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RELACIONES DE

EJERCICIOS

BIOESTADÍSTICA

RELACIÓN 1. Cálculo de Probabilidades

1. ¿Cuáles de los siguientes pares de sucesos son mutuamente excluyentes? a) A: El hijo de Maria tiene hemofilia. B: La hija de Maria es portadora de hemofilia. b) A: El 65% de las semillas de guisante que han sido plantadas germinarán. B: El 50% de las semillas de guisante que han sido plantadas no germinarán. c) A: Jorge sufre hipotermia. B: La temperatura de Jorge es de 39 o C. d) A: Un paciente tiene SIDA. B: El paciente ha recibido una transfusión de sangre. e) A: El animal es un mamífero. B: El animal es un delfín. C: El animal está cubierto de pelo. f) A: El bosque es una extensión virgen. B: El bosque fue talado hace 10 años. Solución: a) Los sucesos no son mutuamente excluyentes; b) Los sucesos sí son mutuamente excluyentes; c) Los sucesos sí son mutuamente excluyentes; d) Los sucesos no son mutuamente excluyentes; e) Los sucesos A y B no son mutuamente excluyentes, los sucesos A y C no son mutuamente excluyentes, los sucesos B y C sí son mutuamente excluyentes; f) Los sucesos son mutuamente excluyentes
2. La diabetes constituye un problema durante el embarazo tanto para la madre como para el hijo. Entre las embarazadas diabéticas se presentan hidroamnios en un 21% de los casos, toxemias en un 25% y deterioro fetal en un 15%. En un 6% de los casos se presentan otras complicaciones. Supongamos que estas complicaciones no se presentan simultáneamente en un mismo embarazo. Si se elige al azar una mujer diabética embarazada, a) ¿Cuál es la probabilidad de que exista algún tipo de complicación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el embarazo sea normal? Solución: a) 0.67; b) 0.
3. Aunque el tétanos es infrecuente en España, es mortal en el 70% de los casos. Si tres personas contraen el tétanos en el periodo de un año, ¿cuál es la probabilidad de que mueran al menos dos de los tres? Solución: 0.
4. Los datos recogidos en un banco de sangre concreto indican que el 0.1% de todos los donantes da positivo en el test para el virus de inmunodeficiencia humana (VIH), el 1% da positivo para el test del herpes y el 1.05% da positivo para uno u otro de estos problemas. Se elige al azar un donante: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un donante tenga ambos problemas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un donante no tenga ninguno de estos problemas? Solución: a) 0.0005; b) 0.

11. En una ciudad el 10% de la población tiene 65 años o más, el 5% de la población total padece insuficiencia cardiaca moderada y el 12% de la población tiene 65 años o más o padece insuficiencia cardiaca moderada. Eligiendo un individuo al azar: a) Calcular la probabilidad de que un individuo tenga 65 años o más y padezca insuficiencia cardiaca moderada. b) ¿Son independientes los sucesos: “tener 65 años o más” y “padecer insuficiencia cardiaca moderada”? c) Si un individuo tiene 65 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que padezca insuficiencia cardiaca moderada? d) Si un individuo es menor de 65 años, ¿cuál es la probabilidad de que padezca insuficiencia cardiaca moderada? Solución: a) 0.03; b) Los sucesos A y B no son independientes ; c) 0.3; d) 0.
12. La cuarta parte de una población se ha vacunado contra una enfermedad contagiosa. En una epidemia se comprueba que por cada enfermo vacunado hay cuatro sin vacunar. ¿Ha sido efectiva la vacuna? Solución: La vacuna es efectiva
13. En una ciudad el 40% de las personas tienen el pelo rubio, el 25% los ojos azules y el 15% el pelo rubio y los ojos azules. Se selecciona una persona al azar. Calcular las siguientes probabilidades: a) Tener el pelo rubio si tiene los ojos azules. b) Tener los ojos azules si tiene el pelo rubio. c) No tener el pelo rubio ni los ojos azules. d) Tener exactamente una de estas dos características. Solución: a) 0.6; b) 0.375; c) 0.5; d) 0.
14. En un estudio sobre alcohólicos se informa que el 40% de los mismos tiene padre alcohólico, el 6% madre alcohólica y el 42% al menos uno de los padres alcohólicos. Obtener la probabilidad de que elegido uno al azar: a) Tenga ambos padres alcohólicos. b) Tenga una madre alcohólica si lo es el padre. c) Tenga una madre alcohólica pero no un padre alcohólico. d) Tenga una madre alcohólica si el padre no lo es. Solución: a) 0.04; b) 0.1; c) 0.02; d) 0.
15. Dos de las causas de muerte identificadas en una cierta raza de liebres de alta montaña son: baja cantidad de azúcar en sangre y convulsiones. Se estima que el 7% de los animales muertos presenta ambos síntomas, el 40% tiene baja cantidad de azúcar en sangre y el 25% sufre convulsiones. a) ¿Cuál es el porcentaje de muertes producidas por causas que no sean las que hemos mencionado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un animal elegido aleatoriamente que tiene baja cantidad de azúcar en sangre sufra también convulsiones? Solución: a) 0.42; b) 0.
16. Se está experimentado con 3 tipos de tipos de semillas de trigo, A, B y C. Se sembró una parcela en la que germinaron un 60% de plantas del tipo A, un 35% del tipo B y un 5% del tipo C. El porcentaje de espigas con más de 50 granos de trigo es del 20% para el tipo A, del 90% para el tipo B y del 45% para el tipo C. Se elige una espiga al azar: a) Calcular la probabilidad de que tenga más de 50 granos. b) Si la espiga elegida tiene más de 50 granos, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? Solución: a) 0.4575; b) 0.

17. En un centro de transfusiones, se sabe que la probabilidad de que una unidad de sangre proceda de un donante remunerado es 0.28. Si el donante es remunerado, la probabilidad de que la unidad contenga el suero de la hepatitis es 0.0144. Si el donante es desinteresado, esta probabilidad es 0.0012. Si un paciente recibe una unidad de sangre, ¿cuál es la probabilidad de que contraiga hepatitis como consecuencia de ello? Solución: 0.
18. En un laboratorio hay 3 cajas. La caja 1ª contiene 2 cobayas marrones y 3 blancas, la 2ª caja 4 marrones y 2 blancas y la 3ª caja 5 marrones y 5 blancas. Se elige una caja al azar y se extrae una cobaya: a) Calcular la probabilidad de que la cobaya elegida sea blanca b) Si la cobaya elegida resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera caja?

Solución: a)

; b) 0.

19. De los síntomas observados en un enfermo se deduce, por larga experiencia clínica, que puede tener la enfermedad A con probabilidad 0.5, la enfermedad B con 0.4 y la enfermedad C con 0.1. Para precisar el diagnóstico se somete al paciente a una prueba que da resultado positivo en las personas que padecen las enfermedades A, B y C con probabilidades 0.3, 0.98 y 0.2 respectivamente. a) Calcular la probabilidad de que la prueba de resultado positivo. b) Si la prueba da resultado positivo, ¿cuál enfermedad es más probable que padezca el enfermo? Solución: a) 0.562; b) Si la prueba da resultado positivo, la enfermedad más probable que padezca el enfermo es la B
20. Tres cobayas A, B y C están siendo tratadas con tres tratamientos experimentales distintos, T1, T2, y T3 respectivamente, para curar una enfermedad. La probabilidad de curación con el T1 es igual a 1/6, con el T2 es igual a 1/4 y con el T3 es igual a 1/3. a) Calcular la probabilidad de que exactamente una cobaya se cure. b) Si solo una cobaya se cura, calcular la probabilidad de que sea la A. c) Se elige una cobaya al azar y está curada, ¿cuál es la probabilidad de que sea la cobaya B?

Solución: a)

; b)

; c)

21. En una facultad el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres miden más de 1.75 m. de estatura. Además el 60% son mujeres. Se elige un estudiante al azar y mide más de 1.75 m. de estatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solución: 0.
22. Un investigador esta estudiando tres drogas D 1 , D 2 , D 3. Al inyectar las drogas a conejillos de indias, las probabilidades de que se forme una antitoxina son iguales a 1/4 para la nº 1, 1/8 para la nº 2 y 3/ para la nº 3. Hay 1 frasco de la nº 1, 3 de la nº 2 y 1 de la nº 3. El investigador toma un frasco al azar y con esta droga inyecta a un conejillo: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se forme antitoxina? b) Si al conejillo no se le forma antitoxina, ¿cuál es la probabilidad de que la droga inyectada fuese la nº 2? Solución: a) 0.8; b) 0.

7. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica, se inyecta a ratas albinas un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco: a) ¿Cuántas ratas se espera que mueran? b) Calcular las probabilidades siguientes: b1) Probabilidad de que mueran 5 ratas Mueran al menos 2 ratas. b2) Probabilidad de que al menos 8 ratas lleguen vivas al final del experimento Solución: a) 2; b1) 0.0264; b2) 0.
8. En el agua de una ciudad se han detectado dos tipos de bacterias A y B nocivas para la salud. Se ha detectado una concentración media de 2 bacterias de tipo A por cada cm^3 de agua y se sabe que las bacterias están aleatoriamente distribuidas, a) ¿Qué distribución de probabilidad se puede aplicar en esta situación? b) Obtener la probabilidad de que en 3 cm^3 de agua se encuentren al menos 2 bacterias de tipo A. Así mismo se ha detectado una concentración media de 3 bacterias de tipo B por cada cm^3 de agua. Obtener las probabilidades de que en un cm^3 de agua se encuentren: c) 4 bacterias de tipo A o B d) Menos de 3 bacterias de tipo A o B Solución: a) X es el número de bacterias nocivas en un cm^3 de agua → P(λ=2); b) 0.1219; c) 0.0016; d) 0.
9. Un portador de tuberculosis tiene un 10% de posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que no ha estado expuesto a ella. Durante un día entra en contacto con nueve de tales personas. Calcular: a) Número medio de personas a las que se les trasmite la enfermedad b) Calcular las probabilidades siguientes: b1) Probabilidad de que se les transmita la enfermedad a 4 personas b2) Como máximo se les transmita la enfermedad a 2 personas b3) Al menos se les transmita la enfermedad a 2 personas Solución: a) 0.9; b1) 0.0074; b2) 0.947; b3) 0.
10. Una solución contiene 3 tipos de virus A, B y C. En un mm3 de solución hay una media de 2 virus de tipo A, 4 virus de tipo B y 3 virus de tipo C. Obtener las siguientes probabilidades: a) En 3 mm3 de solución haya más de 1 virus de tipo A b) En 4 mm3 de solución haya 5 virus de tipo B c) En 2 mm3 de solución haya 7 virus de tipo A o C d) En 1 mm3 de solución haya 8 virus de tipo A, B o C. Solución: a) 0.9826; b) 0.01198; c) 0.0901; d) 0.
11. En un depósito de agua se ha detectado una concentración media de 0.25 bacterias nocivas por cada cm^3 de agua. Supuesto que las bacterias están aleatoriamente distribuidas, ¿cuál es la probabilidad de que en una extracción al azar de un volumen de 10 cm^3 se encuentren menos de 3 bacterias nocivas? Si la concentración fuera de 2 bacterias nocivas por cada 30 cm^3 de agua, ¿cuál sería la probabilidad de que en una extracción al azar de un volumen de 10 cm^3 se encontraran más de 3 bacterias nocivas? Solución: 0.544; 0.

12. La probabilidad de que un enfermo reaccione desfavorablemente después de aplicarle un calmante es 0.01. Si dicho calmante se le aplica a 200 personas, determinar a) La ley de probabilidad b) Media y desviación típica c) Probabilidad de que a lo sumo dos enfermos reaccionen desfavorablemente.

Solución: a) X → P( λ= 2); b) E X( ) = 2 ; D Tipica. = 2 ; c) 0.

13. Una solución contiene virus bacteriófagos T4 en una concentración de 6.10^6 por mm3. En la misma solución hay 3.10^6 bacterias E. Coli por mm^3. Suponiendo que los virus se distribuyen al azar entre las bacterias, se pide el porcentaje de bacterias que: a) No están infectadas por virus b) Están infectadas c) Tienen al menos 2 virus fijados sobre ellas d) Tienen exactamente 2 virus fijados sobre ellas. Solución: a) 13.5 %; b) 86.47 %; c) 59.4 %; d) 27.07 %
14. Por larga experiencia se ha determinado que la meningitis por salmonela, enfermedad rara pero muy grave en los lactantes, produce una mortalidad aproximada del 60% aún cuando sean tratados con cloranfenicol, seguido de tetraciclinas. En un hospital ingresaron 16 niños lactantes atacados por la enfermedad, en un brote epidémico en una gran ciudad. Se pide calcular la probabilidad de que: a) Sobrevivan más de la mitad b) Sobrevivan todos c) Mueran todos d) El número de supervivientes esté comprendido entre 6 y 10, incluidos estos extremos. Solución: a) 0.142; b) 0.000000429 ; c) 0.000282 ; d) 0.
15. La incidencia de una enfermedad en un determinado país fue de aproximadamente 25 casos por cada 100000 habitantes. Se pide la probabilidad de que: a) En una ciudad de 60000 habitantes se dieran 6 casos o menos b) En una ciudad de 80000 habitantes se dieran b1) 6 casos o menos y b2) 10 casos o menos. Solución: a) 0.007632 ; b1) 0.000255122 ; b2) 0.

Solución: a) 0.0228; b) 0.7881; c) 0.0603; d) 0.9192; e) 0.1069;

6. Sea X la cantidad de radiación que puede ser absorbida por un individuo antes de que le sobrevenga la muerte. Supongamos que X es Normal con una media de 500 roentgen y una desviación típica de 150 roentgen. a) ¿Por encima de qué nivel de dosificación sobreviviría solamente el 5% de los expuestos? b) ¿Cuál es el porcentaje de supervivientes para un nivel de radiación de 800 roentgen? c) Obtener los cuartiles de esta distribución. Solución: a) 746.75; b) 2.28%; c) Q 1 = 398.75; Q 2 = 500; Q 3 = 601.
7. Supóngase que en cierto organismo vivo sometido a un tipo de radiación se están produciendo células tumorales con una tasa promedio de 5 cada minuto. Es de interés conocer ciertas probabilidades en relación a la producción de dichas células. a) ¿Qué modelo de probabilidad se asociaría a la situación descrita anteriormente? b) Si la producción de células tumorales por minuto supera el valor de 3 se considera situación de alerta moderada. ¿Qué probabilidad hay de que esto suceda? c) Calcular la probabilidad de que el número de células tumorales producidas no sea superior a 2. d) Supongamos que, por motivos anómalos, la tasa promedio pasa a ser 25. Calcular la probabilidad de que el número de células tumorales producidas sea superior a 24. Solución: a) X → P( λ= (^5) ); b) 0.735; c) 0.1246; d) 0.
8. Se estima que una enfermedad vírica se consigue curar sin secuelas en un 1% de los casos. A un bioestadístico se le plantea el problema de valorar las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que en una muestra aleatoria de individuos enfermos, de tamaño 15, se produzcan 2 curaciones satisfactorias sin secuelas b) Probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 100 se produzcan entre 1 y 3 curaciones sin secuelas, c) Probabilidad de que en una muestra de tamaño 1000 se produzcan más de 12 curaciones. Solución: a) 0.0092; b) 0.6131; c) 0.
9. La media de las temperaturas obtenidas en una región durante un año es de 25ºC y la desviación típica de 10ºC. Si las temperaturas obedecen a una ley normal, calcular la probabilidad de que en un día elegido al azar la temperatura a) Esté comprendida entre 20 y 30 grados, b) Difiera de la media por lo menos en 5ºC Solución: a) 0.383; b) 0.
10. Si se clasifican los cráneos en dodicacéfalos cuando el índice longitud-anchura es menor que 75, mesocéfalos si está entre 75 y 80, y branquicéfalos si es superior a 80. Hallar la media y la desviación típica de una serie en la que el 65% son dodicacéfalos, el 34% mesocéfalos y el 1% branquicéfalos. Suponiendo que la distribución es normal. Solución: μ = 74.00718; σ = 2.

RELACIÓN 4. Teoría de la Estimación

1. La concentración media de dióxido de carbono en el aire en una cierta zona no es habitualmente mayor que 335 p.p.m.v. (partes por millón en volumen). Se sospecha que esta concentración es mayor en la capa de aire más próxima a la superficie. Se ha analizado el aire en 20 puntos elegidos aleatoriamente a una misma altura cerca del suelo, resultando una media muestral de 580 p.p.m.v. y una cuasidesviación típica de 180. Suponiendo normalidad para las mediciones, dar una estimación puntual para la concentración media de dióxido de carbono cerca del suelo y calcular un intervalo de confianza al nivel de confianza 0.95. Solución: I C.. =[ 495.7584 ; 664 2416. ]
2. Ante la sospecha de una diferencia sistemática entre dos laboratorios A y B a la hora de determinar la cantidad de albúmina sérica, expresada en gr./100ml., se ha realizado una experiencia consistente en la extracción de sangre a 10 pacientes. Para cada muestra de sangre se midió tal proteína en ambos laboratorios y las diferencias entre laboratorios (A–B) fueron las siguientes:

0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.3, 0.5, –0.5, 1.3, 0.4, 0.

Considerando normalidad, calcular un intervalo de confianza para la diferencia media de medición al nivel de confianza 0.9 considerando que la desviación típica de las diferencias poblacionales es 0.22. A este nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo de muestra deberíamos tomar para que la amplitud del intervalo fuese menor o igual que la mitad del anterior? Solución: I C.. =[ 0.4656; 0 6944. ]

3. Para evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestación de una zona sometida a stress turístico, para el que se ha solicitado una subvención pública, se analiza la composición en mg. por cm^3 de desechos orgánicos del territorio. Los datos que se obtienen son:

10.87, 9.01, 22.50, 12.35, 17.39, 31.05, 17.19, 16.74, 20.33, 19.32, 23.18, 25.15, 15.49, 20.30, 2.38, 13.55, 9.33, 22.72, 10.96, 25.90, 27.66, 9.74, 18.65, 9.31, 24.60, 17.41, 24.86, 15.34, 23.34, 22.81, 17.

Considerando normalidad, estimar mediante un intervalo de confianza la dispersión de la distribución de los datos (considerar un nivel de confianza de 0.95). Solución: I C.. =[ 27.9543; 78.2054]

4. Con el fin de estudiar el efecto de los rayos X sobre la viabilidad huevo-larva en “Tribolium castaneum” se irradiaron 1000 huevos de los que resultaron 572 larvas. Hallar un intervalo de confianza para la proporción de larvas en huevos irradiados al nivel de confianza del 0.95. Solución: I C.. =[ 0.5413; 0.6027]

10. En una experiencia genética se extraen 20 moscas de una caja experimental. Medida la longitud del ala en cada mosca se obtuvieron los siguientes valores: 93, 90, 97, 90, 93, 91, 96, 94, 91, 91, 88, 93, 95, 91, 89, 92, 87, 88, 90, 86 Suponiendo que la longitud del ala sigue una distribución normal, hallar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para los parámetros μ y σ^2. Solución: I C. .( μ ) = (^) [ 89.8761; 92.6239]; I C.. (^) ( σ 2 ) =[ 4.9772;18.3780]
11. Queremos comparar dos métodos rápidos para estimar la concentración de una hormona en una solución. Tenemos 10 dosis preparadas en el laboratorio y vamos a medir la concentración de cada una con los dos métodos. Se obtienen los siguientes resultados:

Dosis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Método A 10.7 11.2 15.3 14.9 13.9 15 15.6 15.7 14.3 10. Método B 11.1 11.4 15 15.1 14.3 15.4 15.4 16 14.3 11.

Calcular un intervalo de confianza al nivel 0.9 para el cociente de varianzas y la diferencia de concentraciones medias (considerar normalidad e independencia). Solución: I C Cociente de. .( var ianzas ) =[ 0.3531; 3.5709] I C. .( Diferencia de medias ) = − [ 1.7158;1.3558]

12. Se quieren comparar dos métodos, A y B, para determinar el calor latente de fusión del hielo. La siguiente tabla da los resultados obtenidos (en calorías por gramo de masa para pasar de –0.72ºC a 0ºC) usando reiteradamente ambos métodos:

A: 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80. B: 80.02 79.94 79.98 79.97 79.97 80.03 79.95 79.

Considerando normalidad e independencia, obtener un intervalo de confianza al nivel 0.95 para comparar las mediciones medias obtenidas por ambos métodos. Solución: I C.. =[ 0.0152; 0.0732]

14. En el análisis de un pigmento contenido en una cierta flor de una planta vegetal se obtuvieron los siguientes resultados experimentales, expresados como mg de pigmento por gramo de flor: 2.08, 2.11, 2.39, 2.08, 2.12, 2.23, 2.17 y 2.11. Considerando normalidad, calcular un intervalo de confianza para el número medio de mg de pigmento por gramo de flor, así como para su varianza (nivel de confianza 0.99) Solución: I C. .( μ ) = (^) [ 2.0313; 2.2913]; I C.. (^) ( σ (^2) ) =[ 0.003808; 0.0782]
15. Un grupo de investigadores está interesado en conocer la concentración media de una enzima en cierta población de algas. Se sabe por experiencias previas que la varianza de la concentración de esta enzima es de 35. Si se obtiene una muestra de tamaño 15 dándonos un nivel de concentración media de 18 calcular un intervalo de confianza al nivel 0.95 (se supone normalidad). Solución: I C.. =[ 15.0061; 20.9939]

16. Se considera un experimento para estudiar si la terapia cognitiva es más efectiva para la depresión que la psicoterapia psicodinámica. Se consideran dos muestras de 10 personas cada una sobre las que se realiza cada terapia. Tras 6 semanas de terapia, la mejoría en cada paciente se comprueba. Esta mejoría es marcada (0-10) para cada paciente como sigue:

Cognitiva 9 7 7 8 3 8 7 5 6 8 Psicodinámica 3 2 4 0 5 2 4 3 2 5

Considerando normalidad e independencia y suponiendo las varianzas iguales, estimar la diferencia de medias en efectividad y calcular un intervalo de confianza al nivel 0.95. Solución: I C.. =[ 2.1015; 5.2985]

17. Un equipo de investigadores quiere estimar la proporción p de vacas que sufren el mal de las vacas locas en una explotación ganadera, mediante un intervalo con un error máximo de 0.015 y nivel de confianza 0.95. ¿A cuántas vacas deben analizar para alcanzar aproximadamente este objetivo, sabiendo que en un pequeño sondeo orientativo (muestra piloto) resultó que el 15% de las vacas estaban afectadas por la enfermedad? Solución: n ≥8707.
18. Los investigadores de la Environmental Protection Agency (EPA) se interesan por la calidad del aire. Uno de los indicadores de la calidad del aire es el número medio de microorganismos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire. Es decir, el interés se centra en μ, la media de la variable aleatoria X, número de microorganismos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire. Para controlar la situación se hace una lectura cada seis días, extrayendo un metro cúbico de aire a través de un filtro y determinado el número de microorganismos de partículas en suspensión concentradas en él. Después de un período de treinta días, se ha generado una muestra aleatoria de tamaño 5. Supóngase que los valores observados de estas variables, para el período dado de 30 días son

58, 57, 59, 70, 61.

Hallar un intervalo de confianza al nivel de confianza 0.95 para el número medio de microorganismos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire para los siguientes supuestos, a) Es conocido por experiencias previas que la variable en estudio está normalmente distribuida con varianza poblacional igual a 9. b) Es conocido por experiencias previas que la variable en estudio está normalmente distribuida. Solución: a) I C.. = (^) [ 58.3704; 63.6296]; b) I C.. =[ 54.4898; 67.5102]

19. Dos granjas alineadas en las orillas del Great South Bay han contaminado seriamente el agua. Uno de dichos contaminantes es nitrógeno en forma de ácido úrico. Las siguientes son muestras aleatorias de observaciones del número de libras de nitrógeno producidas por granja A y granja B respectivamente y día:

Granja A 4.9 5.8 5.9 6.5 5.5 5 5.6 6 5. Granja B 6.2 7 7.1 8.2 6.9 6.3 6.

Considerando que hay normalidad e independencia, construir un intervalo de confianza para estimar la diferencia de niveles medios de libras de nitrógeno por día al nivel de confianza de 0.95. Solución: I C.. = −[ 1.8333; −0.5413]

4. En un anuncio publicitario se indica que un determinado tipo de agua reduce peso. Doce individuos que decidieron tomar dicha agua en sustitución de la que tomaban habitualmente, manteniendo intacta el resto de la dieta alimenticia sufrieron las siguientes variaciones de peso al cabo de cierto tiempo:

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Variación de peso 0.2 0 1 0.6 -0.5 -.06 -1 0.6 1 0.5 -0.4 -0.

Teniendo en cuenta estos datos, ¿se puede afirmar la veracidad del anuncio?

Solución: Para α = 0.05 → No se puede afirmar la veracidad del anuncio

5. El calcio se presenta normalmente en la sangre de los mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg/100ml de sangre total. La desviación típica normal de esta variable es 1 mg. de Calcio por cada 100 ml de sangre total. Una variabilidad mayor que ésta puede ocasionar graves trastornos en la coagulación de la sangre. Una serie de nueve pruebas realizadas sobre un paciente revelaron una media muestral de 6.2 mg de Calcio por 100 ml de sangre total y una desviación típica muestral de 2 mg de calcio por cada 100 ml de sangre. ¿Hay alguna evidencia con α = 0.05 de que el nivel medio de calcio para este paciente sea más alto de lo normal? ¿Hay alguna evidencia, a un nivel α = 0.05, de que la desviación típica del nivel de calcio sea más alta de la normal? Solución: No hay evidencia de que el nivel medio de calcio sea más alto de lo normal; Hay evidencia de que la desviación típica del nivel de calcio es más alta de la normal
6. En el equipo de análisis que acompaña a los acuarios para la determinación de la dureza del agua de los mismos en %, se indica que la varianza de las determinaciones es igual o menor que el 5%. Llevamos a cabo 20 determinaciones de la dureza del agua del acuario y obtenemos una varianza para los mismos igual al 6%. Si la variable determinación de la dureza del agua es normal, ¿aceptaremos la indicación con un nivel de significación de α = 0.01? Solución: La varianza de las determinaciones es igual o menor que el 5%.
7. Hasta muy recientemente, p, la tasa de mortalidad causada por una infección vírica del cerebro altamente mortal, la encefalitis producida por el virus del herpes simple, ha sido del 70%. Se realiza un estudio para probar un nuevo fármaco, la vidarabina, para utilizarlo en el tratamiento de la enfermedad. Sabiendo que de 50 sujetos en los que se probó la vidarabina, 14 murieron, ¿qué puede decirse sobre la eficacia de este fármaco?

Solución: α= 0.05 y α= 0.01 → El fármaco es efectivo

8. Se quieren comparar dos poblaciones de rana pipiens aisladas geográficamente. Para ello se toman dos muestras de ambas poblaciones y se les mide la longitud del cuerpo expresado en milímetros, obteniéndose los siguientes resultados:

n x = 42 ny = 52

x = (^74) y= 78

225

s (^) x = 169

sy=

Contrastar la hipótesis de igualdad de medias con un nivel de significación del 5% Solución: Las medias son iguales

9. Puesto que un nivel de colesterol elevado es un factor de alto riesgo en el desarrollo de la aterosclerosis cardiaca y coronaria, es importante determinar los niveles a esperar en los diferentes grupos de edad. Se realizó un estudio para comparar el nivel de colesterol en varones de entre 20 y 29 años frente a mujeres del mismo grupo de edad. Se obtuvieron los siguientes resultados:

Varones Mujeres

n x = 25 ny = 31

x = 167. 16 mg./dl y= 178. 12 mg./dl s (^) x = 30 mg./dl sy= 32 mg./dl

a) Comprobar si hay diferencias en las varianzas poblacionales b) ¿Existen diferencias significativas en los niveles medios de colesterol para hombres y mujeres?

Solución: a) Para α = 0.05 → No hay diferencias en las varianzas poblacionales;

c) Para α = 0.05 → No existen diferencias significativas en los niveles medios de colesterol para

hombres y mujeres

10. Una variable de interés en el estudio de la angina de pecho en las ratas es el consumo de oxígeno, medido en mililitros por minuto. El experimento proporcionó la siguiente información:

Placebo FL

nx = 9 ny = 9

x = 1509 ml/min. y= 1702 ml/min. s (^) x = 169 ml/min. sy= 181 ml/min.

Utilizar la información para comparar las varianzas poblacionales. ¿Hay razón suficiente para pretender que el consumo de oxígeno de las ratas que toman FL113 sea más elevado que de las que toman placebo?

Solución: Para α = 0.01→ Las varianzas son iguales y el consumo de oxígeno de las ratas que

toman FL113 no es más elevado que las que toman placebo

11. En un estudio de características corporales de las gaviotas de pico anillado, la variable considerada es la longitud del pico. Se dispone de los siguientes datos:

Hembras Machos

n x= 51 ny = 41

x = 59. 1 mm. y= 65. 2 mm. s (^) x = 1. 9 mm. sy= 2. 0 mm.

¿Hay evidencia para sostener el argumento de que la longitud media del pico de los machos sea mayor que la de las hembras?

Solución: Para α = 0.05 → La longitud media del pico de los machos es mayor que la de las

hembras

RELACIÓN 6. Tests de Hipótesis no paramétricos basados en la χ

2

1. Se mide el número de partículas que llegan a una determinada zona procedentes de una sustancia radioactiva en un corto espacio de tiempo siempre igual, anotándose los resultados en la siguiente tabla:

Nº de partículas (^0 1 2 3 4 5 ) Nº períodos de tiempo (^269 325 207 82 28 7 )

a) Ajustar una distribución de Poisson b) Calcular la probabilidad de que lleguen a dicha superficie 0, 1, 2, ..., 6 partículas c) Verificar el ajuste mediante un contraste de la χ^2.

Solución: a) λ =ˆ^ x= 1.24;

b P X P X P X P X P X P X P X

c) Para α = 0.05 → Los datos provienen de una distribución de Poisson

2. Los siguientes datos se corresponden con las temperaturas máximas de Cabo de Gata en los 31 días de Diciembre de 1990:

16.9 17.3 18.1 17.2 16.3 17.2 17.3 16.2 15.2 14.1 17. 15.8 17.4 15.9 14.2 14.3 14.0 16.3 15.1 13.9 13.2 13. 14.2 16.0 16.2 19.3 17.2 21.2 17.9 15.3 15.

Contrastar al nivel 0.01 si estos datos proceden de una distribución normal. Solución: Hay evidencia de que los datos provienen de una distribución Normal

3. Tomamos una muestra de 650 análisis de sangre realizados en un laboratorio clínico y anotamos el número de eritrocitos por mm^3 de sangre. Los resultados, agrupados en 7 clases, son los que figuran en la tabla adjunta. ¿Se puede admitir que el número de eritrocitos se distribuye normalmente?

Nº de eritrocitos (millones) Nº de análisis

Menos de 2.5 8 2.5 – 3.5 52 3.5 – 4.5 140 4.5 – 5.5 210 5.5 – 6.5 160 6.5 – 7.5 70 75 ó más 10

Solución: Para α = 0.01→ Hay evidencia de que los datos provienen de una distribución Normal

4. En un estudio diseñado para determinar la aceptación por parte de los pacientes de un nuevo analgésico, 1000 médicos seleccionaron cada uno de ellos una muestra de 5 pacientes para participar en el estudio. Cada médico cuenta cuantos pacientes prefieren el nuevo analgésico (después de haberlo tomado durante un tiempo determinado), obteniendo los siguientes resultados:

X 0 1 2 3 4 5

Nº médicos 30 160 300 340 146 24

Ajustar estos datos a una distribución Binomial y verificar el ajuste mediante el contraste de la χ 2. Solución: Para α = 0.05 → Hay evidencia de que los datos provienen de una Binomial

5. Un psicólogo realiza una investigación para determinar si existe asociación aparente entre el peso de un muchacho y un éxito precoz en la escuela. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 500 estudiantes de los grados 1 al 3. Se clasifica a cada uno de acuerdo a dos criterios: el peso y el éxito en la escuela, obteniéndose los siguientes resultados:

Sobrepeso

Éxito Si No

Sí 162 263 No 38 37

A la vista de los datos, ¿qué se puede decir sobre la afirmación del psicólogo?

Solución: Para α = 0.05 → La obesidad y la precocidad en la escuela no son independientes

6. Se realiza una investigación sobre una nueva vacuna contra la gripe. Se elige una muestra aleatoria de 900 individuos y se clasifica a cada uno de ellos según haya contraído la gripe durante el último año o no y según haya sido vacunado o no. Se obtienen los siguientes resultados:

Contraída la gripe

Vacunado Si No

Sí 150 200 No 300 250

¿Se puede afirmar que la vacuna influye a la hora de no contraer la gripe?

Solución: Para α = 0.05 → Se puede afirmar que la vacuna influye a la hora de no contraer la

gripe