¡Descarga Limites y funciones de variable compleja y más Ejercicios en PDF de Cálculo Avanzado solo en Docsity!
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCI ´ON
FACULTAD POLIT´ECNICA
C ´ALCULO V - EJERCITARIO 2 - A ˜NO 2018
- Sea f (z) = Re(z^2 ) + 2|z|^2 − 5. Hallar:
A) f (2 + i) B) f (4i − 1) C) f (1 − i) D) f (i)
Rta: A) 8 B) 14 C) − 1 D) − 4
- Si f (z) = 3z^40 − 2 z^11 + 2. Hallar:
A) f (
2 + i
- B) f (
3 + i)
Rta: A) (2 + 3 · 2 40
11
2 i B) (− 3 · 2 39 − 2 11
3 + 2) + i(3 · 2 39
11 )
- Describir el dominio de definici´on de las siguientes funciones:
A) f (z) = Arg
z − 2
B) f (z) = −
z − 1
C) f (z) =
z^5
D) f (z) =
z
1 + |z|
E) f (z) =
1 − |z|
F) f (z) =
z − z
G) f (z) =
3 z
z^2 + 4
H) f (z) = 4z^3 + 3iz^2 + 5z + 2i − 1
Rta: A) {z ∈ C : z 6 = 2} B) {z ∈ C : z 6 = 1} C) {z ∈ C : z 6 = 0} D) C
E) {(x, y) ∈ C : x 2
- y 2 = 1} F) {(x, y) ∈ C : y 6 = 0} G) {z ∈ C : z 6 = ± 2 i}
H) C
- Expresar las sgtes. funciones en la forma u(x, y) + iv(x, y)
A) f (z) = z^2 + 3iz B) f (z) = z^2 − z + 3 C) f (z) = −
1 − z
D) f (z) = z · z − 4 iz E) f (z) = z 3
Rta: A) f (z) = (x^2 −y^2 − 3 y)+(3x− 2 xy)i B) f (z) = (x^2 −y^2 −x+3)+i(2xy −y)
C) f (z) =
(x − 1)
(1 − x)^2 + y^2
−y
(1 − x)^2 + y^2
D) f (z) = (x^2 + y^2 + 4y) + (− 4 x)i
E) f (z) = (x^3 − 3 xy^2 + 1) + i(3x^2 y − y^3 )
- Expresar las sgtes. funciones en la forma u(r, θ) + iv(r, θ)
A) f (z) = z^1 /^2 B) f (z) = z^4 − z^2 C) f (z) =
i
z^5
D) f (z) = z −
z
E) f (z) =
z^2
Rta: A) f (z) =
r cos
θ
2
r sen
θ
2
B) f (z) = (r^4 cos 4 θ − r^2 cos 2 θ) + i(r^4 sen 4 θ + r^2 sen 2 θ)
C) f (z) =
r^5
sen 5 θ + i
r^5
cos 5 θ
D) f (z) =
r −
r
cos θ − i
r +
r
sen θ
E) f (z) =
r^2
cos 2 θ + i
r^2
sen 2 θ
- Demostrar:
A) l´ım z→1+i
iz − 1 = −2 + i B) l´ım z→ 2 i
(z 2
C) l´ım z→z 0
|z| = |z 0 | D) l´ım z→z 0
Im z = Im z 0
- Probar que no existe l´ımite cuando z → 0 para cada una de las sgtes. funciones:
A) f (z) =
Re z
z
B) f (z) =
Im z
z
C) f (z) =
z 2
z^2
- Determinar si existe :
l´ım z→ 0
(Re z) 4
(z · z)^2
Rta: No existe
- Calcular los sgtes. l´ımites:
A) l´ım z→ 4 i
z 2 − 3 z + 1 − 3 i B) l´ım z→
√ 2+
√ 2 i
|z| 2 C) l´ım z→
√ 3
z^2 − 3
z^4 − 4 z^2 + 3
D) l´ım z→6+3i
[ ln(z · z) + iRe z ] E) l´ım z→ 0
|z| 4
z^2
F) l´ım z→i
z 2
z^6 + 1
Rta: A) − 15 − 15 i B) 4 C) 1/ 2 D) ln 45 + 6i E) 0 F) 1/ 3
- Probar que:
A) l´ım z→∞
z + i
2 i
= ∞ B) l´ım z→ 1 / 3
2 z + 5 + 3i
3 z − 1
= ∞ C) l´ım z→i
1 + i
(z − i)^4
D) l´ım z→∞
2 z + 3
z − i
= 2 E) l´ım z→∞
3 z^2
(z − 1)^2
= 3 F) l´ım z→1+i
z − (1 + i)
Rta: f es continua sobre R
E) f (z) =
Im z
|z|
si z 6 = 0
0 si z = 0
sobre R = {z ∈ C : |z| < 1 }
Rta: f no es continua sobre R
F) f (z) =
7 z + 2
z^2 − 2 iz − 1
sobre R = {z ∈ C : |z − 2 i| < 1 }
Rta: f es continua sobre R
Elaborado por: Lic. Mercedes Ruiz D´ıaz.
Revisado por: MSc. Teresa Alderete.
