simplemente separar los elementos con un espacio:
v = [1 -3 4 0 -2 15 1]
Podemos recuperar los elementos de un vector escribiendo la posici´on que ocupan entre par´entesis (Ojo! los vectores en Octave empiezan en la posici´on 1) y usando los dos puntos : si queremos que nos devuelva intervalos. Por ejemplo,
v(2) recupera −3, el elemento en la posici´on 2 v(2:6) recupera − 3 , 4 , 0 , − 2 , 15 los elementos entre las posiciones 2 y 6.
Una matriz se define escribiendo los elementos de cada una de las filas, separando cada fila con un punto y coma. Por ejemplo,
A = [1,2,3 ; 4,5,6 ; 7,8,9]
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Podemos definir por tanto un vector columna de la siguiente forma:
w = [1;2;3;4;5;6]
aunque como veremos enseguida podremos definirlo usando la traspuesta: w = [1,2,3,4,5,6]’
Los elementos dentro de una matriz se pueden obtener de nuevo mediante la posici´on que ocupan dentro de la matriz. Por ejemplo,
A(2,3) devuelve 6
A(2:3,2:3) devuelve la submatriz
Podemos tambi´en definir una matriz a partir de vectores, por ejemplo
v1 = [1,2,3,-1,2] v2 = [-1,0,1,0,0] v3 = [0,0,0,0,5] A = [v1; v2; v3] Construye A colocando v1, v2 y v3 en filas
2.2 Creando matrices
eye(n) - Crea la matriz identidad In de orden n × n. ones(m,n) - Crea una matriz de orden m × n con todas las entradas igual a 1. zeros(m,n) - Crea una matriz de orden m × n con todas las entradas igual a 0. rand(m,n) - Crea una matriz de orden m × n con entradas aleatorias. diag(v) - Crea una matriz diagonal con los elementos del vector v en la diagonal. diag(A) - Crea un vector con los elementos de la diagonal de la matriz A.
2.3 Operaciones con matrices
Las operaciones suma, resta y producto de matrices usual se denotan por ∗, +, −. Si se quiere hacer una operaci´on t´ermino a t´ermino hay que a˜nadir un punto antes del s´ımbolo de la operaci´on. Por ejemplo, prueba con los comandos
A = [1,4; 5,0];B = [-1,2; 1,3]; AB A.B
Pr´actica
Utiliza Octave para resolver los siguientes ejercicios:
- Dado el vector v = (1, 4) y la matriz A =
calcular 2vA.
- Dadas las matrices
A =
, B =
C =
calcular A^3 At^ − BC y A^3 At^ − CB. ¿Pueden realizarse las dos operaciones? ¿Por qu´e?
- Resuelve los sistemas lineales
x 1 − 2 x 3 = − 1 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 = 1 3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = − 1 − 2 x 1 + x 2 + 3x 4 = 2
x 2 − x 3 + x 4 = − 1 2 x 1 + 2x 2 − 3 x 3 + 4x 4 = − 6 4 x 1 + 2x 2 − 4 x 3 + 6x 4 = − 10 2 x 1 + 3x 2 − 4 x 3 + 5x 4 = − 7
¿Tienen ambos soluci´on ´unica? En caso de que alguno no lo sea, justifica si es compatible indeterminado o incompatible.
- Define una matriz aleatoria A de orden 5 × 5 y un vector aleatorio b en R^5. Resuelve el sistema Ax = b. ¿Obtienes soluci´on ´unica? ¿Crees que es una coincidencia o dado un sistema lineal aleatorio Ax = b lo m´as probable es que exista una ´unica soluci´on?
- ¿Son los vectores v 1 = (− 1 , 2 , − 3 , 0 , 3 , 5 , 6), v 2 = (− 1 , − 4 , 3 , 4 , 6 , 5 , 1), v 3 = (2, 3 , 4 , 2 , − 2 , − 2 , 0) y v 4 = (− 11 , − 7 , − 29 , − 14 , 10 , 15 , 11) de R^6 linealmente independientes?
- Comprobar si el conjunto { 1 − x^2 , 1 − x + 3x^2 + x^3 , x + 4x^2 + 3x^3 , − 1 − x + x^2 + x^3 } es base del espacio vectorial R 3 [x] de polinomios de grado menor o igual a 3.
- Razona si son o no diagonalizables los aplicaciones lineales cuyas matrices respecto de la base can´onica son las siguientes:
A =
, B =
En caso de que lo sean, indica la base en la que la aplicaci´on lineal diagonaliza, la matriz diagonal y la matriz de paso.
Pr´actica - Soluciones
- 2vA = (− 4 , 14).
- A^3 At^ −BC =
(^) mientras que la operaci´on A^3 At^ −CB no puede realizarse
ya que los ´ordenes de A^3 At^ y CB no coinciden.
- El primer sistema tiene soluci´on ´unica (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (− 0. 6 , 0. 5 , 0. 2 , 0 .1). El segundo es un sistema compatible indeterminado (rg(A) = rg(A|b) = 2 < 4).
- Los comandos para resolver un sistema aleatorio 5 × 5 son A = rand(5,5) b = rand(5,1) solucion = A\b No es una casualidad, lo m´as probable es que sea un sistema compatible.
- Mediante los comandos A = [v1;v2;v3;v4] rank(A) obtenemos que el rango es 3 y por tanto son linealmente dependientes.
- Como R 3 [t] ∼= R^4 , el ejercicio es equivalente a comprobar si los vectores w 1 = (1, 0 , − 1 , 0), w 2 = (1, − 1 , 3 , 1), w 3 = (0, 1 , 4 , 3) y w 4 = (− 1 , − 1 , 1 , 1) forman una base de R^3. Como son 4 vectores en un espacio de dimensi´on 4 es suficiente con demostrar que son l.i., que por ejemplo hacemos viendo que el determinante A = [w1;w2;w3;w4] det(A) es distinto de 0.
- Para la matriz A obtenemos los autovalores λ 1 = 0, λ 2 = 1 y λ 3 = 2 con autovectores v 1 = (9. 4281 · 10 −^1 , 2. 3570 · 10 −^1 , − 2. 3570 · 10 −^1 ), v 2 = (− 8. 1650 · 10 −^1 , − 4. 0825 · 10 −^1 , 4. 0825 · 10 −^1 ) y v 3 = (− 4. 8093 · 10 −^16 , 9. 4868 · 10 −^1 , 3. 1623 · 10 −^1 ) respectivamente. Como los tres autovalores son distintos, la matriz A es diagonalizable. En cuanto a la matriz B, vemos que tiene autovalores λ 1 = 2.0000, λ 2 = 5.5000 + 5. 2678 i y λ 3 = 5. 5000 − 5. 2678 i, dos de ellos complejos y por tanto la matriz B no es diagonalizable (en R).
