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Funciones Reales de Variable Real
1 Función Real
Una función Real es del tipo:
Alas cuales llamaremos funciones reales de variable real y
denotaremos por:
𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑅 × 𝑅 / 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
) ∈ 𝑅 × 𝑅 / 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓)}
Una función queda completamente determinada o bien
definida si se conocen:
i. Su regla de correspondencia 𝑓
ii. Su dominio
Ejemplo 1
Dada la función 𝑦 = 𝑓
hallar: a) 𝑓( 4 ), b) 𝑓( 3 𝑎), c)
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
solución
a) 𝑓( 4 ) = 3 ( 4 ) − 2 = 10
b) 𝑓( 3 𝑎) = 3 ( 3 𝑎) − 2 = 9 𝑎 − 2
c)
𝑓
( 𝑥+ℎ
) −𝑓
( 𝑥
)
ℎ
3
( 𝑥+ℎ
) − 2 − 3 𝑥+ 2
ℎ
3 𝑥+3ℎ− 3 𝑥
ℎ
Ejemplo 2
Determinar si el conjunto 𝑓 = {(𝑥
2
− 1 ; 𝑥) / 𝑥 ∈ 𝑅} es o no
una función
Solución
La regla de correspondencia es:
2
Si llamamos 𝑧 = 𝑥
2
− 1 → 𝑥 = √𝑧 + 1 , luego
Como 𝑥 ∈ 𝑅, entonces para 𝑥 = − 2
Por lo tanto 𝑓 no es una función.
2 Grafica de una función
Definición
Dada una función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, se define la grafica de 𝑓 y se
denota por 𝐺𝑟
, al conjunto de todos los pares ordenados
en los que 𝑥 ∈ 𝑅 esta como primer elemento y su imagen 𝑦 =
∈ 𝑅 como segundo elemento. Es decir:
2
Propiedades de la gráfica de una función
G.1: ∀ 𝑥 ∈ 𝑅, ∃ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺𝑟(𝑓)
G.2:
G.3: Si 𝑃(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺𝑟(𝑓) → 𝑃(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓
Ejemplo 1
Sea la función 𝑓
= 3 𝑥 − 2 , donde 𝑥 ∈
[
]
[
]
Graficar la funcion 𝑓
Solución
3 Calculo del dominio de una función
Cuando una función viene dada por una fórmula o regla de
correspondencia, se suele sobreentender que el dominio
consiste de todos los números para los que la regla de
correspondencia está bien definida.
4 Calculo del rango de una función
Existen dos casos
- Cuando el dominio está implícito en la regla de
correspondencia que define a la función, en esta caso se
despeja x en términos de y, luego se analiza para que
valores de y, x es real.
- Cuando el dominio esta descrito explícitamente junto con
la fórmula que define la función, es decir, si 𝑓: 𝑅 → 𝑅,
entonces 𝑅𝑎𝑛𝑔
), donde 𝑓(𝑑𝑜𝑚
) es el
conjunto de imágenes de 𝑥, tal que 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓)
Ejemplo 1
Hallar el dominio y rango de la función 𝑓(𝑥) = √ 2 + 𝑥 − 𝑥
2
Solución
Calculemos el dominio, como 𝑦 = √ 2 + 𝑥 − 𝑥
2
2
2
Luego el dominio es 𝑑𝑜𝑚
[
]
Calculando el rango como: 𝑦 = √ 2 + 𝑥 − 𝑥
2
2
2
2
2
2
2
2
Luego 𝑥 es real si 9 − 4 𝑦
2
2
9
4
3
2
3
2
Como 𝑦 ≥ 0 , entonces
Por lo tanto 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑓) = [ 0 ;
3
2
]
Ejemplo 2
Hallar el rango de la función 𝑓
2
[
]
Solución
Como ya tenemos el dominio de la función es decir
[
]
Para hallar el rango de la funcion despejamos 𝑥
2
2
Por lo tanto 𝑅𝑎𝑛𝑔
[
]
5 Funciones especiales
1. Función Identidad
Es aquella función denotada por 𝐼: 𝑅 → 𝑅donde el
dominio y rango son todos los Reales y que tiene como
regla de correspondencia 𝐼
Cuya grafica es:
3. Función Lineal
Es aquella función con dominio 𝑅 y cuya regla de
correspondencia es:
Donde 𝑚 𝑦 𝑏 son constantes y 𝑚 ≠ 0 , 𝑚 = tan 𝜃
Cuya grafica es:
4. Función cuadrática
Es aquella función con dominio R y definido por:
2
Donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes y 𝑎 ≠ 0
Cuya grafica es:
El vértice de la parábola se puede ubicar por:
2
Ejemplo
Si 𝑓
2
- 2 𝑥 − 2 , determinar su valor máximo o
mínimo.
Solución
Su grafica es:
El valor máximo esta dado por 𝑉(ℎ; 𝑘)
Como 𝑎 = − 3 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = − 2 , entonces:
2
Por lo tanto el valor máximo es (
1
3
5
3
Ejemplo
Construir la gráfica de 𝑓
= √ 3 𝑥 − 5 , dar su dominio y
rango.
Solución
Determinando el dominio se tiene:
[
; + ∞) → 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝑓) = [ 0 ; + ∞)
Su grafica es:
6. Función Polinómica de grado n
Es aquella función con dominio R y cuya regla de
correspondencia está dada por:
0
𝑛
1
𝑛− 1
2
𝑛− 2
𝑛
Donde 𝑛 es un entero positivo y 𝑎
0
1
2
𝑛
son
constantes reales 𝑎
0
7. Función Racional
Si 𝑓 𝑦 𝑔 son funciones polinómicas, la función 𝐹, cuya
regla de correspondencia es:
0
𝑛
1
𝑛− 1
𝑛
0
𝑛
1
𝑛− 1
𝑛
Se denomina función racional
8. Funciones Seccionadas
Son funciones que están definidas por dos o mas
funciones, es decir:
1
2
3
Tales que: 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ ⋯ = 𝜙
1
2
3
1
1
1
1
1
1
Ejemplo
Graficar y hallar el rango de:
Solución
Su grafica es:
9. Función Escalón Unitario
Es aquella función denotado por 𝑢
𝑎
llamado escalón
unitario de paso 𝑎 y esta definida por:
𝑎
𝑎
𝑎
Ejemplo
Dada la función 𝑓
Indicar su dominio , rango y su gráfica.
Solución
Por definición de la función escalón unitario se tiene:
Los puntos críticos son: 𝑃𝐶 = { 0 , 1 , 2 }
Luego,
Ahora redefinimos la función 𝑓(𝑥), como:
Su grafica es:
10. Función Signo
Es aquella función denotada por 𝑠𝑔𝑛(𝑥) que se lee signo
de x, y que está definida por:
Donde 𝑑𝑜𝑚
= 𝑅 y 𝑟𝑎𝑛𝑔
Luego redefinimos la función
Cuya grafica es:
11. Función Valor Absoluto
Es aquella función con dominio 𝑅 y cuya regla de
correspondencia es:
Cuya grafica es:
Ejemplo
Construir la gráfica de la función: 𝑓
Solución
𝑦 + 3 ≥ 0 ∧ [(𝑦 + 3 = 𝑥 − 2 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 )
)]
𝑦 ≥ − 3 ∧ [(𝑦 = 𝑥 − 5 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 )
∨ (𝑦 = −𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 < 2 )]
𝑑𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 y 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝑓) = [− 3 ; +∞)
Cuya grafica es:
Ejemplo
Construir la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥
2
Solución
2
2
2
2
2
2
]
[
2
Ejemplo
Construir la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥
2
Solución
Por definición de la función máximo entero
2
2
2
2
Redefiniendo la función se tiene:
2
𝑛 − 1 ó √
Cuya grafica es
Ejemplo
Construir la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓
Solución
Redefiniendo la función
↔ (−𝑛 − 2 ≤ 𝑥 < −𝑛 − 3 ) ó (𝑛 + 2 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 3 )
Cuya grafica es:
