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TEMA 1 : ” ELEMENTOS BÁSICOS DE
ÁLGEBRA LINEAL ”
1. 1 - Conceptos preliminares.
Proposición , teorema y axioma
Proposición es toda expresión de la que se posee el conocimiento preciso para poder afirmar de manera inequívoca si es verdadera o falsa. Así la proposición "Todas las personas son rubias" es a todas luces falsa, pero no por ello deja de ser una proposición. Sin embargo "El planeta Venus es habitable" no es una proposición, en cuanto que carecemos del conocimiento suficiente para poder afirmar que tal expresión es cierta o falsa.
En todo razonamiento o proceso deductivo, la o las proposiciones que se utilizan como punto de partida forman lo que se denomina Hipótesis y la proposición a la que se llega como resultado de tal proceso de denomina Tesis. Si el mencionado razonamiento es válido, se dice que la hipótesis implica la tesis, lo cual se simboliza mediante la siguiente representación: H T. Donde el símbolo "" se lee "implica".
La consecuencia inmediata que se obtiene de un razonamiento correcto es una nueva proposición (H T) que se denomina Teorema.
Otra lectura que se puede hacer de la proposición anterior (H T) y que es ampliamente utilizada es decir que:
- H es condición sufiente para que se cumpla T (Basta que H se cumpla para poder afirmar que T también lo hace)
- T es condición necesaria para que se cumpla H (Necesariamente T ha de cumplirse para que H pueda hacerlo también, aunque atención, H puede a pesar de ello no cumplirse por otros motivos. Es por ello, que de esta segunda lectura se suele decir más propiamente que: si T no se cumple entonces podemos afirmar que H tampoco) Esta nueva proposición (teorema) puede ser utilizada en un nuevo razonamiento para demostrar y crear por lo tanto, otros nuevos teoremas. De esta forma se puede apreciar que se produce toda una serie de generación en cascada de nuevos teoremas a partir de los previamente demostrados.
Hay ocasiones en las que nos encontramos con dos proposiciones diferentes que expresan los mismo, pero desde puntos de vista diferentes. En tal caso se dice que ambas proposiciones son equivalentes, lo que se simboliza de la siguiente manera: HT. El símbolo "" se lee "si y sólo si". Es decir, H es cierta si y sólo si T lo es y viceversa. Este mismo símbolo, pero utilizando la otra lectura que hemos hecho antes, se traduce como: H es condición necesaria y suficiente para T.
Axioma es una proposición verdadera que se admite sin demostración.
Símbolos lógicos
∀ : se lee "para todo elemento". / : se lee "tal que" ∃ : se lee "existe al menos un elemento". ∃! : se lee "existe un único elemento". ∄ : se lee "no existe ningún elemento".
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Métodos de demostración
Demostración directa: Sean A y B dos proposiciones, para demostrar que A B el método más sencillo consiste en demostrar que cada vez que A es cierta B también lo es. Demostración indirecta: Sean A y B dos proposiciones, se sustituye la demostración directa AB por la demostración directa noA no B. Demostración por reducción al absurdo: Sean A y B dos proposiciones, consiste en sustituir la demostración directa A B por la demostración de que las proposiciones A y noB conducen a un absurdo y de donde A B. Demostración por inducción o recurrencia: Suponemos que una proposición depende de un entero "n" y la anotamos An. Para demostrar que An es verdadera para cualquier valor del entero n es suficiente establecer que:
- La proposición A 1 es verdadera.
- Si la proposición es verdadera para una etapa "k" comprobar que también es verdadera para la etapa "k 1" Contraejemplo: Es un método contundente para demostrar la falsedad de una proposición o teorema. Basta con encontrar un elemento para el que tal proposición o teorema no sea cierto.(Basta con encontrar una persona morena para demostrar que la proposición "Todas las personas son rubias" es falsa.)
Teoría de conjuntos
Objeto, unidad o ente: Es todo aquello que somos capaces de distinguir o individualizar del resto del universo en función de las cualidades o características que nosotros le asignamos de acuerdo con nuestros conocimientos. Conjunto: Es toda colección bien definida de objetos, entendiendo por ello, el hecho de que siempre es posible averiguar si un objeto dado es o no miembro de dicha colección. Hay dos formas posibles de definir una conjunto: a ) Extensión o enumeración: Se expresa la lista de los elementos del conjunto. b ) Comprensión o descripción: Se expresa una regla que permita decidir sin ambigüedad si un objeto dado pertenece o no al conjunto. Ejemplo: Se desea expresar el conjunto de los números naturales pares:
- A 2, 4, 6, 8, 10, 12,...
- A nº natural múltiplo de 2 Como práctica habitual, los objetos se suelen representar en minúsculas y los conjuntos en mayúsculas. Elemento de un conjunto: Se denomina así a todo objeto que es miembro de dicho conjunto. Relación de pertenencia: Aparece así una relación entre los objetos y los conjuntos, la de pertenencia, y que se representa mediante el símbolo "∈". Por lo tanto "x ∈ A" se lee "x pertenece al conjunto A", y nos indica que el objeto x es un elemento del conjunto A. También existe el símbolo "∉" para representar la negación de la citada relación, de manera que "x ∉ A" , que se lee "x no pertenece al conjunto A", nos indica que el objeto es no es un elemento del conjunto A. Relación de inclusión: Sean dos conjuntos cualesquiera A y B. Si se verifica que todos los elementos de A también son elementos del conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B. Para representar tal relación entre ambos conjuntos se utiliza el símbolo "⊂" , de manera que la expresión "A ⊂ B", simboliza que el conjunto A está contenido en el B. También puede ser —————————————
Así
Producto cartesiano: Se denomina producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se
simboliza mediante A B, al conjunto de pares ordenados x, y, donde x pertenece a A que es el primer conjunto, e y pertenece a B que es el segundo conjunto. Si A B el producto cartesiano A A lo anotamos por A^2. Generalizando definimos al producto cartesiano de A 1 A 2 A 3 A 4 ... An al conjunto de las n-uplas ordenadas (^) x 1 , x 2 ,... , xn , donde x 1 ∈ A 1 , x 2 ∈ A 2 ,... , xx ∈ An. Si A 1 A 2 ... An lo anotamos por An.
Propiedades generales: Inclusión: .- ⊂ A .- A ⊂ U .- A ⊂ A .- Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C .- Si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A B Intersección: .- A ∩ A A .- A ∩ .- A ∩ U A .- A ∩ B B ∩ A .- A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B .- Si A ⊂ B entonces A ∩ B A Unión: .- A A A .- A A .- A U U .- A B B A .- A ⊂ A B y B ⊂ A B .- Si A ⊂ B entonces A B B Distributiva de la Unión e Intersección: .- A ∩ B C A ∩ B A ∩ C .- A B ∩ C A B ∩ A C Complementación: .- c^ U .- Uc^ .- Ac^ c^ A .- A ∩ Ac^ .- A Ac^ U Leyes de Morgan: 1ª ley: El complementario de la unión de un número cualquiera de conjuntos es igual a la
intersección de los complementarios de esos mismos conjuntos. ∀i
Ai
c ∀i
∩ Aic
2ª ley: El complementario de la intersección de un número cualquiera de conjuntos es igual a
la unión de los complementarios de esos mismos conjuntos. ∀i
∩ Ai
c ∀i
Aic
—————————————
Relaciones binarias
Dado el conjunto A, una relación binaria, R, en A es el conjunto de pares ordenados a, b de elementos de A relacionados por ella, es decir es un cierto subconjunto del producto cartesiano A^2. Se dice que los elementos a y b del conjunto A están ligados por la relación R, y lo anotamos a R b. Las relaciones binarias más utilizadas son las relaciones de orden y las de equivalencia.
Relación de preorden: Una relación binaria R en un conjunto A se dice que es de preorden
si cumple las propiedades:
- Reflexiva: a R a ∀a ∈ A
- Transitiva: a R b y b R c a R c ∀a, b, c ∈ A Ejemplo: La relación en que un bien es preferido a otro.
Relación de orden: Una relación binaria R en un conjunto A se dice que es de orden si
cumple las propiedades:
- Reflexiva: a R a ∀a ∈ A
- Transitiva: a R b y b R c a R c ∀a, b, c ∈ A
- Antisimétrica: a R b y b R a a b ∀a, b ∈ A Se anota con los símbolos " ≤" , " ≥"
Relación de equivalencia: Una relación binaria R en un conjunto A se dice que es de
equivalencia si cumple las propiedades:
- Reflexiva: a R a ∀a ∈ A
- Transitiva: a R b y b R c a R c ∀a, b, c ∈ A
- Simétrica: a R b b R a ∀a, b ∈ A Se anota con el símbolo "" La propiedad fundamental de una relación de equivalencia sobre el conjunto A es que permite hacer un fraccionamiento o partición del conjunto A en partes llamadas clases de equivalencia, de tal manera que denominamos clase de equivalencia a toda parte del conjunto A formada por los elementos de A equivalentes a un elemento dado "a". Al conjunto de todas las clases de equivalencia del conjunto A se le llama conjunto cociente de A por la relación de equivalencia R que estamos considerando.
Aplicaciones
Sean E y F dos conjuntos, se llama aplicación de E en F a una correspondencia en la que a todo elemento de E se le asocia un elemento y sólo uno de F. Se suele utilizar el término "función" en lugar del término "aplicación". Las funciones se representan por letras minúsculas: f, g, h,... Si la función "f" asocia a cada elemento x ∈ E el elemento y ∈ F, lo anotamos: f : E F x y y fx/x ∈ E, y ∈ F Al conjunto E se le denomina conjunto de definición, conjunto de partida o conjunto inicial,
al conjunto F se le denomina conjunto de valores, conjunto de llegada o conjunto final, a "x" se
le denomina variable o argumento y a "y" se le denomina valor o imagen.
Cuerpo: El conjunto E tiene estructura de cuando se ha definido en él dos leyes de
composición interna : E, y E, que cumplen las siguientes propiedades: a ) El conjunto E tiene estructura de anillo respecto de las dos operaciones. b ) E, posee estructura de grupo. Esto significa que se deben cumplir las siguientes propiedades: Respecto a la ley (^) E, :
- Asociativa.
- Elemento neutro.
- Elemento simétrico.
- Conmutativa. Respecto a la ley E, :
- Asociativa.
- Elemento neutro.
- Elemento simétrico. Respecto de E, y E, :
- Distributiva Si la ley E, cumple la propiedad conmutativa se llama cuerpo abeliano a conmutativo. Un cuerpo lo anotamos con "K" Espacio vectorial: El conjunto E es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, si sobre E hay
definidas dos operaciones:
a ) Una ley de composición interna E, que lo dota de estructura de grupo abeliano. b ) Otra ley de composición externa E, K, , definida como: ∀a ∈ E y ∀ ∈ K se verifica: a a ∈ E que cumple las siguientes propiedades: a. La ley externa es distributiva respecto a la interna: ab a b ∀a, b ∈ E , ∀ ∈ K b. La ley interna es distributiva respecto a la externa: a aa ∀a ∈ E , ∀, ∈ K c. La ley asociativa mixta: a a. ∀a ∈ E , ∀, ∈ K d. Elemento neutro de la operación externa: 1 a a ∀a ∈ E
1. 2 - Matrices : definición , tipos , operaciones.
Definición de matriz y submatriz
Sea K un cuerpo conmutativo, en nuestro caso el conjunto de los números reales R, sea N el conjunto de los números naturales, y sean: Nm i ∈ N / i ≤ m y Nn j ∈ N / j ≤ n. Se
llama matriz sobre el cuerpo K a una aplicación de la forma: f : NmNn K i, j aij Como en nuestro caso K R, esta aplicación hace corresponder a cada pareja i, j de números naturales un elemento aij de los números reales. Estos elementos aij pertenecientes a la imagen se suelen disponer en m filas y n columnas, formando una tabla rectangular que se escribe entre paréntesis. Así denotando por A a esta matriz, se suele escribir:
A
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ am 1 am 2... amn
aij 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n
Se dice que los elementos aij son los componenetes, términos o coeficientes de la matriz A. Se dice que m n es el orden, tamaño, dimensión o tipo de la matriz A. Al conjunto formado por todas las matrices, sobre le cuerpo de los números reales, que tienen m filas y n columnas los denotamos por Mm,n.
Dada la matriz A aij , obtener una submatriz de A consiste en elegir p filas y q columnas, siendo 1 ≤ p ≤ m y 1 ≤ q ≤ n, y formas una nueva matriz en la que se considera únicamente los elementos aij que pertenezcan a cada una de las p filas y q columnas elegidas.
Tipos de matrices
Matriz columna: Es aquella que tiene una sóla columna y m filas. A
a 11 a 21
... am 1
∈ Mm,1
Matriz fila: Es aquella que tiene una sóla fila y n columnas.
A (^) a 11 a 12... a 1 n ∈ M1,n
Matriz traspuesta: Es aquella que se obtiene al convertir las filas en columnas y viceversa. Es decir dadas las matrices A aij ∈ Mm,n y B bij ∈ Mn,m, diremos que B es la matriz traspuesta de A si se cumple que aij bji ∀ij. A la traspuesta de la matriz A la denotaremos por At.
Matriz cuadrada: Es aquella en la que el número de filas coincide con el número de columnas.
A
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ an 1 an 2... ann
∈ Mn. Se dice que son matrices cuadradas de orden n.
Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada A aij al conjunto formado por los
elementos aij de la matriz de forma que i j.
A
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n
............ an 1 an 2... ann Se llama diagonal secundaria de una matriz cuadrada A aij al conjunto formado por los
elementos aij de la matriz de forma que i j n 1.
A
a 11... a 1 n− 1 a 1 n a 12... a 2 n− 1 a 2 n
............ an 1 ... ann− 1 ann
Matriz ortogonal: Es aquella matriz cuadrada en la que su matriz traspuesta es igual a su matriz inversa: At^ A−^1
Operaciones con matrices
Suma de matrices Dadas las matrices: A aij , B bij y C cij pertenecientes al conjunto Mm,n. Se dice que C es la matriz suma de A y B, C A B, si se cumple que cij aij bij ∀ij.
Ejemplo A
, B
A B
Producto de un escalar por una matriz Dadas las matrices: A aij y B bij pertenecientes al conjunto Mm,n, y el escalar ∈ R. Se dice que B es la matriz producto de y A, B A, si se cumple que bij aij ∀ij.
Ejemplo A
, 2, 2A
Multiplicación de matrices Dada la matriz A aij perteneciente al conjunto Mm,n, la matriz B bij perteneciente al conjunto Mn,p y la matriz C cij pertenenciente al conjunto Mm,p, se dice que la matriz C es
producto de A por B, C AB, si se cumple que Cij
n
k 1
∑ aikbkj ∀ij. (Se efectua el producto de
fila por columna).
EjemploA
, B
AB
(Observación: El número de columnas de A coincide con el número de filas de B. El número de filas de C coincide con el número de filas de A y el número de columnas de C coincide con el número de columnas de B.)
Propiedades de las matrices
Con respecto a la suma de matrices La adición de matrices, tal y como la hemos definido, dota al conjunto Mm,n de una ley de composición interna (^) Mm,n, que cumple las siguientes propiedades:
—————————————
1. Asociativa: A B C A B C ∀A, B, C ∈ Mm,n 2. Existencia de elemento neutro: En el conjunto Mm,n tenemos la matriz nula que es aquella en la que todos sus elementos son ceros, O oij / oij 0 ∀ij, tal que A O A ∀A ∈ Mm,n 3. Existencia de elemento simétrico: Para la matriz A aij ∈ Mm,n su elemento simétrico es la matriz B bij ∈ Mm,n, donde bij −aij∀ij. A la matriz B se le denomina matriz opuesta de A y si sumamos A y su opuesta nos da el elemento neutro, es decir la matriz nula. A B O 4. Conmutativa: A B B A ∀A, B ∈ Mm,n Por cumplir estas propiedades podemos decir que (^) Mm,n, es un grupo abeliano o conmutativo.
Con respecto al producto de un escalar por una matriz El producto de un escalar por una matriz , tal y como la hemos definido, dota al conjunto Mm,n de una ley de composición externa Mm,n, que cumple las siguientes propiedades:
1. Distributiva respecto a la suma de escalares: A A A ∀, ∈ R, ∀A ∈ Mm,n 2. Distributiva respecto a la suma de matrices: (^) A B A B ∀ ∈ R, ∀A, B ∈ Mm,n 3. Asociativa: A A ∀, ∈ R, ∀A ∈ Mm,n 4. Elemento neutro: (Es el escalar 1) 1A A ∀A ∈ Mm,n
Como en el conjunto de matrices Mm,n se da la ley de composición interna Mm,n, y la ley de composición externa Mm,n, con estas propiedades, el conjunto Mm,n es un espacio vectorial.
Respecto a la multiplicación de matrices El producto de matrices cumple las siguientes propiedades: 1. Asociativa: ABC ABC ∀A ∈ Mm,n, ∀B ∈ Mn,p y ∀C ∈ Mp,q 2. Distributiva: AB C AB AC ∀A ∈ Mm,n, ∀B, C ∈ Mn,p 3. AB AB ∀A ∈ Mm,n, ∀B ∈ Mn,p y ∀ ∈ R 4. El producto de matrices en general no cumple la propiedad conmutativa: AB ≠ BA ∀A ∈ Mm,n, ∀B ∈ Mn,m
Otras propiedades Otras propiedades que se cumplen con las distintas operaciones vistas son: 1. At^ t^ A ∀A ∈ Mm,n 2. A Bt^ At^ Bt^ ∀A, B ∈ Mm,n 3. ABt^ BtAt^ ∀A ∈ Mm,n ∀B ∈ Mn,m 4. At^ At^ ∀A ∈ Mm,n, ∀ ∈ R 5. Si A At^ A At^ ∀A ∈ Mn, ∀ ∈ R 6. Si −A At^ −A At^ ∀A ∈ Mn, ∀ ∈ R 7. Si A ∈ Mn entonces: A At^ y AAt^ son matrices simétricas y A − At^ es antisimétrica. 8. Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica de modo único. Sea A ∈ Mn, S una matriz simétrica (S St y H una matriz antisimétrica (−H Ht, entonces A S H, siendo S 12 A At y H 12 A − At 9. Si A y B son dos matrices cuadradas simétricas A AtyB Bt^ y su producto es otra matriz simétrica AB ABt^ entonces se verifica la propiedad conmutativa AB BA.
La división de matrices no existe
La división en matrices no existe. Como dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso, en matrices para dividir multiplicaremos por la matriz inversa. Es decir si tenemos la ecuación matricial: AX B, para despejar X haremos: A−^1 AX A−^1 B X A−^1 B. Como la multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa, se debe multiplicar la inversa por el mismo lado en el cual se encuentra la matriz sin invertir. Es decir si tenemos la ecuación matricial AXB C, para despejar X haremos: A−^1 A X BB−^1 A−^1 C B−^1 X A−^1 CB−^1.
Matrices semejantes
Dos matrices cuadradas A, B ∈ Mn son semejantes, si existe otra matriz regular P que cumple B P−^1 AP
1. 3 - Determinantes : definición , cálculo , propiedades ,
matriz inversa por determinantes.
Definición de determinante
Se llama determinante de una matriz cuadrada A, A ∈ Mn, al escalar resultado de una aplicación que se obtiene al sumar todos los productos de n elementos de la matriz A, que se puede formar cumpliendo las siguientes condiciones: a ) En cada producto tiene que haber un sólo elemento de cada fila y un sólo elemento de cada columna. b ) El signo de cada producto será positivo o negativo según sean de igual o distinta clase las permutaciones de los subíndices de filas y columnas.
En lo sucesivo al determinante de la matriz A
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ an 1 an 2... ann
la
representaremos como: detA |A|
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ an 1 an 2... ann El número de términos, sumandos, del desarrollo de una determinante es igual al número de permutaciones de los subíndices de las columnas, así si A ∈ Mn : nº sumando de |A| n!
Cálculo de determinantes
Determinante de segundo orden
Tenemos A
a 11 a 12 a 21 a 22
|A|
a 11 a 12 a 21 a 22
a 11 a 22 − a 12 a 21
Determinante de tercer orden Regla de Sarrus Tenemos
A
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
|A|
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a 11 a 22 a 33 a 21 a 32 a 13 a 12 a 23 a 31 − a
Los esquemas siguientes sirven para recordar los términos de un determinante de orden tres: 1- El producto de los elementos marcados en trazos rojos en positivo se le suma el producto de los elementos marcados en trazos azules en negativo
2- Las diagonales continuas se suman y las diagonales en trazos se restan
Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o de una columna El cálculo de un determinante mediante su definición cuando la matriz es de orden superior a tres resulta muy laborioso de realizar. Por este motivo es conveniente estudiar algún método que nos permita abreviar estos cálculos. Menor complementario: Dada la matriz cuadrada A aij ∈ Mn, se denomina menor complementario del elemento aij, al determinante de la matriz de orden n − 1 que resulta de eliminar en la matriz A la fila i y la columna j donde se encuentra el elemento aij. Viene representado por Dij.
Adjunto: Dada la matriz cuadrada A aij ∈ Mn, se denomina adjunto o cofactor del elemento aij, al producto del menor complementario del elemento aij por − 1 ij. Viene representado por Aij. Es decir: Aij − 1 ijDij
Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o de una columna: El valor del determinante de la matriz A aij ∈ Mn es igual a la suma de los producos de los
elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos. Es decir |A|
n
j 1
∑ aij Aij
n
i 1
∑ aij Aij.
(Es recomendable elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros)
Cálculo de la matriz inversa
Dada la matriz cuadrada A ∈ Mn. Matriz adjunta: Se llama matriz adjunta de A, a la matriz que resulta de sustituir cada elemento de A por sus respectivos adjuntos. La representaremos por AdjA. Así
AdjA
A 11 A 12... A 1 n A 21 A 22... A 2 n
............ An 1 An 2... Ann Matriz inversa: una matriz cuadrada A es inversible o admite inversa si y sólo si |A| ≠ 0, y
su inversa es: A−^1 1 |A|
AdjAt 1 |A|
AdjAt
Rango de una matriz
Menor de orden p: Se llama menor de orden p de la matriz A ∈ Mm,n al determinante de una submatriz cuadrada de orden p de la matriz A. En una matriz cualquiera Am,n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.
Rango de una matriz: Podemos dar dos definiciones: Definición 1º: El rango (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. Definición 2º: El rango de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Lo representamos como RgA
Propiedades: a ) El rango de una matriz es igual al rango de su matriz traspuesta: si A ∈ Mm,n RgA RgAt b ) El rango de una matriz no varía si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de las demás filas o columnas. c ) El rango de una matriz no varía si se suprime una fila o columna que es combinación lineal de las otras. d ) El rango de una matriz no varía si una fila o columna se le multiplica por una escalar no nulo. e ) El rango de una matriz no varía si se permutan dos filas o dos columnas entre si.
Proposición: Sean dos matrices cuadradas A, B ∈ Mm,n :
- Sea B una matriz regular, entonces RgAB RgA
- Sea A una matriz regular, entonces RgAB RgB
Cálculo del rango de una matriz: Método basado en el cálculo de menores. Comenzando por el orden k 2 , se realiza el proceso siguiente (para una etapa k cualquiera)
- Se busca un menor de orden k, entonces el rango será k
- Se añade a dicho menor una fila i, y cada una de las columnas que en él no figuran, obteniéndose así menores de orden k 1. Si todos estos menores son nulos, significa que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.
—————————————
- Seguimos probando con las restantes filas, si todos los menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene sólo k filas linealmente independientes, que son las que aparecen en el menor, y por tanto su rango es k.
- Si alguno de los menores k 1 es distinto de cero, el rango es k 1 y repetimos el proceso para otro orden k superior. Método conocido como "método de Gauss" Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii con i 1, 2, 3,... , m − 1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero. El método consta de m − 1 etapas, siendo m el número de filas.
- En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i, y tomando como referencia el elemento aii , por medio de operaciones elementales (nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de su columna que estén por debajo de él.
- Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es posible (porque también sea cero) con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1, si no lo fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a 1).
- Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la matriz.
1. 4 - Sistemas de ecuaciones lineales : forma matricial ,
análisis y resolución. Sistemas homogéneos.
Definición de sistema de ecuaciones lineales
Se dice que una ecuación es lineal con respecto a las incógnitas x 1 , x 2 ,... , xn pertenecientes a un cuerpo K, si se presenta en la forma: a 1 x 1 a 2 x 2 ... anxn b Siendo ai , b ∈ K conocidos ∀i 1, 2,... , n
Un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas x 1 , x 2 ,... , xn pertenecientes a un cuerpo K. Así la expresión genérica de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas adopta la forma:
a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1 nxn b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 ... a 2 nxn b 2
... am 1 x 1 am 2 x 2 ... amnxn bm aij , bi ∈ K conocidos ∀i 1, 2,... , n ∀j 1, 2,... , m y se les denomina coeficientes. (De ahora en adelante haremos referencia al Cuerpo de los números reales, es decir K R)
Interpretación matricial y vectorial de un sistema de ecuaciones lineales
Matricialmente un sistema de ecuaciones lineales sería: a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ am 1 am 2... amn
x 1 x 2
... xn
b 1 b 2
... bm
Donde denominamos:
- Indeterminado: Cuando admite más de una solución.
Atendiendo al cojunto de términos independientes podemos establecer las siguiente clasificación:
a ) Homogéneo: Cuando la matriz de términos independientes está formada únicamente por ceros. b ) No homogéneo: Cuando al menos uno de los elementos de la matriz de términos independientes es distinto de cero.
Discusión de un sistema de ecuaciones lineales : Teorema de Rouché - Fröbenius
La discusión de un sistema de ecuaciones lineales consiste en averiguar si éste carece de solución, si tiene solución única o si tiene más de una solución, en definitiva saber si un sistema es incompatible o por el contrario es compatible determinado o indeterminado. Para lo cual vamos a utilizar el teorema de Rouché-Fröbenius. Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1 nxn b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 ... a 2 nxn b 2
... am 1 x 1 am 2 x 2 ... amnxn bm
Matriz ampliada o completa: Es aquella matriz que se obtiene al añadir a la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones, A, las matriz columna de términos independientes,B. La
representamos por A/B. Así: (^) A/B
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n
............ am 1 am 2... amn
b 1 b 2
... bm
Teorema de Rouché-Fröbenius: El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es: a ) Compatible RgA RgA/B , además:
- Determinado RgA n
- Indeterminado RgA n b ) Incompatible RgA RA/B
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Obviamente, un sistema se puede resolver cuando es compatible, es decir, lo primero que debemos hacer es discutir el sistema (teorema de Rouché-Fröbenius) para averiguar su compatibilidad.
Sistemas equivalentes: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales hay que hacer transformaciones en las ecuaciones hasta que todas las incógnitas queden despejadas. Estas transformaciones convierten nuestro sistema inicial en otro/s sistema/s (con aspecto distinto y más fáciles de resolver) que tienen las mismas soluciones ( sistemas equivalentes ). Generalmente las transformaciones más habituales son :
—————————————
( criterios de equivalencia )
- Intercambiar dos ecuaciones entre sí.
- Suprimir una ecuación que tenga todos sus elementos nulos.
- Suprimir una ecuación que sea proporcional a otra.
- Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otra/s
- Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero.
- Sustituir una ecuación i de este modo : Ei Ei a·Ej a ∈ R Así dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Métodos directos de resolución :
- Método de Gauss (por reducción)
- Método de Cramer (por determinantes)
- Por inversión de la matriz
- Método de Gauss-Jordan (por eliminación)
- Por sustitución
Método de Gauss por reducción Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, resolvemos la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado: x y z 11 2 x − y z 5 3 x 2 y z 24
1 1 1 11 2 − 1 1 5 3 2 1 24
F 2 − 2 F 1
F 3 − 3 F 1
F 2 → F 3 →
x y z 11 −y − 2 z − 9 5 z 10
z 2, y 5, x 4
Ejemplo: resolver el siguiente sistema compatible indeterminado: 2 x − 4 y 6 z 2 y 2 z − 3 x − 3 y z 4
2 − 4 6 2 0 1 2 − 3 1 − 3 1 4
1 2 F^1 →
F 3 → F 1 →
x − 2 y 3 z 1 y 2 z − 3
z , y − 3 − 2 , x − 7 − 5
