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Grado en Ingeniera en Energ´ıa
Tutorial Octave - C´alculo
Funciones elementales en Octave
Octave tiene incluidas la gran mayor´ıa de las funciones que se usan de manera cont´ınua para resolver problemas de C´alculo. Por ejemplo:
- Mediante el comando help o simplemente buscando en Google se encuentra su sintaxis.
- Una de las grandes ventajas de Octave es que puede evaluar funciones en vectores o ma- trices. Si utilizamos una funci´on elemental (como las de la figura de la tabla de arriba) el vector o matriz se eval´ua t´ermino a t´ermino. Por ejemplo, prueba los comandos:
sqrt([1 4 9 16]) cos([-5.35, 232, 4, 55, 34.98, -100])
Creando funciones
- Funciones en linea. Se definen como cadenas de caracteres con el comando inline: f = inline(’x.∧2-3*x+2’,’x’) Define la funci´on x^2 − 3 x + 2 como funci´on de x. f = inline(’sin(x)’,’x’) Define sin(x) como funci´on de x. f = inline(’y./sin(x)’,’x,y’) Define y sin(x) como funci´on de x e y.
Como la funci´on puede ser evaluada en vectores o matrices, debemos indicar que las opera- ciones ∗, ∧, / tienen que hacerse t´ermino a t´ermino, es decir, siempre se escribe un punto antes de ∗, ∧, / cuando se vayan a evaluar vectores. Por ejemplo, si hubi´eramos definido:
f = inline(’x∧2-3*x+2’,’x’) entonces el comando f(34) funcionar´ıa pero f([1,2,3,4]) no ya que la multiplicaci´on [1, 2 , 3 , 4]∧2 solo puede hacerse si es t´ermino a t´ermino. El punto antes de estas operaciones no es necesario si estamos haciendo operaciones en- tre n´umeros 1/ 3 , sin(3) ∗ log(5),... etc. o si por ejemplo multiplicamos 3 ∗ x ya que la multiplicaci´on por escalar ya se hace t´ermino a t´ermino. Una vez tengamos definida una funci´on de esta forma, podemos evaluar puntos o vectores:
f(3) v = [2, 3, 4, 5]; f(v)
- Funciones an´onimas. El uso de funciones inline puede hacerse mediante funciones an´onimas sin usar cadenas de caracteres de manera muy similar. En este caso se utiliza la arroba @ seguida por las variables de la funci´on en par´entesis:
f = @(x) x.∧2-3*x+2; f = @(x) sin(x). f = @(x,y) y./sin(x); De hecho Matlab recomienda el uso de funciones an´onimas frente a las inline.
- Tambi´en podemos definir funciones utilizando el comando function... endfunction: function y = fun(x) y = x.∧2-1+exp(x); endfunction
A esta funci´on podremos llamarla y evaluarla siempre que queramos: fun(43) 3.*fun(v)
Este tipo de funciones suele guardarse en un archivo .m (en el directorio de trabajo) de forma separada al que se le llama cada vez que queramos utilizar la funci´on.
Presentaci´on de Gr´aficas
- Para dibujar varias funciones en la misma ventana se van a˜ndiendo al comando plot de dos en dos: f = inline(’x.*sin(x)’,’x’); g = inline(’sin(x)./x’,’x’); I = [-5:0.01:5]; plot(I,f(I),I,g(I)) Despu´es de cada ”pareja de vectores” se pueden incluir atributos de color, forma, etc. I = [-5:0.25:5]; plot(I,f(I),’b’,I,g(I)),’ok’)
- Para dibujar distintas gr´aficas en distintas ventanas se usa el comando figure antes de cada plot: figure(1) f = inline(’x.*sin(x)’,’x’); figure(2) g = inline(’sin(x)./x’,’x’);
- Para dibujar varias subventanas en la misma imagen se utiliza el comando subplot. La idea es crear una matriz de m filas por n columnas en donde incluir las gr´aficas e ir indicando d´onde incluir cada con un ´ındice. Por ejemplo, f = inline(’x.*sin(x)’,’x’); g = inline(’sin(x)./x’,’x’); I = [-5:0.001:5]; subplot(2, 1, 1) Crea una matriz de 2 filas y 1 columna plot(I,f(I)); Dibuja f en la primera casilla subplot(2, 1, 2) Activa la segunda casilla plot(I,g(I)); Dibuja g en la segunda casilla
- Podemos a˜nadir despu´es de cada plot comandos para incluir un t´ıtulo, nombres en los ejes, leyendas, etc. f1 = inline(’cos(x)’,’x’); f2 = inline(’sin(x)’,’x’); I = [-5:0.01:5]; plot(I,f1(I),I,f2(I)) title(’Funciones seno y coseno’) legend(’cos(x)’,’sin(x)’) xlabel(’eje x’); ylabel(’eje y’)
El comando fzero
Dada cualquier funci´on de una variable f (x), mediante el comando fzero Octave puede darnos la soluci´on o ra´ız de la ecuaci´on f (x) = 0 que se encuentre cerca de alg´un valor x = c. Por ejemplo, si queremos calcular la ra´ız de la ecuaci´on x^2 − 3 = 0 cerca del punto x = 1, entonces escribimos:
f = inline(’x.∧2 - 3’,’x’); fzero(f,1)
Ayuda: Utiliza la gr´afica de f para para calcular el valor c cercano a la ra´ız.
Pr´actica
Utiliza Octave para resolver los siguientes ejercicios:
- Calcula las siguientes operaciones
a = ln(3. 56 · 106 ) √ 5 cos(4.2)
b =
e ln 5 + sin(2π)
- Representa gr´aficamente las siguientes funciones en los intervalos que se indican
(a) y = x + 1 x^2 − 3
, x ∈ [2, 4]
(b) y = arcsin(x − 5) x ∈ [4, 6]
- Utiliza el comando subplot para dibujar en el intervalo [− 1 , 1] en distintas subventanas las siguientes funciones
y = ex (^2) − 2 , y = sin(x^2 + 1), y = ln
( (^) x^2 x^2 + 1
Escribe en cada una de las gr´aficas los t´ıtulo ”Figura 1”, ”Figura 2” y ”Figura 3” respecti- vamente.
- Dibuja en la misma gr´afica las funciones
f (x) = e
x+ 3 x (^) , g(x) = ln(x^2 + 5x − 2)
en el intervalo [0, 6].
- Utiliza el comando fzero para determinar los cortes con el eje x de las funciones f y g del apartado anterior.
- Encuentra una aproximaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on xex^ −2 = 0 en el intervalo [− 2 , 2].
- Busca informaci´on sobre el comando roots y util´ızalo para calcular las ra´ıces del polinomio p(x) = x^5 − 4 x^3 + 2x^2 − 3.
