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MATEMÁTICAS B ■ 1
Trigonometría
Objetivos
En esta quincena aprenderás a:
Calcular las razones
trigonométricas de un ángulo.
Hallar todas las razones
trigonométricas de un ángulo a
partir de una de ellas.
Resolver triángulos
rectángulos cuando se
conocen dos lados o un lado y
un ángulo.
Resolver situaciones
relacionadas con la geometría
en las que se precise calcular
ángulos y distancias entre dos
puntos.
Utilizar la calculadora para
obtener razones o ángulos.
Antes de empezar.
1. Los ángulos y su medida..................pág. 74
Recorridos en la circunferencia
Radianes
Grados sexagesimales
De radianes a grados
Midiendo ángulos
2. Razones trigonométricas ………………. pág. 76
Razones trigonométricas
Sen y cos en la circunferencia
Tangente en la circunferencia
Razones de 30º, 45º y 60º
3. Relaciones trigonométricas …………… pág. 78
Relaciones fundamentales
4. Resolver triángulos rectángulos ……. pág. 79
Con un ángulo y la hipotenusa
Dados un ángulo y un cateto
Conocidos dos lados
5. Razones de ángulos cualesquiera …. pág. 80
Seno
Coseno
Tangente
6. Aplicaciones de la trigonometría ….. pág. 81
Resolver problemas métricos
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor
116 ■ MATEMÁTICAS
B
Trigonometría
- Los ángulos y su medida
Trigonometría es una palabra que deriva del griego
Τριγωνομετρíα, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo,
metría (μετρíα) medida, es decir, "medida de tres
ángulos". Puedes consultar la definición de
trigonometría que da el diccionario de la R.A.E.
En este curso se tratará únicamente la trigonometría
plana.
Con objeto de estudiar los ángulos y su medida
consideraremos que un ángulo es un recorrido en la
circunferencia con centro el origen y de radio unidad o
circunferencia goniométrica, el punto de partida de
estos recorridos se situará en el punto de
coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la
medida de ese recorrido.
Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo
según sea el de su recorrido; si es contrario al de las
agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo.
Radianes
Medir un ángulo es medir su recorrido en la
circunferencia.
Como la medida de toda la circunferencia es 2·π·radio,π·π·radio,radio,
resulta conveniente tomar como unidad de medida el
radio.
En las figuras, los ángulos se representan en una
circunferencia de radio 1, ello no significa que el radio
mida 1 cm o 1 pie o 1 m, sino que el radio es la
unidad de medida tomada. Por razones evidentes a
esta unidad se le llama radián.
Grados sexagesimales
Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de
ángulos.
Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales,
obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone
de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos.
Así un ángulo se mide en:
gradosº minutos' segundos''
Mide ángulos con el transportador
El ángulo de 1 radián es aquel
cuyo recorrido en la
circunferencia es igual al radio.
De grados a radianes:
multiplicamos
por
De radianes a grados:
De grados a radianes
y de radianes a grados
El semiperímetro de la semicircunferencia es π·π·radio,radio
es decir, π veces un radián = 180 veces un grado
π ·π·radio, 1 radián = 180 ·π·radio, 1 grado
Si despejamos el grado resulta:
1 grado = π/180 radianes ~ 0.0175 radianes
Si despejamos el radián resulta:
multiplicamos por
1 radián = 180/π grados ~ 57.2957 grados
π radianes = 180 grados
EJERCICIOS resueltos
1. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 120º, -50º y 315º. 2. Dibuja en la circunferencia goniométrica el ángulo de 5/6, 3/4, y 3/2 rad./4, y 3/4, y 3/2 rad./2 rad.. 3. Pasa a radianes: a) 150º, b) 210º, c) 270º, d) 60º
a) 150º 150 5 rad
b) 210º 210 7 rad
c) 270º 270 3 rad
d) 60º 60 rad
4. Pasa a grados: a) 11/6 rad., b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad) /4 rad., c) 5/4 rad, d) 2/3 rad) 5/4 rad, d) 2/3 rad/4 rad., d.) 2/3/4, y 3/2 rad. rad.
a) 11 rad 11 180 330º
b) rad 180 45º
c) 5 rad 5 180 225º
d) 2 rad 2 180 120º
12 12
Razones de
30º, 45º y
60º
Los ángulos de 30º, 45º y 60º aparecen con bastante
frecuencia, fíjate cómo se calculan sus razones a
partir de la definición si buscamos los triángulos
adecuados.
x
2
Tomamos un
cuadrado de lado 1
Con el Teorema de
Pitágoras se
calcula
la diagonal
diag
Memorizar esta tabla es fácil si observas el orden que
guardan. Una vez aprendidos los senos con las raíces
consecutivas, los cosenos salen en orden inverso.
2
Con la calculadora
Dado un ángulo a obtener sus razones
trigonométricas.
Por ejemplo el sen 28º 30´ Pon la
calculadora en modo
Teclea 28
Obtenemos:
30 sin
En algunas calculadoras hay que pulsar la
tecla sin antes de introducir el ángulo,
comprueba cómo funciona la tuya.
Si queremos obtener el cosa ó la tga
procederemos de la misma forma pero
pulsando las teclas cos y tan
respectivamente.
Dada una razón obtener el ángulo a
correspondiente.
Con el mismo valor que tienes en la
pantalla :
Comprueba que la calculadora sigue en
modo
Tecleasin
Obtenemos :en grados, si queremos grados,
minutos y segundos, pulsamos
obteniendo
28º 30‘‘
SHIFT º ‘ ‘‘
28,
SHIFT
DEG
0,
0,
º ‘ ‘‘ º ‘ ‘‘
DEG
EJERCICIOS resueltos
5. En el triángulo de la figura calcula:
sen a
c) 5/4 rad, d) 2/3 rados a
tg a
sen b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad
c) 5/4 rad, d) 2/3 rados b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad
tg b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad
5
b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad
3
a
4
a) sen a 3 0,
d) sen b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad 4 0,
b) cos a 4 0,
e) cos b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad 3 0,
c) tg a 3 0,
f) tg b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad 4 1, 3)
Obtén con la calculadora:
sen 30º = 0,
cos 60º = 0,
tg 45º = 1
Obtén con la calculadora los ángulos a y b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad del ejercicio 5.
a: Tec) 5/4 rad, d) 2/3 radleamos 0. 6 sin 36,87º
b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad: Tec) 5/4 rad, d) 2/3 radleamos 0. 8 sin 53,13º Observa que en efecto
suman 90º.
SHIFT
SHIFT
adyacente
a
- Resolución de
triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es calcular los datos
desconocidos, lados o ángulos, a partir de los
conocidos.
Veamos los casos que se pueden presentar.
a) Conocidos un ángulo y la hipotenusa
Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas de la
hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo:
sen a
que multiplicamos por
la hipotenusa
c
a
c · cos a
b) Conocidos un ángulo y un cateto
Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas un cateto y de
un ángulo no recto, pensaremos en el triángulo:
sec a
a
1
tg
a
que multiplicamos por
el cateto
c
c) Conocidos dos lados
Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará el teorema de Pitágoras, el ángulo se
determinará como
el arco cuya tangente
es
cateto opuesto
cateto adyacente
o bien como el arco cuyo seno es cateto opuesto
hipotenusa
dependiendo de los datos iniciales.
Para calcular el otro ángulo basta restar de 90º.
- Razones de cualquier ángulo
Recuerda que ( cos α , sen α ) eran las coordenadas
del punto final del ángulo α en la circunferencia de
radio unidad. Esto que vimos para los ángulos agudos
podemos hacerlo extensible a ángulos cualesquiera.
El seno
El seno de un ángulo es
la coordenada vertical
del punto final del
1
cos a
a
b
a
a
b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad
c
Calcular la altura del monte.
x = 650·π·radio,sen 30º = 650·π·radio,0,5=
c ·
sen
a
Calcular la altura de la torre.
x = 20·π·radio,tg 45º = 20·π·radio,1=20m
c ·
tg
a
Resolver el triángulo.
hipotenusa = 7
2
10
2
149
Con la calculadora:
atan(0,7)=35º Y el otro ángulo:
90º-35º=55º
recorrido del ángulo sobre la circunferencia
goniométrica.
Observa que su valor está comprendido entre -1 y 1.
El coseno
De la misma manera que el seno de un ángulo es la
ordenada, el coseno es la abscisa del punto final del
recorrido que marca el ángulo en la circunferencia.
Su valor también está comprendido entre -1 y 1.
La tangente
Con la relación fundamental tg α=senα/coscosα se
amplia la definición de tangente en ángulos agudos a
un ángulo cualquiera.
La tangente se representa en la recta tangente a la
circunferencia goniométrica en el punto (1,0).
Para los ángulos de 90º y 270º, el coseno es 0 por lo
que no está definida la tangente; cuanto más se
acerca un ángulo a 90º o a 270º, mas grande se hace
en valor absoluto la tangente, diremos que es infinito
La circunferencia
goniométrica es
una circunferencia
de radio unidad
y centro el origen
de coordenadas.
SIGNO DEL SENO
SIGNO DEL COSENO
SIGNO DE LA TANGENTE
Segundo Primer cuadrante
cuadrante
TercerCuarto
cuadrantecuadrante
++
--
-+
-+
-+
+-
EJERCICIOS resueltos
11. Dibuja un ángulo del tercer cuadrante cuyo cos sea -0,6 y
calcula el seno y la tangente.
sen 2 a 1 cos 2 a 1 0,36 0,
sena 0,64 0,8 Como está
en el terc) 5/4 rad, d) 2/3 rader c) 5/4 rad, d) 2/3 raduad.rante será 0,80,
cos a 0,
Calcula cosa siendo tga2 y a del cuarto cuadrante.
tga sena 0,8 4
1 tg 2 a
1
cos 2 acos 2 a
1
1 4 5 cos 2 a 1
5
cos a 1
5
5 y elegimos el positivo ya que
5 a está en el 4º cuadrante.
Observa
Ángulos
suplementarios
sen(180º- a)sen a cos
(180º- a)c) 5/4 rad, d) 2/3 rados a
tg(180º- a)tg a
Ángulos que
suman 360º
sen(360º- a)sen a
cos (360º- a)c) 5/4 rad, d) 2/3 rados a
tg(360º- a)tg a
Para practicar
1. Expresa en radianes:
a) 15º b) 120º
c) 240º d) 345º
2. Expresa en grados:
13. El sen a = 3/5 y a es un ángulo del
segundo cuadrante, calcula la tg a.
14. El cos a = 3/5 y a es un ángulo del
cuarto cuadrante, calcula la tg a.
a)
b)
c)
d)
15. La tg a = 3 y a es un ángulo del tercer
cuadrante, calcula el cos a.
16. La apotema de un polígono regular de 9
lados mide 15 cm, calcula el lado.
3. Halla con la calculadora las siguientes
razones redondeando a centésimas:
a) sen 25º b) cos 67º
c) tg 225º d) tg 150º
4. Un ángulo de un triángulo rectángulo
mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, halla
la hipotenusa.
5. La hipotenusa de un triángulo
rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66º.
Calcula los catetos.
6. Un ángulo de un triángulo rectángulo
mide 44º y el cateto adyacente 16 cm,
calcula el otro cateto.
7. En un triángulo rectángulo los catetos
miden 15 y 8 cm, halla los ángulos
agudos.
8. La hipotenusa de un triángulo
rectángulo mide 45 cm y un cateto 27
cm, calcula los ángulos agudos.
9. En un triángulo isósceles los ángulos
iguales miden 78º y la altura 28 cm,
halla el lado desigual.
10. Los lados iguales de un triángulo
isósceles miden 41 cm y los ángulos
iguales 72º, calcula el otro lado.
11. El cos de un ángulo del primer
cuadrante es 3/4, calcula el seno del
ángulo.
12. La tangente de un ángulo del primer
cuadrante es 12/5 calcula el seno.
17. El lado de un exágono regular mide 30
cm, calcula la apotema.
18. La apotema de un octógono regular
mide 8 cm, calcula el área del polígono.
19. La longitud del radio de un pentágono
regular es 15 cm. Calcula el área.
20. La sombra de un árbol cuando los rayos
del sol forman con la horizontal un
ángulo de 36º, mide 11m. ¿Cuál es la
altura del árbol?.
21. El hilo de una cometa mide 50 m de
largo y forma con la horizontal un
ángulo de 37º, ¿a qué altura vuela la
cometa?.
22. Para medir la altura de
un edificio se miden los
ángulos de elevación
desde dos puntos
distantes 100m. ¿cuál
es la altura si los
ángulos son 33º y 46º?.
23. Dos personas distantes
entre sí 840 m, ven
simultáneamente un
avión con ángulos de
elevación respectivos
de 60º y 47º, ¿a qué
altura vuela el avión?.
24. Para medir la altura de una montaña se
miden los ángulos de elevación desde
dos puntos distantes 480m y situados a
1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es
la altura si los ángulos son 45º y 76º?.
h
33º46º
100
h
60º
47º
840
C
Teorema del seno
En este tema has podido resolver triángulos que no eran rectángulos
considerando la altura.
b
a
hc
El resultado conocido como Teorema del seno, nos permite resolver
triángulos cualesquiera si conocemos un lado y dos ángulos.
ab
sen Asen Bsen C
c
A c B
Para saber más
¿Qué inclinación de la carretera indica esta señal?
Si has investigado un poco habrás visto que unos dicen que ese 10% es la
pendiente matemática y otros la definen como pendiente de tráfico. Sea una u otra,
la diferencia no es grande, el ángulo indicado será en el primer caso
atan(10/100)=5.71º y asen(10/100)=5.74º en el segundo, y los problemas de
nuestro coche para abordar esa pendiente serán similares en ambos casos.
La diferencia entre la pendiente matemática o la de tráfico será más significativa si una señal indicara a un
alpinista que la inclinación de la montaña a subir es del 75%.
La pendiente matemática del 75% corresponde al ángulo:
atan(75/cos100)=36.86º
La pendiente de tráfico del 75% corresponde al ángulo:
asen(75/cos100)=48.59º
En la figura, la hipotenusa del triángulo marrón muestra la pendiente al
interpretar el % como tangente y en el triángulo azul, se interpreta el %
como seno.
La refracción de la luz
Es el fenómeno que se produce cuando la luz pasa de un
medio material a otro en el que la velocidad de propagación
es distinta. De ahí que una varilla introducida en agua la
veamos “quebrada”.
La relación entre el ángulo de incidencia “i” y el de
refracción “r”, viene dada por la siguiente relación, conocida
como Ley de Snell.
n 1
·π·radio, sen i = n 2
·π·radio, sen r
donde n 1
y n 2
son, respectivamente, los índices de
refracción del medio 1 y del medio 2, a su vez el cociente
entre la velocidad de la luz en el medio y la velocidad de la
luz en el vacío.
i=45º
aire
agua
r=32,1º
Trigonometría
6
Autoevaluación
- Expresa en radianes el ángulo de 150º.
- Calcula el valor de tg A en el triángulo ABC de la figura.
3/4, y 3/2 rad.. Calcula el área del triángulo de la figura.
- Con un compás de 12 cm de longitud hemos trazado una
circunferencia de 10 cm de radio, ¿qué ángulo, en radianes,
forman las ramas del compás?
5/4 rad, d) 2/3 rad. Si
sen
a
4
, y a es un ángulo agudo, calcula la tg a.
5
- Si tg a=1.25 y a está en el tercer cuadrante, calcula el cos a.
- A partir de las razones del ángulo de 30º, calcula la tg
5
⎜ ⎟
- Si cos a
3
, y a es un ángulo agudo, calcula el cos(180º- a).
5
- La altura de Torre España es de 231 m, ¿cuánto mide su sombra
cuando la inclinación de los rayos del sol es de 30º?
- Calcula el área de un pentágono regular de radio 4 cm.
B
28
A
12
C
32
35º
18
12
10
231
30º
4
1. a)
12
b) 2c) 4 d) 23
3 3 12
13. tg a =-3/ 14. tg a =-4/ 2. a) 12º b) 54º c) 105º d) 330º
1 10
3. a) 0,42 b) 0,39 c) 1 4. 10,93 cm 5. 23,75 cm, 10,57 cm 6. 15,45 cm
d) -0,
15. cos a
1010
- 10,91 c) 5/4 rad, d) 2/3 radm
- 25/4 rad, d) 2/3 rad,98 c) 5/4 rad, d) 2/3 radm
9. 11,9 cm 10. 25,33 cm 11. sen a 7
4
12. sen a =12/ 18. lado=6,63 cm área=212,08 cm 19. lado=17,63 cm apot=12,14 cm área=534,
cm
20. 7,99 m 21. 30 m 22. 57,41 m 23. 638,11 m 24. 639,42+1200=1839,42 m
Trigonometría
Soluciones de los ejercicios para practicar
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Soluciones
AUTOEVALUACIÓN
5
6
3. 165,19 u 4. 0,85 rad (truncamiento) 5. tg a =4/ 6. cos a = -0, 7. tg 5 tg30º
6
3
3
8. cos(180º a)c) 5/4 rad, d) 2/3 rados a 3/4, y 3/2 rad./5/4 rad, d) 2/3 rad
- 400,10 m
- 3/4, y 3/2 rad.8,04 m
