¡Descarga Práctica de Variable Compleja: Límites, Derivadas y Funciones Analíticas y más Ejercicios en PDF de Ingeniería solo en Docsity!
UPEA PRACTICA Nº 2
Gestion II- 2019
AREA INGENIERIA
VARIABLE COMPLEJA : MAT 204
LIMITES
- Calcular los limites
a)
2 2
lim z i 2 4
z z
z z
Rpta.
i
b)
3 2
2
lim z i 2
z iz z i
z i
Rpta. 12
- Calcular 3 3
2
lim 1
i
i z e
z z e z
Rpta.
1 3
i
- Resolver
2
2 1
tan 1 lim z 1
z
z
Rpta.^1
4. Si
2 f z z 2 z demostrar que
lim 2 1
z i
f z i
- Hallar el límite si existe:
a)
2 3
lim z i 4
z z
z z
b) 0
lim z
z
z
c)
2
3
lim z 1
z
z
d)
3
4 2 2
lim z i 4 16
z
z z
6.Demostrar los siguientes limites:
a) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏+𝒊
𝒛 𝟐 = 𝟐𝒊
b) 𝑺𝒊 𝒇(𝒛)^ =
𝟑𝒛𝟒−𝟐𝒛𝟑+𝟖𝒛𝟐−𝟐𝒛+𝟓 𝒛−𝒊 demostrar
𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒊
𝒇(𝒛) = 𝟒 + 𝟒𝒊
c) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒊
𝒛𝟐+𝟏 𝒛+𝒊
= 𝟎
d) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏
𝒛𝟑−𝟏 𝒛−𝟏
7.Calcular los siguientes limites:
a) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→
𝒊 𝟐
(𝟐𝒛−𝟑)(𝟒𝒛+𝒊) (𝒊𝒛−𝟏)𝟐^
𝑹. −
𝟒 𝟑
− 𝟒𝒊
b) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒆
𝝅 𝟒 𝒊
𝒛𝟐 𝒛𝟒+𝒛+𝟏
𝑹.
√𝟐 𝟐
(𝟏 + 𝒊)
c) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒊
𝒛𝟐+𝟏 𝒛𝟔+𝟏
𝑹. −𝟏/𝟒
d) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟐𝒊
𝒛𝟐+𝟒 𝟐𝒛𝟐+(𝟑−𝟒𝒊)𝒛−𝟔𝒊
e) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒊
𝟑𝒛𝟒−𝟐𝒛𝟑+𝟖𝒛𝟐−𝟐𝒛+𝟓 𝒛−𝒊
𝑹. 𝟒 + 𝟒𝒊
f) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝒊
𝒛𝟐+𝟒 𝟐𝒛𝟐^ +(𝟑−𝟒𝒊)𝒛−𝟔𝒊
𝑹.
𝟒
𝟐𝟓
(𝟒 + 𝟑𝒊)
g) Verificar que
𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏+𝒊
𝒛𝟐−𝒛+𝟏−𝒊 𝒛𝟐−𝟐𝒛+𝟐
= 𝟏 −
𝟏 𝟐
𝒊
- Aplicando la regla de L’Hopital
calcular:
a) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎
𝒛−𝒔𝒆𝒏𝒛
(𝒛 𝒔𝒆𝒏 𝒛)
𝟑 𝟐
𝑹. 𝟏/𝟔
b) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎
𝒛𝟒 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒛−𝟐+ 𝒛𝟐^
𝑹. 𝟏𝟐
c) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎
(𝐜𝐨𝐬 𝒛)
𝟏 𝒛𝟐^
𝑹. 𝒆 − 𝟏 𝟐
d) 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟎
𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈(𝒛𝟐+𝟏)
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒛𝟐+𝟏)
𝑹. 𝟏
e) lim 𝑧→ 𝜋 2 𝑖
𝑧 2 𝑐𝑜𝑠ℎ
4 3
𝑧
R
𝝅𝟐 𝟖
9.Encontrar los puntos de discontinuidad
de las siguientes funciones:
a) 𝒇(𝒛) =
𝒊 𝒛(𝒛+𝒊)
𝑹. 𝒛 = 𝟎, −𝒊
b) 𝒇(𝒛)^ =
𝒛[𝒛𝟐+(𝟏+𝒊)𝒛+𝒊] (𝒛−𝒊)(𝒛+𝒊)
c) 𝒇(𝒛)^ =
𝒛𝟐+𝟏 𝒛𝟑+𝟏
- Determinar si las funciones son
continuas en los puntos indicados:
a) 𝒇(𝒛) =
𝒛𝟐−( 𝟐+𝒊)𝒛+𝟐𝒊 (𝒛−𝒊)
en z=i
b)𝒇(𝒛) =
𝒛(𝒛𝟒−𝟏𝟔) 𝒛𝟐−𝟒
𝒆𝒏 𝒛 = 𝟐
DERIVADAS
- Hallar la derivada por definición
a) f^ z^ ^ z ^7
Rpta.
f z z
b)
2 f z z z 3
c) f z cos z
- Usando la definición derivar en el
punto indicado
2 f z 3 z
;
z 1 i
- Derivar la función
sen 1 ln sen 1
z f z z
Rpta.sec z
- Derivar la siguiente función
2 2 f z z 1 z z cos 2 z
Rpta.
2
2
2 1 1 cos 2 2 sen 2
1
z f z z z z z z
z
- Derivar
a)
cos sen
z f z z
b)
2 1 arc sen 1
z f z z
c)
1 f z coth z csc 4 z i
d)
2 1 2 f z csc h 3 2 z z 1
e)
ln z
z z f z e
f) cos ln
z f z e z
g)
z 2 i f z z
h)
sen cos
z f z z
i)
2 1 arccos
z f z z i
j)
1 sen 3 2
z f z
k) 2
z f z z i
- Encontrar la derivada en el punto
indicado
z i i z f z z
, en
z i
- Encontrar la derivada de cada una de
las siguientes funciones
a)
3 1 2 f z tan 3 z 2 i
b)
1 2 f z ln ctn z 2 i
c)
1 f z tanh z csc 2 z i
d)
1 1 2 2 f z sen z 3 i
(^)
DERIVADAS IMPLICITAS
c) Expresar f(z) en términos
de z.
- Demostrar si 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 𝑧̅ es
a) Derivable en 𝑧 0 = 0 b) Analitica en 𝑧 0 = 0
- Indicar si las siguientes funciones son Armónicas ,en caso de ser Armónica ,hallar su conjugada armónica V(x,y)
a) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 4 − 6 𝑥 2 𝑦 2
b) 𝑣(𝑥, 𝑦) = ln[(𝑥 − 1 ) 2
- Analizar si las siguientes funciones son Armónicas, de ser afirmativo. Hallar la
función conjugada V(x,y) armónico tal que F=u+i v.
a) 𝑢(𝑥, 𝑦)^ = 𝑥𝑒 𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦. Hallar f(z) R. 𝑧𝑒 𝑧
b) 𝑢(𝑥, 𝑦)^ = 2 𝑥( 1 − 𝑦)
Comprobar que la siguiente función
𝑢(𝑥, 𝑦)^ = 𝑒 𝑥^2 −𝑦^2 cos( 2 𝑥𝑦) es Armónica, hallar su conjugada armónica v(x,y) tal
que F = u + iv y expresar F en función de z. 𝑅. 𝑒 𝑧^2
𝐹𝐹
(
𝑧 9 𝑘𝑙´𝑤𝑓
- Indicar si la siguiente función es analítica:
𝑓(𝑥, 𝑦)^ = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑥^2 + 𝑦^2
) cos ℎ(
𝑥
𝑥^2 + 𝑦^2
) − 𝑖 cos (
𝑥
𝑥^2 + 𝑦^2
) 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑥
𝑥^2 + 𝑦^2
)
- Determinar si la función
𝑢(𝑥, 𝑦)^ = 3 𝑥 2 y + 2 𝑥 2 − 2 𝑦 2 − 𝑦 3
Es armónica, de ser afirmativa la respuesta, calcular el conjugado armónico V(x,y).
Expresar F = u + i v en función de z. R. – z 3 i +2 z 2
