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EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I
HOJA 10
Ejercicio 1. Calcula los límites de las siguientes sucesiones:
n
n^2
- − 5 n^2 + 8n − 6
2 n^2 − 3 n + 5 − 3 n^2 + 6n − 7
3 n^2 +
2 n + n −
2 n^2 + 5n^2 + 2
3 n^5 − 2 n^3 + 6n − 4 −n^6 + 2n^5 − 3 n + 4
− 7 n
n + 5n + 6
n − 3 11 n
n − 4
n + 10
− 8 n
n + 2
n √ 4 n^3 + n^2 − 2
3 n^2 + 5n − 4 √ n^5 − 6 + n + 7
(2n + 1)(5n + 3) 4 n^2 − 3
n^2 + 2 n − 1
n^2 + 2n n + 1
- 2 n −
4 n^2 − 3 n + 2
n^2 + 4n + 1 −
n^2 + 8n + 1
2 n^2 + 3n − 3 −
2 n^2 + 7
n^3 − 3 n^2 + 2 −
n^3 + 1 √ n + 2
3 n^2 + 2n − 5 4 n^2 + n − 6
) 2 nn+2− 1
n^2 + 3 2 n − 1
n 2
) n n^2 +
n + 9 2 n − 7
)n
n^2 − 5 n + 9 n + 10
) (^) n−+1n
2 n^ + 3n^ + 5n 2 n+1^ + 5n−^2
22 n^ + 3n+ 3 n^ + 2^2 n−^1
) (^) n−+1n
n
) 3 n
3 n − 1 3 n − 2
) 2 n− 3
n^3 + 2n − 1 n^3 + n^2
)n
5 n − 3 5 n + 4
) n 3 n^2 +−n 2
n^3 + 2n + 5 n^3 + 5n + 2
) 3 n^2 +3n+
n − 5 √ n + 1
)√n
n + 3 √ n + 7
)√n+
n
)n(1+ (^1) n )n
1
Ejercicio 2. Las siguientes series son geométricas. Identi ca su primer término y su razón. Calcula las suma de los 5 primeros términos de cada una de ellas y, para aquellas que sea posible, la suma de todos sus términos.
Ejercicio 3. Una máquina fabrica tornillos. De todos los que hace en un minuto, la cuarta parte son defectuosos. La máquina tarda una hora en funcionar a pleno rendimiento: en el primer minuto tras encenderla fabrica 400 tornillos, y a cada minuto que pasa hasta cumplir la primera hora, su rendimiento se incrementa en un 0 .1 %. ¾Cuántos tornillos por minuto fabrica la máquina cuando funciona a pleno rendimiento? ¾Cuántos tornillos útiles y cuántos defectuosos producirá la máquina a lo largo de la primera hora?
Ejercicio 4. Una empresa que fabrica zapatillas de deporte estima el coste de producción de su modelo más exitoso en 24 euros por unidad. Luego lo vende a 71 euros por unidad. El mes en que lanza este modelo al mercado se demandan 10000 unidades, pero según transcurren los meses, la demanda decrece porque ya no son novedad. Cada mes venden un 6 % menos que el mes anterior. ¾Cuál es el bene cio de la empresa al cabo de un año?
El valor absoluto de la razón es 1 / 3 , más pequeño que 1 , y por ello la serie completa se puede sumar. Se obtiene
S =
1 − (−^1 / 3 )
Observa que en la fórmula para S hay que poner la razón con su signo; de ahí los dos signos menos seguidos en el denominador.
- El primer término es a 1 = 3 / 2 y la razón −^1 / 2. La suma de los cinco primeros términos es, por tanto,
S 5 = 3 / 2
(−^1 / 2 )^5 − 1
−^1 / 2 − 1
La razón es más pequeña que 1 en valor absoluto; en consecuencia la serie se puede sumar y sale
S =
1 − (−^1 / 2 )
Ejercicio 3. Denotemos Tn la cantidad de tornillos que fabrica la máquina en el minuto n después de encenderse. Así T 1 = 400, porque nos dice el enunciado que en el primer minuto fabrica 400 tornillos. También se nos dice que cada Tn+1 es 0 .1 % veces más grande que el Tn anterior, hasta llegar a T 60 (la producción en el minuto 60 ), porque a partir de ahí Tn se estabiliza puesto que la máquina ya trabaja a pleno rendimiento. Es decir, T 60 = T 61 = T 62 =.. .. La condición de que Tn+1 sea 0 .1 % veces más grande que Tn se expresa mate- máticamente como
Tn+1 = Tn +
· Tn = Tn + 0. 001 · Tn = 1. 001 · Tn
y lo que vemos con esto es que la producción Tn sigue, durante los primeros 60 minutos, una progresión geométrica de razón r = 1. 001 y término inicial T 1 = 400. Esto nos permite calcular inmediatamente la producción por minuto cuando la máquina funciona a pleno rendimiento, que es
T 60 = rn−^1 · T 1 = (1.001)^59 · 400 ≈ 424. 3
tornillos por minuto. La producción total de tornillos durante la primera hora es la suma de los que produce en el primer minuto (T 1 ), en el segundo (T 2 ), etc. Es decir, es T 1 + T 2 +
... + T 60. De acuerdo a la teoría, esto viene dado por la fórmula
S 60 = T 1
rn^ − 1 r − 1
(1.001)^60 − 1
tornillos. De ellos, la cuarta parte serán defectuosos, y los restantes útiles. Es decir, la máquina fabrica unos 6180 tornillos defectuosos y unos 18541 útiles durante su primera hora de trabajo.
Ejercicio 4. Llamemos Cn a la cantidad de zapatillas que vende la empresa en el mes nésimo, contando desde el mes de lanzamiento (n = 1). Por lo que se nos dice en el enunciado C 1 = 10000 y los sucesivos meses se tiene que cada Cn+1 es un 6 % menos que Cn; es decir,
Cn+1 = Cn − 0. 06 · Cn = 0. 94 · Cn.
Observamos así que Cn sigue una progresión geométrica de razón 0. 94. La cantidad total de zapatillas vendidas en un año es C 1 + C 2 +... + C 12 , que viene dado por la fórmula
S 12 = 10000
(0.94)^12 − 1
unidades. El bene cio que obtiene por cada unidad que vende es de 47 euros, y así el bene cio total a lo largo del primer año resulta ser 87346 · 47 = 4105262 euros.
