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Departamento de Matem´atica Aplicada ESTADISTICA APLICADA (Curso 2015-2016) Grado en Ingenier´ıa Qu´ımica Minimos cuadrados. Hoja 2.
1 Se ha medido el contenido de ox´ıgeno, Y , en mg/litro de un lago, a una profundidad de X metros, obteni´endose los siguientes datos:
X 15 20 30 40 50 60 Y 6.5 5.6 5.4 6 4.6 1. a) Dibujar la nube de puntos. b) Calcular el coeficiente de correlaci´on. c) Calcular las rectas de regresi´on. d) Para una profundidad de 55 metros, ¿qu´e contenido en ox´ıgeno se puede predecir?
2 Se determino la p´erdida de actividad de un preparado qu´ımico en el transcurso del tiempo y se obtuvieron los siguientes resultados:
X =Tiempo (meses) 1 2 3 4 5 Y = % Actividad 90 75 42 30 21
a) Calcular las rectas de regresi´on de Y sobre X y de X sobre Y. b) Estimar el tiempo en meses que corresponde al 80 % de actividad y la actividad que corresponder´ıa a 40 d´ıas.
3 Dados los datos siguientes:
xi 50 50 70 55 70 65 70 55 65 55 50 65 yi 74 76 95 81 98 94 87 85 90 76 79 85
a) Calcular las ecuaciones de las rectas de regresi´on. b)¿C´ual es el valor estimado de y cuando x vale 60? c) ¿C´ual es el valor estimado de x cuando y vale 80?
4 Para analizar la calibraci´on que mide la intensidad de fluorescencia (X) en una concentraci´on (Y ) se tomaron los siguientes datos (en las unidades adecuadas):
∑^8
i=
xi = 112, 5
∑^8
i=
x^2 i = 2977, 39
∑^8
i=
yi = 30
∑^8
i=
y i^2 = 220
∑^8
i=
xiyi = 806
- Calcular la recta de regresi´onde X sobre Y , y el coeficiente de correlaci´on.
- Dibujar la recta de regresi´on.
- ¿Qu´e intensidad de fluorescencia habr´a en una concentraci´on de 7 unidades?
5 El n´umero de mol´eculas por unidad de volumen presentes en una reaccion qu´ımica despu´es de X minutos viene expresado en la siguiente tabla:
Minutos 0 1 2 3 4 5 Mol´eculas 12 19 23 34 56 62
a) ¿Cu´antos minutos habr´an de pasar para tener 70 mol´eculas? b) ¿Cu´antas mol´eculas se esperan tener al cabo de 6 minutos? c) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.
6 Las rectas de regresion de m´ınimos cuadrados que dan la relacion entre el per´ımetro tor´acico y el peso de un grupo de 200 individuos vienen dadas por las ecuaciones { y = 0′ 52 x + 21′ 71 (y = peso medido en kg) x = 0′ 75 y + 40′ 97 (x = per´ımetro medido en cm).
Dibujar las rectas. Calcular el coeficiente de correlacion lineal, el per´ımetro tor´acico medio y el peso medio.
7 Partiendo de 6 pares de datos (xi, yi), se ha llevado a cabo un ajuste de regresi´on por m´ınimos cuadrados y se han obtenido las rectas
y = − 0 ′ 132 x + 8′681 e y = − 0 ′ 179 x + 9′ 962.
Se sabe tambi´en que la varianza de los datos xi es s^2 x = 72′917. ¿C´ual de las dos rectas es la recta de regresi´on de y sobre x? Determinar el resto de par´ametros muestrales as´ı como el coeficiente de correlaci´on lineal. Si denotamos por ̂yi los valores estimados de yi mediante la recta de regresi´on de y sobre x, calcular el valor medio de estos datos, as´ı como su varianza. ¿Es cierta la siguiente relaci´on? ∑
i
(yi − y)^2 =
∑
i
(yi − ŷi)^2 +
∑
i
( ŷi − y)^2
8 La siguiente tabla de valores experimentales da la presion P de una masa de gas dada correspon- diente a varios valores del volumen V.
vi (en cm^3 ) 890 1013 1186 1453 1943 3179 pi (en kg/cm^2 ) 4’33 3’50 2’66 2’00 1’36 0’
Ajustar los datos a una curva de la forma
P V n^ = m,
de acuerdo con los Principios de la Termodin´amica, donde m y n son constantes.
9 Se han obtenido los siguientes datos experimentales:
vi (en litros) 1’65 1’03 0’74 0’61 0’53 0’ pi (en kg/cm^2 ) 0’5 1 1’5 2 2’5 3
(a) Ajustar estos datos a una curva de la forma P V n^ = m. (b) Ajustar estos datos a una curva de la forma P =
aV + b
(c) ¿Qu´e ajuste es mejor? Calcular el Error Cuadr´atico Medio (ECM) en ambos casos.
10 Trazar un diagrama de dispersion (nube de puntos), para los siguientes datos:
xi 2 12 4 6 9 4 11 3 10 11 3 1 13 12 14 7 2 8 yi 4 8 10 9 10 8 8 5 10 9 8 3 9 8 8 11 6 9
a) Calcular el coeficiente de correlaci´on lineal. ¿Tiene sentido utilizar t´ecnicas de regresion lineal para obtener la curva de mejor ajuste? b) Ajustar los datos a una par´abola.
