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COMPLEMENTO PARA TEMA “LÍMITE”
- LÍMITES ALGEBRÁICOS Contenido
- a) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟒;........................................
- b) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟒
- c) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝒙 = −𝟐
- d) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟓
- LÍMITES POR FACTORIZACIÓN
- a) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟐
- b) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = −𝟑
- c) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟎
- d) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE 𝐥𝐢𝐦𝒙 → 𝟐𝒙𝟑 − 8 𝒙 − 𝟐
- e) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = −𝟏
- f) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟑
- g) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = −
1. LÍMITES ALGEBRÁICOS
NOTA:
1) PARA RESOLVER LOS LÍMITES SIEMPRE SERÁ NECESARIO PRIMERO
EVALUAR EN EL PUNTO INDICADO POR LA TENDENCIA.
2) SEGÚN EL RESULTADO (0/0, O 1/0) SE FACTORIZA EL NUMERADOR
O EL DENOMINADOR O AMBOS SI ES NECESARIO PARA BUSCAR
UNA FUNCIÓN EQUIVALENTE
3) SE EVALUA LA FUNCIÓN EQUIVALENTE ENCONTRADA PARA EL
MISMO PUNTO, SI NO HAY VALORES EXTRAÑOS, TALES COMO LOS
INDICADOS MÁS ARRIBA O VALORES NEGATIVOS DEL SUBRADICAL,
SE CALCULA EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EQUIVALENTE.
a) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝑥 = 4 ;
EVALUANDO LA FUNCIÓN PARA 𝒙 = 𝟒
⁄ LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN
RACIONALIZANDO LA FUNCIÓN, PARA OBTENER UNA EXPRESIÓN
EQUIVALENTE, SE TIENE:
EVALUANDO EL RESULTADO EQUIVALENTE OBTENIDO PARA 𝒙 = 𝟒 , SE
TIENE:
c) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝐱 = −𝟐
COMPROBANDO SI EXISTE INDETERMINACIÓN:
SE EVALÚA LA FUNCIÓN EN EL PUNTO DE INTERÉS 𝒙 = −𝟐 :
LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN.
RACIONALIZANDO LA FUNCIÓN, PARA OBTENER UNA EXPRESIÓN
EQUIVALENTE, SE TIENE:
YA QUE LA FUNCIÓN EQUIVALENTE ES UNA FUNCIÓN FRACCIONARIA
RACIONAL CUYO DENOMINADOR NO SE INDEFINE NI HACE NEGATIVO EL
SUBRADICAL EN EL PUNTO DE INTERÉS Y LA TENDENCIA DE x NO ES AL
INFINITO SE APLICA LÍMITE A LA FUNCIÓN EQUIVALENTE.
APLICANDO LÍMITE A LA FUNCIÓN EQUIVALENTE, CONSIDERANDO LAS
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE UNA FRACCIÓN, SE TIENE:
𝒙→−𝟐
𝒙→−𝟐
FINALMENTE, HEMOS OBTENIDOEL LÍMITE BUSCADO: 𝐥𝐢𝐦
d) DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO 𝐱 = 𝟓
PARA COMPROBAR LA EXISTENCIA DE UN VALOR NO REAL, SE VERIFICA SI EL
SUBRADICAL ES O NO NEGATIVO PARA EL VALOR DEL PUNTO ANALIZADO:
ENTONCES EXISTE SOLUCIÓN EN LOS REALES Y:
FINALMENTE HEMOS OBTENIDO QUE:
SE DEJA AL ALUMNO EL EJERCICIO SIGUIENTE, CUYA SOLUCIÓN ES
2. LÍMITES POR FACTORIZACIÓN
LOS MÉTODOS MÁS EMPLEADOS PARA FACTORIZAR SON:
FACTOR COMÚN
DIFERENCIA DE CUADRADOS
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
TRINOMIOS DEL TIPO: 𝒂𝒙
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 Y 𝒙
a) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙
𝟐
− 𝟒
𝒙 − 𝟐
COMPROBANDO SI EXISTE INDETERMINACIÓN:
𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN EN EL PUNTO DE INTERÉS 𝒙 = 𝟐 :
LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN.
FACTORIZANDO: 𝒇
𝟐
YA QUE LA FUNCIÓN EQUIVALENTE ES UN POLINOMIO QUE NO SE INDEFINE
EN EL PUNTO DE INTERÉS Y LA TENDENCIA DE x NO ES AL INFINITO SE APLICA
LÍMITE A LA FUNCIÓN EQUIVALENTE.
ENCONTRANDO EL LÍMITE APLICANDO LAS PROPIEDADES DEL LÍMITE DE UNA
SUMA Y EL LÍMITE DE UNA CONSTANTE NUMÉRICA, SE TIENE
𝟐
ENCONTRANDO EL LÍMITE APLICANDO LAS PROPIEDADES DEL LÍMITE DE UNA
SUMA Y EL LÍMITE DE UNA CONSTANTE NUMÉRICA, SE TIENE
𝟐
d) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE 𝐥𝐢𝐦
𝟑
COMPROBANDO SI EXISTE INDETERMINACIÓN:
𝒙
𝟑
− 8
𝒙−𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN EN EL PUNTO DE INTERÉS 𝒙 = 𝟐 :
LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN.
LA FACTORIZACIÓN DE 𝒙
𝟑
− 𝟖 OBEDECE AL MODELO SIGUIENTE: 𝒂
𝟑
− 𝒃
𝟑
=
(𝒂 − 𝒃)(𝒂
𝟐
𝟐
)
FACTORIZANDO Y SIMPLIFICANDO: 𝒇(𝒙) =
𝟐
𝟐
APLICANDO LAS PROPIEDADES DEL LÍMITE DE UNA SUMA Y EL LÍMITE DE UNA
CONSTANTE NUMÉRICA, SE TIENE
Finalmente
𝐥𝐢𝐦
𝒙
𝟑
−𝟖
𝒙−𝟐
= 𝟏𝟐
e) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = −𝟏
𝟐
COMPROBANDO SI EXISTE INDETERMINACIÓN:
𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN EN EL PUNTO DE INTERÉS 𝒙 = −𝟏 :
LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN.
MULTIPLICANDO Y DIVIDIENDO POR EL COEFICIENTE DEL TÉRMINO EN 𝒙
Y
FACTORIZANDO:
𝟐
SUSTITUYENDO, ENCONTRANDO EL LÍMITE Y APLICANDO LAS PROPIEDADES
DEL LÍMITE DE UNA SUMA Y EL LÍMITE DE UNA CONSTANTE NUMÉRICA, SE
TIENE
FINALMENTE
𝟐
f) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = 𝟑
𝟐
COMPROBANDO SI EXISTE INDETERMINACIÓN:
𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN EN EL PUNTO DE INTERÉS 𝒙 = 𝟑 :
LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN.
MULTIPLICANDO Y DIVIDIENDO POR EL COEFICIENTE DEL TÉRMINO EN 𝒙
Y
FACTORIZANDO EL DENOMINADOR:
𝟐
SUSTITUYENDO EN LA EXPRESIÓN PARA EL LÍMITE:
FINALMENTE
𝟐
g) RESOLVER FACTORIZANDO EL SIGUIENTE LÍMITE EN EL PUNTO 𝒙 = −𝟓
𝟐
𝟐
COMPROBANDO SI EXISTE INDETERMINACIÓN:
𝟐
𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN EN EL PUNTO DE INTERÉS 𝒙 = −𝟓
LO QUE VERIFICA UNA INDETERMINACIÓN.
FACTORIZANDO EL NUMERADOR
EN EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN: OCURRE UN ACERCAMIENTO DESDE LA IZQUIERDA, LO CUAL
ESTÁ INDICADO EN LA FIGURA POR LA FLECHA ROJA DESDE LA IZQUIERDA HACIA EL PUNTO 𝑥 0
.
CUANDO ESO OCURRE HAY UN ACERCAMIENTO AL VALOR L EN EL RANGO DE LA FUNCIÓN
(POR EL EJE Y), DESDE LOS VALORES MENORES QUE L, ENTONCES DECIMOS QUE HAY LÍMITE
LATERAL POR LA IZQUIERDA Y ES L.
ASÍ ES COMO SURGE EL CONCEPTO DE “LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA” Y EL DE “LÍMITE
LATERAL POR LA DERECHA”.
ELLOS PUEDEN EXISTIR POR SEPARADO, PERO SÓLO CUANDO AMBOS EXISTEN Y SON IGUALES
Y FINITOS EXISTE EL LLAMADO “LÍMITE”.
EL LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA SE DENOTA POR : 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
−
𝒇(𝒙)
EL LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA SE DENOTA POR : 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
−
𝒇
( 𝒙
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
𝒇
( 𝒙
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙
𝟎
𝒇
( 𝒙
)
ENTONCES EXISTE EL LÍMITE Y SE DENOTA POR :
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙 𝟎
𝒇
( 𝒙
) ;
VEA EL VIDEO DEL TRADUCTOR DE INGENIERÍA CON ESTE LINK:
https://www.youtube.com/watch?v=pYVVPqphPS
DETERMINACIÓN DE LÍMITES DE FUNCIONES CON MÓDULOS
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙
𝟑
−𝟐𝒙
𝟐
−𝟒𝒙+𝟖
| 𝒙−𝟐
|
ANALIZANDO LA EXPRESIÓN VEMOS QUE EL DENOMINADOR SE HACE CERO PARA
𝒙 → 𝟐. ESTO EXIGE UN ANÁLISIS MÁS DETALLADO DE LA TENDENCIA.
ANALIZANDO EL LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
−
𝒙
𝟑
−𝟐𝒙
𝟐
−𝟒𝒙+𝟖
|𝒙−𝟐|
ESTA EXPRESIÓN 𝑥 → 2
−
SIGNIFICA QUE NOS ACERCAMOS AL VALOR 2 POR LA
IZQUIERDA, ENTONCES, PARA VALORES CERCANOS A 2 SE VERIFICA QUE 𝑥 < 2.
RESTANDO DOS DE AMBOS LADOS SE TIENE QUE 𝑥 − 2 < 0
PARA EVALUAR LA FUNCIÓN DEBEMOS ANALIZAR EL MÓDULO DEL DENOMINADOR,
ASÍ:
| 𝑀
| = {
𝑀 ∀𝑀 ≥ 0
−𝑀 ∀𝑀 < 0
SI 𝑀 = 𝑥 − 2 , ENTONCES, YA QUE 𝑥 − 2 < 0 EL DENOMINADOR QUEDA COMO
SIGUE:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
−
𝒙
𝟑
−𝟐𝒙
𝟐
−𝟒𝒙+𝟖
−
( 𝒙−𝟐
)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
−
𝒙
𝟐
( 𝒙−𝟐
) −𝟒
( 𝒙−𝟐
)
−
( 𝒙−𝟐
)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
−
(−𝟏)(𝒙
𝟐
− 𝟒) = 𝟎
ANALIZANDO EL LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙
𝟑
−𝟐𝒙
𝟐
−𝟒𝒙+𝟖
|𝒙−𝟐|
ESTA EXPRESIÓN 𝑥 → 2
SIGNIFICA QUE NOS ACERCAMOS AL VALOR 2 POR LA
DERECHA, ENTONCES, PARA VALORES CERCANOS A 2 SE VERIFICA QUE 𝑥 > 2.
RESTANDO DOS DE AMBOS LADOS SE TIENE QUE 𝑥 − 2 > 0. EN ESTE CASO
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙
𝟑
−𝟐𝒙
𝟐
−𝟒𝒙+𝟖
𝑥− 2
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
(𝒙
𝟐
− 𝟒) = 𝟎
YA QUE LOS LÍMITES LATERALES SON REALES E IGUALES A 0, EL LÍMITE
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙
𝟑
−𝟐𝒙
𝟐
−𝟒𝒙+𝟖
|𝒙−𝟐|
EXISTE Y ES IGUAL A CERO
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(
𝟑𝒙+|𝒙|
𝟕𝒙−𝟓|𝒙|
)
PRIMERO COMPROBAMOS SI HAY ALGUNA INDETERMINACIÓN EN LA FUNCIÓN
𝑓(𝑥) =
𝟑𝒙+|𝒙|
𝟕𝒙−𝟓|𝒙|
𝑓(𝑥 = 0 ) =
𝟑(𝟎)+|𝟎|
𝟕(𝟎)−𝟓|𝟎|
=
𝟎
𝟎
COMO VEMOS HAY INDETERMINACIÓN EN L FUNCIÓN PARA ESE VALOR, ENTONCES
DEBEMOS QUITAR LOS MÓDULOS.
RECORDANDO QUE:
|𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
TENDREMOS QUE ANALIZAR QUÉ PASA CUANDO LA VARIABLE TIENDE A CERO POR
LA IZQUIERDA Y LUEGO QUÉ PASA CUANDO TIENDE A CERO POR LA DERECHA.
POR LA IZQUIERDA: SIGNIFICA QUE 𝒙 TOMA VALORES MENORES QUE CERO Y ES
VALIDA |𝑥| = −𝑥. SUSTITUYENDO,
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
−
(
𝟑𝒙+|𝒙|
𝟕𝒙−𝟓|𝒙|
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
−
(
𝟑𝒙+(−𝒙)
𝟕𝒙−𝟓(−𝒙)
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
−
(
𝟐𝒙
𝟏𝟐𝒙
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
−
(
𝟏
𝟔
) =
𝟏
𝟔
YA QUE LOS LÍMITES LATERALES SON DIFERENTES, ENTONCES CONCLUIMOS QUE EL
LÍMITE
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
|𝟏𝟔−𝒙
𝟐
|+𝟏
(𝟒−𝒙)√𝟓−|𝒙−𝟏|
NO EXISTE.
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝟏
𝟑
−
|
|𝟑𝒙−𝟏|−𝟓 |
−𝟓
| 𝟏−𝟑𝒙
|
ACÁ VEMOS UN LÍMITE MÁS COMPLICADO, YA QUE TIENE EN EL NUMERADOR UN MÓDULO
DENTRO DE UN MÓDULO Y UN DENOMINADOR CON UN MÓDULO. POR ESO EMPEZAREMOS
ANALIZANDO EL MÓDULO INTERIOR EN EL NUMERADOR.
| 𝟑𝒙 − 𝟏
| = {
𝟑𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝟑𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎
−
( 𝟑𝒙 − 𝟏
) 𝒔𝒊 𝟑𝒙 − 𝟏 < 𝟎
DESARROLLANDO LAS INECUACIONES DE LA FUNCIÓN ANALÍTICA A TROZOS, TENEMOS:
|𝟑𝒙 − 𝟏| = {
𝟑𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥
𝟏
𝟑
−
( 𝟑𝒙 − 𝟏
) 𝒔𝒊 𝒙 <
𝟏
𝟑
EN EL LÍMITE TENEMOS 𝒙 →
𝟏
𝟑
−
LO QUE SIGNIFICA QUE 𝑥 <
𝟏
𝟑
ASÍ
| 𝟑𝒙 − 𝟏
| = −
( 𝟑𝒙 − 𝟏
)
EN EL NUMERADOR AUN TENEMOS UN MÓDULO, O SEA
|−(𝟑𝒙 − 𝟏) − 𝟓| − 𝟓 = |𝟏 − 𝟑𝒙 − 𝟓| − 𝟓 = |−𝟑𝒙 − 𝟒| − 𝟓
HACIENDO UNA SUSTITUCIÓN PARCIAL
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝟏
𝟑
−
| −𝟑𝒙−𝟒
| −𝟓
| 𝟏−𝟑𝒙
|
SE PROCEDE DE IGUAL MANERA PARA DETERMINAR EL MÓDULO DEL DENOMINADOR,
TENDREMOS:
|𝟏 − 𝟑𝒙| = {
𝟏 − 𝟑𝒙 𝒔𝒊 𝟏 − 𝟑𝒙 ≥ 𝟎
−(𝟏 − 𝟑𝒙) 𝒔𝒊 𝟏 − 𝟑𝒙 < 𝟎
DESARROLLANDO
|𝟏 − 𝟑𝒙| = {
𝟏 − 𝟑𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≤
𝟏
𝟑
−
( 𝟏 − 𝟑𝒙
) 𝒔𝒊 𝒙 >
𝟏
𝟑
HACIENDO LA SUSTITUCIÓN PARCIAL para
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝟏
𝟑
−
|−𝟑𝒙−𝟒|−𝟓
𝟏−𝟑𝒙
AHORA ANALIZAMOS EL NUMERADOR:
| −𝟑𝒙 − 𝟒
| = {
−𝟑𝒙 − 𝟒 𝒔𝒊 − 𝟑𝒙 − 𝟒 ≥ 𝟎
𝟑𝒙 + 𝟒 𝒔𝒊 − 𝟑𝒙 − 𝟒 < 𝟎
DESPEJANDO 𝑥 EN CADA TRAMO TENDREMOS:
|−𝟑𝒙 − 𝟒| = {
−𝟑𝒙 − 𝟒 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −
𝟒
𝟑
𝟑𝒙 + 𝟒 𝒔𝒊 𝒙 >
𝟒
𝟑
ANALIZANDO LA RECTA NUMÉRICA
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝟏
𝟑
−
𝟑𝒙+𝟒−𝟓
𝟏−𝟑𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝟏
𝟑
−
𝟑𝒙−𝟏
𝟏−𝟑𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝟏
𝟑
−
(−𝟏) = −𝟏
EL LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA DE LA FUNCIÓN DADA ES IGUAL A - 1
LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ESTOS LIMITES GENERALMENTE SE RESUELVEN CON AYUDA DEL LÍMITE NOTABLE
(FUNDAMENTAL) lim
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1
SE DESARROLLA EL PRIMERO CON EXPLICACIONES PUNTUALES Y LOS DEMÁS SOLO SI HAY
ALGO NUEVO QUE EXPONER.
EN TODOS LOS CASOS SE DEBE COMENZAR PROBANDO SI EXISTE ALGUNA INDETERMINACIÓN
EN LA FUNCIÓN. EN EL CASO CUANDO NO HAY INDETERMINACIÓN SE RESUELVE MEDIANTE
SIMPLE SUSTITUCIÓN. EN LOS EJERCICIOS QUE SIGUEN, PARA ABREVIAR, NO SE REALIZA LA
PRUEBA CONSIDERANDO QUE ES EVIDENTE LA PRESENCIA DE LA INDETERMINACIÓN.
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN SIGUIENTE
1. lim
2
SE DESCOMPONE EL NUMERADOR EN FACTORES
2
SE AGRUPAN LOS FACTORES DE MANERA DE DEFINIR AL MENOS UN LÍMITE
NOTABLE
lim
2
= lim
∗ lim
x
lim
2
= 3 ∗ lim
6 ∗ lim
SOLUCIÓN FINAL
lim
2
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN SIGUIENTE
lim
2
2
SE TRABAJA LA FUNCIÓN BUSCANDO UNA EXPRESIÓN SIMILAR A LA DEL
LÍMITE NOTABLE:
2
2
APLICANDO LÍMITE Y SUS PROPIEDADES
lim
= lim
2 ∗ lim
∗ lim
∗ lim
SOLUCIÓN FINAL
lim
= 2 ∗ lim
= 2 ∗ lim
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN SIGUIENTE
SE TRABAJA LA FUNCIÓN BUSCANDO UNA EXPRESIÓN SIMILAR A LA DEL
LÍMITE NOTABLE:
APLICANDO LÍMITE Y SUS PROPIEDADES
lim
= lim
lim
SOLUCIÓN FINAL: 𝐥𝐢𝐦
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN SIGUIENTE
lim
𝑥→ 0
𝑡𝑎𝑛( 5 𝑥)
𝑥
SE TRABAJA LA FUNCIÓN BUSCANDO UNA EXPRESIÓN SIMILAR A
LA DEL LÍMITE NOTABLE:
𝑡𝑎𝑛
( 5 𝑥
)
𝑥
=
𝑠𝑒𝑛
( 5 𝑥
)
𝑐𝑜𝑠( 5 𝑥)
∗
1
5 𝑥
=
𝑠𝑒𝑛
( 5 𝑥
)
5 𝑥
∗
5
𝑐𝑜𝑠( 5 𝑥)
APLICANDO LÍMITE Y SUS PROPIEDADES
lim
𝑥→ 0
𝑡𝑎𝑛
( 5 𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛
( 5 𝑥
)
5 𝑥
∗ lim
𝑥→ 0
5
𝑐𝑜𝑠
( 5 𝑥
)
= 1 ∗ 5 = 5
SOLUCIÓN FINAL: lim
𝑥→ 0
𝑡𝑎𝑛( 5 𝑥)
𝑥
DETERMINAR EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN SIGUIENTE
lim
𝑥→ 0
(
𝑥𝑐𝑜𝑠( 4 𝑥)−𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥)+𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
)
SE TRABAJA LA FUNCIÓN BUSCANDO UNA EXPRESIÓN SIMILAR A
LA DEL LÍMITE NOTABLE:
𝑥𝑐𝑜𝑠
( 4 𝑥
) − 𝑠𝑒𝑛
( 2 𝑥
)
𝑥
=
𝑥𝑐𝑜𝑠
( 4 𝑥
)
𝑥
−
𝑠𝑒𝑛
( 2 𝑥
)
𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
= 𝑐𝑜𝑠
( 4 𝑥
) − 2
𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥)
2 𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
APLICANDO LÍMITE Y SUS PROPIEDADES
= lim
𝑥→ 0
𝑐𝑜𝑠
( 4 𝑥
) − 2 lim
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥)
2 𝑥
𝑥→ 0
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
YA QUE 𝑐𝑜𝑠
( 0
) = 1 ; lim
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥)
2 𝑥
= 1 ; lim
𝑥→ 0
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
= 1 SUSTITUYENDO
= 1 − 2 ∗ lim
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥)
2 𝑥
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
lim
𝑥→ 0
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 1 − 2 + 1 ∗ 1 = 0
SOLUCIÓN FINAL:
lim
𝑥→ 0
(
𝑥𝑐𝑜𝑠( 4 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛( 2 𝑥) + 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
) = 0
LÍMITES “AL INFINITO” Y LÍMITES “INFINITOS”
DIFERENCIEMOS LAS EXPRESIONES “AL INFINITO” E “IGUAL A INFINITO”
LÍMITES AL INFINITO
ESTOS LÍMITES SON AQUELLOS DONDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE SE HACE CRECER
INDEFINIDAMENTE Y SE INVESTIGA, DE FORMA ANALÍTICA, HACIA QUE VALOR TIENDE LA
FUNCIÓN.
EL VALOR DE LA FUNCIÓN PUEDE SER UN NÚMERO REAL O UN NÚMERO INDETERMINADO
QUE SE SIMBOLIZA CON +∞ O −∞ (Y SE LEE MAS INFINITO +∞ O MENOS INFINITO −∞)
lim
lim
OBSERVAR QUE EL LÍMITE SE BUSCA HACIENDO QUE LA VARIABLE TIENDA A
MENOS INFINITO. PARA RESOLVERLO SE SUSTITUYE LA VARIABLE POR MENOS
INFINITO TENIENDO CUIDADO CON LOS EXPONENTES PARES E IMPARES DE LA
VARIABLE.
≅ −[(−∞)
] = −[∞] = −∞
OBSERVAR QUE LA RESTA DE LOS INFINITOS NO SE ANULA, NO SE HACE CERO,
SINO QUE SE MANTIENE LA INCERTIDUMBRE PUES NO SABEMOS SI SON
IGUALES LOS VALORES, SOLO SABEMOS QUE CADA UNO DE ELLOS ES UN
NÚMERO MUY GRANDE Y QUE EL DE MAYOR EXPONENTE IMPONE SU SIGNO.
FINALMENTE LA RESPUESTA ES 𝐥𝐢𝐦
RESOLVER EL LÍMITE AL INFINITO SIGUIENTE
EL DE MAYOR EXPONENTE IMPONE SU SIGNO, ENTONCES:
FINALMENTE LA RESPUESTA ES 𝐥𝐢𝐦
RESOLVER EL LÍMITE AL INFINITO SIGUIENTE
𝟑
SE EVALÚA LA FUNCIÓN PARA DETERMINAR SI HAY INDETERMINACIÓN.
EN ESTE CASO SERÁ NECESARIO DETERMINAR POR OBSERVACIÓN DONDE ESTÁ
EL MAYOR EXPONENTE DE LA VARIABLE. ESE TÉRMINO ESTÁ EN EL
DENOMINADOR Y TIENE POTENCIA 3. ASÍ, SE DIVIDE NUMERADOR Y
DENOMINADOR POR 𝒙
𝟐𝒙
𝒙
𝟑
𝟑𝒙−𝟓𝒙
𝟑
𝒙
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
𝟑
𝒙
𝟐
SE APLICAN LAS PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
𝟑
𝒙→+∞
𝟐
𝒙
𝟐
𝒙→+∞
𝟑
𝒙
𝟐
𝒙→+∞
SE SUSTITUYE 𝒙 POR MAS INFINITO
𝟐
(∞)
𝟐
𝟑
( ∞
)
𝟐
FINALMENTE LA RESPUESTA ES 𝐥𝐢𝐦
𝟑
RESOLVER EL LÍMITE AL INFINITO SIGUIENTE
𝟐
𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN PARA DETERMINAR SI HAY INDETERMINACIÓN.
𝟐
−𝟑𝒙+𝟐
𝟐
−𝒙
INDETERMINADO
EN ESTE CASO SERÁ NECESARIO DETERMINAR POR OBSERVACIÓN EL MAYOR
EXPONENTE DE LA VARIABLE.
COMO SE OBSERVA EL TÉRMINO 𝒙
ESTÁ EN EL NUMERADOR Y EN EL
DENOMINADOR. ENTONCES SE DIVIDEN AMBOS POR 𝒙
𝟗𝒙
𝟐
−𝟑𝒙+𝟐
𝒙
𝟐
𝟒𝒙
𝟐
−𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝒙
𝟐
𝒙
𝟐
𝒙
𝒙
𝟐
REESCRIBIENDO EL LÍMITE EMPLENDO LA FUNCIÓN EQUIVALENTE
ENCONTRADA, SE TIENE:
𝟐
−𝟑𝒙+𝟐
𝟐
𝟑
𝒙
𝟐
𝒙
𝟐
𝒙
𝒙
𝟐
SUSTITUYENDO 𝒙 POR EL SÍBOLO DE MAS INFINITO Y CONSIDERANDO QUE
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
= 0 SE TIENE:
𝟑
∞
𝟐
( ∞
)
𝟐
𝒙
( ∞
)
𝟐
FINALMENTE LA RESPUESTA ES 𝐥𝐢𝐦
𝟐
−𝟑𝒙+𝟐
𝟐
−𝒙
RESOLVER EL LÍMITE AL INFINITO SIGUIENTE
𝟐
𝟐
SE EVALÚA LA FUNCIÓN PARA DETERMINAR SI HAY INDETERMINACIÓN.
