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MATEMÁTICAS BÁSICAS
PRODUCTOS NOTABLES
CONCEPTO DE PRODUCTO NOTABLE
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen
al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A
continuación se describen los más importantes.
CUADRADO DE UN BINOMIO
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio.
El desarrollo del cuadrado del binomio a + bse puede obtener multiplicando término a término:
( ) ( )( )
(^2 ) a +b = a+b a+b =a +ab+ba+b =a + 2 ab+b
“ El cuadrado de un binomio a + b es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de
los términos más el cuadrado del segundo término”.
Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a − b, también multiplicando término a término, se obtiene:
( ) ( )( )
(^2 ) a −b = a−b a−b =a −ab−ba+b =a − 2 ab+b
“ El cuadrado de un binomio a − b es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto
de los términos más el cuadrado del segundo término”.
En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por
lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que:
( ) [ ( )] ( )
(^2 ) a −b = a+ −b =a + 2 a−b +b =a − 2 ab+b
Ejemplos.
- ( 4 ) 2 ( )( 4 ) 4 8 16
(^2 ) a+ =a + a + =a + a+
(^) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x + 3 y = 2 x + 22 x 3 y + 3 y = 4 x + 12 xy+ 9 y
( 5 ) 2 ( )( 5 ) 5 10 25 2 2 2 2 b− =b + b − + =b − b+
( ) ( ) ( )( ) ( )
(^2 ) 6 k − 8 m = 6 k + 26 k − 8 m+− 8 m = 36 k − 96 km+ 64 m
- 2 2
2 2 2
16
25 3
5 9
4 4
5 4
5 3
2 2 3
2 4
5 3
2 a b a a b b = a + ab+ b
^ +
^ +
^ =
( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 32 22 2 3 32 4 2 3 6 7 p − 9 q = 7 p + 27 p − 9 q + 9 q = 49 p − 126 pq + 81 q
( 2 5 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 5 ) 5 4 20 25
(^2 ) − k+ = − k + − k + = k − k+
Representación geométrica de ( )
2 a + b :
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a + by las regiones que estas medidas generan
en el cuadrado. Los segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas
menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo a y ancho
b. La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a + b:
Representación geométrica de ( ) 2 a − b :
Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a. Los
segmentos a − b y b horizontales y verticales dividen al cuadrado
en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a − by otro
menor de lado b , y dos rectángulos de largo a − by ancho b. La
suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al
área total del cuadrado de lado 2 a. Por lo tanto, el área del
cuadrado de a − b es igual al área total menos el área de los
rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es:
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a −b =a − 2 a−bb−b =a − 2 ab+ 2 b −b =a − 2 ab+b
CUADRADO DE UN POLINOMIO
El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un trinomio.
El desarrollo del cuadrado del trinomio a + b+cse puede obtener de la siguiente forma:
( ) [( ) ] ( ) ( )
(^2 ) a +b+c = a+b +c = a+b + 2 a+bc+c =a + 2 ab+b + 2 ac+ 2 bc+c
ordenando se tiene
( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc 2 2 2 2
Por su parte, el desarrollo del cuadrado del polinomio de cuatro términos a + b+c+dse puede obtener
de la siguiente forma:
( ) [( ) ( )] ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 a +b+c+d = a+b + c+d = a+b + 2 a+b c+d + c+d 2 2 2 2 =a + 2 ab+b + 2 ac+ 2 ad+ 2 bc+ 2 bd+c + 2 cd+d
ordenando se llega a:
( a b c d) a b c d 2 ab 2 ac 2 ad 2 bc 2 bd 2 cd
(^2 )
En general, el cuadrado de un polinomio está dado por la suma de los cuadrados de cada uno de sus
términos más el doble producto algebraico de sus términos, tomados de dos en dos.
2 a −b =a− 2 ab+b
b
a
a
a − b
a − b
b^2
( a − b)^2
b (a −b)b
( a −b)b
2 a −b =a− 2 ab+b
b
a
a
a − b
a − b
b^2
( a − b)^2
b (a −b)b
( a −b)b
esto significa que el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de
sus términos.
Esto es:
( )( ) 2 2 a +b a−b =a −b
Ejemplos.
( 3 ) ( 3 ) 9 2 k+ k− =k −
( )( ) 2 2 3 x + 2 y 3 x− 2 y = 9 x − 4 y
( )( ) 2 2 5 a + 8 b 5 a− 8 b = 25 a − 64 b
( )( ) 2 3 2 3 4 6 4 w + 7 z 4 w − 7 z = 16 w − 49 z
2 2 25
x y x y= x − y
( )( ) 2 2 2 2 6 jk + 4 mn 6 jk− 4 mn = 36 j k − 16 mn
(^) ( )( ) 2 3 4 2 5 23 4 2 5 46 8 4 10 2 10 r tv + 12 suw 10 rtv − 12 suw = 100 rt v − 144 su w
( )( )
2
La representación del producto de dos binomios conjugados se efectúa a partir de un cuadrado de lado
a y un cuadrado interior de lado b. El área sombreada representa
2 2 a − b y está dada por la suma de
los rectángulos (^ a^ −^ b)ay b(^ a−^ b), esto es, ( a + b)( a−b):
a − b
b
( )( )
2 2 a +b a−b =a −b
a
a
2 b
b a − b
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios cuyo término común es x de la forma
( x + a) por ( x + b). Al desarrollar el producto se tiene: ( x + a)( x+b) =x +xb+xa+ab
2 , que se
puede agrupar como sigue:
( x + a)( x+b) =x +( a+b) x+ab
2
Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más
la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.
Ejemplos.
- (^2 )(^3 )^ (^23 )^ (^2 )( 3 )^56
2 2 x+ x+ =x + + x+ =x + x+
- ( 1 ) ( 4 ) ( 1 4 ) ( 1 )( 4 ) 3 4
2 2 a− a+ =a + − + a+ − =a + a−
- ( 2 5 )( 2 3 ) ( 2 ) ( 5 3 )( 2 ) ( 5 )( 3 ) 4 16 15
(^2 ) b+ b+ = b + + b + = b + b+
- ( 3 6 )( 3 7 ) ( 3 ) ( 6 7 )( 3 ) ( 6 )( 7 ) 9 39 42
(^2 ) z− z− = z + − − z + − − = z − z+
- (^) ( ) ( )( ) 5 2
21
16
49 5 1 4
7 5 1 4
7 1 4
7 5 4
(^7 )
2 + − − = −^ +
+ −^ −
^ =
−
x− x x x x x
( 2 8 )( 2 11 ) ( 2 ) ( 8 11 )( 2 ) ( )( 8 11 ) 4 6 88 4 4 4 2 4 8 4 e + e − = e + − e + − = e − e −
( 5 4 )( 5 7 ) ( 5 ) ( 4 7 )( 5 ) ( 4 )( ) 7 25 15 28 3 2 3 2 3 2 2 3 2 6 4 3 2 α β − α β + = α β + − + α β + − = α β + α β −
( 5 ) ( 12 ) ( ) ( 5 12 )( ) ( 5 )( 12 ) 17 60
(^2 ) − k+ −k+ = −k + + −k + =k − k+
Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado x. A
uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que se forma
una superficie con cuatro regiones:
x + b
b
a
xb
xa ab
( x + a)( x+b) =x +(a +b) x+ab
2
x + a
2
x x
x
^ +
3 2 2 25
a a b a b
3 3 2 2 3 3 2 2 3 125
- b = a + ab+ ab + b = a + ab+ ab + b
- (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 23 33 32 2 3 2 2 23 4 x − 8 y = 4 x + 34 x − 8 y + 34 x − 8 y + − 8 y
( )( ) ( )( )
9 6 2 3 4 6 9 6 2 3 4 6 = 64 x + 316 x − 8 y + 34 x 64 y − 512 y = 64 x − 384 x y + 768 x y − 512 y
- (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 2 2 3 − 3 a+ 10 = − 3 a + 3 − 3 a 10 + 3 − 3 a 10 + 10
27 3 ( 9 )( 10 ) 3 ( 3 )( 100 ) 1000 27 270 900 1000 3 2 3 2 = − a + a + − a + =− a + a − a+
- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2 3 − 9 z− 2 = − 9 z + 3 − 9 z − 2 + 3 − 9 z − 2 + − 2
729 3 ( 81 )(^2 )^3 (^9 )(^4 )^87294861088
3 2 3 2 = − z + z − + − z − =− z − z − z−
CUBO DE UN TRINOMIO
El desarrollo de un cubo de trinomio a + b+cse obtiene multiplicando este trinomio por su cuadrado:
( a b c) ( a b c)( a b c) (a b c)(a b c 2 ab 2 ac 2 bc)
(^3 )
- = + + + + = + + + + + + +
a ab ac ab ac abc ab b bc ab abc b c
3 2 2 2 2 2 3 2 2 2
2 2 3 2 2 +a c+bc+c + 2 abc+ 2 ac + 2 bc
simplificado queda como:
( a b c) a b c 3 a b 3 ab 3 ac 3 ac 3 bc 3 bc 6 abc
(^3 )
El resultado consta de diez términos y presenta la siguiente estructura:
El cubo de un trinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de los términos, más el triple producto del cuadrado de cada término por cada uno de los términos restantes más seis veces el
producto de los tres términos.
Ejemplos.
- ( 4 a 2 b 5 c) ( 4 a) ( 2 b) ( 5 c) 3 ( 4 a) ( 2 b) 3 ( 4 a)( 2 b) 3 ( 4 a) ( 5 c)
3 3 3 3 2 2 2
3 ( 4 a )( 5 c) 3 ( 2 b) ( 5 c) 3 ( 2 b)( 5 c) 6 ( 4 a)( 2 b)( 5 c)
2 2 2
64 a 8 b 125 c 3 ( 16 a )( 2 b) 3 ( 4 a)( 4 b ) 3 ( 16 a )( 5 c)
3 3 3 2 2 2 = + + + + +
3 ( 4 a )( 25 c ) 3 ( 4 b )( 5 c) 3 ( 2 b)( 25 c ) 6 ( 4 a)( 2 b)( 5 c) 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 = 64 a + 8 b + 125 c + 96 ab+ 48 ab + 240 ac+ 300 ac
60 b c 150 bc 240 abc 2 2
- ( 3 6 1 ) ( 3 ) ( 6 ) ( 1 ) 3 ( 3 ) ( 6 ) 3 ( 3 )( 6 ) 3 ( 3 ) ( 1 )
3 3 3 3 2 2 2 x− y− = x + − y + − + x − y + x − y + x −
3 ( 3 )( 1 ) 3 ( 6 ) ( 1 ) 3 ( 6 )( 1 ) 6 ( 3 )( 6 )( 1 )
2 2 2
- x − + − y − + − y − + x − y −
27 216 1 3 ( 9 )( 6 ) 3 ( 3 )( 36 ) 3 ( 9 )( 1 )
3 3 2 2 2 = x − y − + x − y + x y + x −
3 ( 3 )( 1 ) 3 ( 36 )( 1 ) 3 ( 6 )( 1 ) 6 ( 3 )( 6 )( 1 ) 2
27 x 216 y 1 162 x y 324 xy 27 x 9 x 108 y 18 y 108 xy 3 3 2 2 2 2 = − − − + − + − − +
3 3 3 3 2 2
^ +
^ +
^ +
^ =
e+ f − g e f g e f e f
2 2 2 2
4
3
3
2 3 4
3
3
2 3 4
3
2
1 3 4
3
2
1 (^3)
−
^ +
−
^ +
−
^ +
−
^ +
3 3 3 2 2 9
e f g e f e f
^ +
^ +
^ +
2 2 2 2 16
3 e g e g f g f g
+ e f g
3 3 3 2 2 2 2 32
= e + f − g + e f+ ef − eg+ eg
f g fg efg 2
3
8
2 9 2 − + −
- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 43 23 33 43 22 3 − 5 β − 4 δ + 10 λ = − 5 β + − 4 δ + 10 λ + 3 − 5 β − 4 δ
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 32 22 4 2 4 2
- 3 − 5 β − 4 δ + 3 − 5 β 10 λ + 3 − 5 β 10 λ
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 3 2 4 3 4 2 2 3 4
- 3 − 4 δ 10 λ + 3 − 4 δ 10 λ + 6 − 5 β − 4 δ 10 λ
( )( ) ( )( )
6 9 12 4 3 2 6
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
4 4 2 8 6 4 3 8
( )( )( )
2 3 4
6 9 12 4 3 2 6 4 4
2 8 6 4 3 8 2 3 4
SUMA Y RESTA DE CUBOS
Para obtener la suma de dos cubos de la forma
3 3
a + b se efectúa el siguiente producto:
( )( ) 2 2 a +b a −ab+b
cuyo desarrollo es:
3 2 2 2 2 3
a −ab+ab +ab−ab +b
y simplificando se tiene:
3 3
a +b
( )( ) 2 3 2 2 3 3 3 y− 2 y + 2 y+ 4 =y + 2 y + 4 y− 2 y − 4 y− 8 =y − 8 =y − 2
- ( )( ) 2 2 5 p − 6 q 25 p + 30 pq− 36 q
Solución:
( )( )
2 2 3 2 2 2 2 3 5 p − 6 q 25 p + 30 pq− 36 q = 125 p + 150 pq− 180 pq − 150 qp − 180 pq − 216 q
( ) ( ) 3 3 3 3 = 125 p − 216 q = 5 p − 6 q
2 2 25
a b a ab b
Solución:
2 2 3 2 2 2 2 3 125
a b a ab b = a + ab+ ab − ab− ab − b
3 3 3 3 5
^ −
= a − b = a b
BINOMIO DE NEWTON
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton , expresa la enésima potencia de un
binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( )
n a + b posee singular importancia ya que
aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del
conocimiento.
Si el binomio de la forma ( a + b)se multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes
potencias:
( a + b) =a+b
1
( ) ( )( )
2 2
2
2 a b a b a b a 2 ab b veces
( ) ( )( )( ) 3 2 2 3
3
3 a b a b a b a b a 3 a b 3 ab b veces
( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 4
4
4 a b a b a b a 4 ab 6 ab 4 ab b veces
( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 2 3 4 5
5
5 a b a b a b a 5 ab 10 ab 10 ab 5 ab b veces
( ) ( ) ( ) 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6
6 a b a b a b a 6 ab 15 ab 20 ab 15 ab 6 ab b veces
De los desarrollos anteriores, se observa que:
- El desarrollo de n (a + b) tiene n + 1 términos
- El exponente de a^ empieza con n^ en el primer término y va disminuyendo en uno con cada término,
hasta cero en el último
- El exponente de b empieza con cero en el primer término y va aumentando en uno con cada
término, hasta n en el último
- Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n
- El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n
- El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el
exponente de a^ dividido entre el número que indica el orden de ese término
- Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
Ejemplo.
( )
(^6 ) a +b =a + 6 ab+ 15 ab + 20 ab + 15 ab + 6 ab +b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6
61 5
152 4
203 3
154 2
65 1
1 16
es
Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
1 2 2 3 3 4 4 12 3 4
( 1 ) 2 3
12 3
( 1 )( 2 )
12
( 1 )
1
a b
nn n n a b
nn n a b
nn a b
n a b a
n (^) n n− n− n− − − − n−
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )
n n a b b
n n n n n +⋅⋅⋅+
− − − −
− 5 5 12 3 4 5
1 2 3 4
Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le
preceden hasta el uno. Se denota mediante n! :
n! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 ) ⋅⋅⋅( n− 1 )( n)
Por definición, el factorial de cero es uno: 0! ≡ 1
Ejemplos.
3! = 1 ( 2 )( 3 ) = 6
5! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 )( 5 ) = 120
8! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 )( 5 )( 6 )( 7 )( 8 ) = 40 , 320
14! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 ) ⋅⋅⋅( 13 )( 14 ) = 87 , 178 ' 291 , 200
Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:
( )
1 2 2 3 3 (^ )(^ )^44 4!
a b
nn n n a b
nn n a b
nn a b
n a b a
n n n− n− n− − − − n−
( )( )( )( ) (^) n n a b b
n n n n n +⋅⋅⋅+
− 5 5 5!
Ejemplos.
- Obtener el desarrollo de 4 ( 3 x − 4 y )
Solución.
Haciendo a = 3 x, b = − 4 y y n= 4
Aplicando la fórmula se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 2 2 3 4 3 4 4 3!
3 x − 4 y = 3 x + x − y + x − y + x − y + − y
a= x,b= 4 y, n= 7 ,r= 6
Aplicando la expresión se tiene:
( )( )( )( ) ( ) ( )
2 5 2 5 2 5 4 21 1024 21504 5!
x y = x y = , x y
El triángulo de Pascal es un esquema que tiene como característica que cada uno de los componentes de sus filas representa los coeficientes del desarrollo binomial.
Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el 1 de la cumbre. De una fila a la siguiente se escriben los números con un desfase de medio lugar o casilla para que cada casilla tenga dos números
justo arriba, en la fila anterior. Cada extremo de la fila tiene un 1 y el valor que se escribe en una casilla
es la suma de los números que están encima.
Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de
a y b , de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto
es:
1 1
1 2 1
1 1
1 1
3 3
4 6 4
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 a + b
2 a + b
3 a + b
4 a + b
( (^) a + b)^5
6 a + b
7 a + b
( a + b)^0^1
Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ( )
6 a + b , se le aplican los factores de la
séptima fila, tal y como se muestra en la siguiente figura:
1 6 15 20 15 6 1
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a + 6 ab+ 15 ab + 20 ab + 15 ab + 6 ab +b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a ab ab ab ab ab b
Ejemplos.
- Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar ( )
4 3 x − 2 y
Solución.
Ubicando los coeficientes respectivos se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
4 4 3 2 2 3 4 3 x − 2 y = 3 x + 43 x − 2 y + 63 x − 2 y + 43 x − 2 y + − 2 y
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 3 2 2 3 4 = 81 x + 427 x − 2 y + 69 x 4 y + 43 x − 8 y + 16 y 4 3 2 2 3 4 = 81 x − 216 x y+ 216 x y − 96 xy + 16 y
- Encontrar la expansión de ( ) 4 3 6 5 a + 4 b aplicando el triángulo de Pascal.
Solución.
Ubicando los coeficientes respectivos se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 36 46 45 3 4 4 3 2 4 3 3 3 42 3 4 5 a + 4 b = 5 a + 65 a 4 b + 155 a 4 b + 205 a 4 b + 155 a 4 b
( )( ) ( ) 4 35 36
( )( ) ( )( ) ( )( ) 24 20 3 16 6 12 9 = 15 , 625 a + 63 , 125 a 4 b + 15625 a 16 b + 20125 a 64 b
( )( ) ( )( ) 8 12 4 15 18
- 15 25 a 256 b + 65 a 1 , 024 b + 4 , 096 b 24 20 3 16 6 12 9 8 12 = 15 , 625 a + 75 , 000 a b + 150 , 000 a b + 160 , 000 a b + 96 , 000 ab 4 15 18
- 30 , 720 a b + 4 , 096 b
