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INVESTIGACIÓN

MÉTODO DEL

RESIDUO

Variable Compleja

Lic. Maynor Baide

Diana Muñoz

Índice

• Introducción
• Marco teórico: Método del Residuo
  • Residuos
  • Polo simple
  • Polo de orden superior
  • Integrales Reales
  • Integrales Impropias de funciones
  • Integrales de Fourier
  • Otros tipos de integrales
• Desarrollo de Ejercicios
• Conclusiones
• Bibliografía

Integración en variable compleja. Método de los residuos

Concepto de Residuo:

Si f ( z ) es analítica en una vecindad de un punto 𝑧=𝑎, entonces ∫

𝑐

= 0 para

cualquier curva simple cerrada C en la vecindad, no así si f ( z ) es singular en 𝑧=𝑎

que se encuentra en el interior de C donde la integral no se hará cero. Al usar la

serie de Laurent en el caso de la singularidad:

Esta serie converge para 0 <⃓ 𝑧−𝑎⃓ <𝑅 siendo R la distancia de a al punto singular

más cercano de f(z), con lo cual el coeficiente:

O bien

A 𝑐

1

se le conoce con el nombre de residuo de f ( z ) y se le denota como:

Como la serie de Laurent no se desarrolla comúnmente por el método directo sino

por otros métodos, se puede usar estos para determinar 𝑐 1

y usar ∫

𝑐

= 2πiC

para evaluar la integral de contorno.

Polo Simple:

Sea f ( z ) una función compleja con un polo simple en 𝑧 = 𝑎 y f ( z ) se puede expresar

como 𝑓(𝑧) =

p(z)

q(z)

siendo p ( z ) y q ( z ) funciones analíticas en 𝑧 = 𝑎 y 𝑝(𝑎) ≠ 0 y q ( z )

tiene un polo simple en 𝑧 = 𝑎. Al desarrollar q ( z ) en una serie de Taylor:

Entonces:

Para Polo de Orden Superior:

Para polos de orden superior 𝑚 > 1 en un punto 𝑧 = 𝑎, la serie de Laurent será de la

forma:

Con 𝑐𝑚 ≠ 0 y la serie convergen en la vecindad 𝑧 = 𝑎. Al multiplicar ambos

miembros por (𝑧 – 𝑎)

m

Ahora 𝑐 1 es el coeficiente de la potencia (𝑧 – 𝑎)

m- 1

.De la serie Taylor 𝑔(𝑧)=(𝑧-𝑎)

m

con centro en 𝑧 = 𝑎:

Y el residuo es:

Sea f ( z ) una función que es analítica en el interior de una trayectoria simple

cerrada C y sobre C , excepto en un número finito de puntos singulares a 1

, a 2

⋯, a m

el interior de C , entonces:

Integrales de Fourier:

Otros tipos de integrales son las Integrales de Fourier, las cuales pueden ser

evaluadas usando las siguientes expresiones;

Otros tipos de Integrales de Forma ∫ 𝒇

𝑩

𝑨

Cuyo integrando se hace infinito en 𝑥 = 𝑎 que se encuentra entre A y B , es decir:

La integral se puede colocar de la forma:

Donde ε y η tienden a cero de forma independiente. Si 𝜀 = 𝜂, entonces:

Si este límite existe, toma el nombre de VALOR PRINCIPAL DE CAUCHY.

(v.pro.)

El valor principal de Cauchy se denota por: 𝑣. 𝑝𝑟. ∫

𝐵

𝐴

El 𝑣. 𝑝𝑟. Existe aun cuando la propia integral no tenga un significado.

Para evaluar integrales impropias cuyos integrados tengan polos en el eje real, se

usa una trayectoria que evite estas singularidades.

Conclusión

El método del Residuo es una forma de resolver Integrales en Variable Compleja,

cuando una función falla en ser analítica para un número finito de puntos interiores a C

veremos a continuación que existe un número específico llamado residuo, para cada uno

de los puntos donde f no es analítica, que contribuye al valor de la integral. Para lo que

se desarrolló dicho teorema, pudiendo así comprobar la importancia de éste para

resolver tanto funciones complejas como funciones reales.