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1.- Se va a construir un almacén de 500 m 3 de volumen con forma de paralelepípedo. El aire caliente que produzca su sistema de calefacción ascenderá, lo que supondrá una pérdida de calor por unidad de techo igual a 5 veces la que se produzca por el suelo. Si la pérdida de calor a través de las 4 paredes laterales es, por unidad de área, triple que en el suelo, determinar las dimensiones del almacén que minimizan las pérdidas de calor y en consecuencia el coste de calefacción.
2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P 0 3 , 2 , 1 y que corta a los
semiejes coordenados OX ^ ,OY y (^) OZ determinando un tetraedro de volumen mínimo.
3.- Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos en R 2 de la función:
f ^ x,y^ x^2 xy^2 2 y 1
4.- Consideremos una placa circular de radio 2 2 y centro en el origen. La temperatura
en cada punto P( x , y ) de la placa viene dada por T x , y x^3 y^3 3 xy ; localizar el
punto más caliente y el punto más frío de la placa.
5.- Un cuerpo está limitado por la superficie x 2 y^2 z^2 1. La densidad del cuerpo
depende de cada punto: D x,y,z^ 6 xyzxyxzyz. Hallar los puntos del
cuerpo en los cuales es máxima o mínima la densidad así como el valor de ésta en ellos.
6.- Sea c la curva intersección de las dos superficies: x 2 xyy^2 z^2 1 , x 2 y^2 1.
Hallar los puntos de c que están más próximos al origen.
7.- Hallar el máximo de la función f x,y 3 x 2 y en la región
S x,yR^2 /x 0 ,y 0 bajo la restricción xy + x + y = 5.
8.- Estudiar los valores extremos de la función z 2 x^3 9 y^2 12 x sometidos a la
condición x + y = 0.
9.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 8 m 3 y área mínima.
10.- Encontrar los puntos donde la función f(x, y) = x 2 + y^2 - xy - x - y alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en el recinto: A = x, y R^2 /x 0 ,y 0 ,xy 3 .
11.- Consideremos la función ^ 2 2 2 2
f ( x , y ) x y e x y para 0 , se pide:
a) Para =1, = 2, representarla con Derive e identificar sus extremos y puntos de silla. b) Lo mismo para =-1, = 2
c) Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condición)
12.- Se ha de construir una conducción de agua desde P hasta S. La construcción tiene coste diferente según la zona (ver figura 1). Usar multiplicadores de Lagrange para hallar x , y , z tales que el coste C sea mínimo, supuesto que el coste por km es 300€ entre P y Q, 200€ entre Q y R y 100€ entre R y S
13.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular: a) Las dimensiones r, h de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 100 m 3 y área mínima. b) Las dimensiones r, h de un depósito como el de la figura 1, de volumen 100 m 3 y área mínima. c) Comenta los resultados anteriores
14.- Hallar los puntos críticos de la función z y^2 x 1 2 x^2 y 4 ^2 y estudiarlos
concluyendo cuáles corresponden a extremos relativos y cuáles son puntos de silla.
15.- Una sección cónica C se obtiene mediante la intersección del cono z^2 =x^2 + y^2 con el plano z= 1+x+y. Hallar los puntos de la cónica C que están más próximos y más lejanos del origen.
16.- A continuación se dan las derivadas de segundo orden de una función z = f( x,y ) diferenciable que verifica el teorema de Swartz. Se supone que en (x 0 , y 0 ) las derivadas parciales se anulan, decidir, en cada caso, si en (x 0 , y0) hay un máximo relativo, un mínimo relativo, un punto de silla o si la información es insuficiente.
a) f xx x 0 ,y 0 5 , f xy x , y 0 0 5 , f yy x , y 0 0 4
b) f xx x 0 ,y 0 9 , f xy x 0 ,y 0 5 , f yy x , y 0 0 6
c) f (^) xx x 0 ,y 0 4 , f (^) xy x 0 ,y 0 7 , f (^) yy x 0 ,y 0 16
d) fxx^ x , y 0 0 ^9 , f^ xy x , y 0 0 ^6 , f^ yy x , y 0 0 ^4
17.- Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos por la venta de x unidades del primer producto y de y unidades del segundo producto son R( x , y )= - 5 x^2 - 8 y^2 - 2 xy + 42 x +102 y Hallar el número de unidades x e y que debe vender para que los ingresos obtenidos sean máximos.
18.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular la distancia mínima del punto P(2,1,1): a) a la superficie z^2 = x^2 + y^2 b) al plano x + y + z = 1
Figura 1
2k m
1k m x y z 10 km
P
Q R S
26.- Sea k una constante real y sea la superficie de ecuación f (x,y) x^2 3 xyky^2 Se
pide: a) Probar que, para cualquier valor de k, el origen (0,0) es un punto crítico de f. b) Hallar los valores de k para los que f presenta un mínimo relativo en (0,0).
27.- a) Consideremos la función g ( , , ) =cos cos cos , sujeta a la restricción de que
, , son los tres ángulos de un triángulo plano. Aplicar multiplicadores de Lagrange
para hallar los valores de , , que hacen máximo el valor de g.
b) Hallar los puntos críticos de la función z y^2 x 1 2 x^2 y 4 ^2 y estudiarlos
concluyendo cuáles corresponden a extremos relativos y cuáles son puntos de silla.
28.- Una canaleta de desagüe con sección transversal en forma de trapecio se hace doblando hacia arriba las orillas de una hoja de aluminio de 60 cm de ancho. Hallar la sección transversal de mayor área.
29.- Estudiar los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función
f x,y y^2 x , x, y R^2.
30.- Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x^2 + 4y^2 = 4 a la recta x + y = 4.
31.- Hallar las dimensiones del recipiente de embalaje abierto por arriba más económico de 96 metros cúbicos de capacidad, sabiendo que la base cuesta 30 céntimos por metro cuadrado y los laterales 10 céntimos por metro cuadrado. Nota: se supone que el embalaje tiene forma de prisma recto.
32.- Se considera la función f^ ^ x,y^ ^ xy^2 x^3 y definida en la región
S x,yR^2 / 0 x4, 0 y 2 x. Se pide:
a) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. b) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.
33.- Calcular el volumen de la caja rectangular más grande situada en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x+2y+3z = 6.
34.- Se considera la función f x, y xy 4x y.
a) Estudiar la existencia de máximos y mínimos relativos de f en R^2. b) Estudiar la existencia de máximos y mínimos absolutos de f en R 2. c) Sea la región S (^) x, y (^) R 2 / 0 x 4, 0 y 5 x. Se pide: i.Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. ii.Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.
35.- Se quiere fabricar un depósito de almacenamiento con el menor coste posible. a) Hallar las dimensiones que ha de tener el depósito si se quiere que su capacidad sea de 1000 metros cúbicos, sabiendo que el material para construir el suelo cuesta 40 euros por metro cuadrado y el de las paredes 10 euros por metro cuadrado. b) Hallar dicho coste mínimo. Nota: se supone que el depósito tiene forma de prisma recto sin tapa.
36.- Sea z = f(x, y) una función definida en una región D del plano con derivadas parciales continuas hasta el orden 2. Sea P 0 un punto del interior de la región. Para
cada una de las afirmaciones siguientes, decir si son verdaderas o falsas:
a) Si f tiene en P 0 un máximo o mínimo relativo, entonces, f x P 0 = f y P 0 = 0.
b) Si f tiene en P 0 un máximo o mínimo relativo, entonces necesariamente el
Hessiano de f en P 0 es H( P 0 ) 0.
c) Si f alcanza su mínimo absoluto “m” en un punto Q de la frontera de D,
entonces f^ x ^ Q = f (^) y Q = 0
d) Si la región D es cerrada y acotada, entonces, f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en la región.
37.- Se considera la función f x,y xy 2 x 3 y definida en la región:
S x,yR^2 / 3 x 0 , 0 yx 3 a) Razonar si f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en S. b) Calcular cuáles son esos valores, indicando también en qué puntos se alcanzan.
38.- La temperatura en un punto (x, y) de una lámina metálica es (^) 2 2 x y
3 x T( x,y)
a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(2, -1). b) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la
temperatura a lo largo de la curva
y cos t
x 2 sent .
e) Si la cota de error en la medida de “x” es de 1 % y en la de “y” es de 2 % , hallar el máximo error propagado de T en P.
39.- Calcular y clasificar los puntos críticos de la función z = x 3 +3xy 2 – 3x + 1.
40.- Estudiar los máximos y mínimos relativos de la función f (x, y) x 3 3x (y 1)^2
41.- Hallar los extremos relativos de (^) 2 2 1 x 2 y^2 z x 2y e ^
1.- Se va a construir un almacén de 500 m 3 de volumen con forma de paralelepípedo. El aire caliente que produzca su sistema de calefacción ascenderá, lo que supondrá una pérdida de calor por unidad de techo igual a 5 veces la que se produzca por el suelo. Si la pérdida de calor a través de las 4 paredes laterales es, por unidad de área, triple que en el suelo, determinar las dimensiones del almacén que minimizan las pérdidas de calor y en consecuencia el coste de calefacción. Solución: Llamemos x, y, z a las dimensiones del almacén (ancho, largo y alto, respectivamente), y “p” la pérdida de calor por unidad de suelo. La pérdida de calor del almacén f(x, y, z) será la suma de la pérdida de calor por el suelo más pérdida de calor por el techo más pérdida de calor por las paredes:
#1: f(x, y, z) ≔ p·x·y + 5·p·x·y + 6·p·z·(x + y)
Como el volumen es 500 = x y z, sustituimos z por 500/xy: 2 2 6·p·(x ·y + 500·x + 500·y) #2: f(x, y, z) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x·y 2 2 d 6·p·(x ·y + 500·x + 500·y) #3: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx x·y 2 6·p·(x ·y - 500) #4: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 x 2 2 d 6·p·(x ·y + 500·x + 500·y) #5: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dy x·y 2 6·p·(x·y - 500) #6: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 y ⎛⎡ 2 2 ⎤ ⎞ ⎜⎢ 6·p·(x ·y - 500) 6·p·(x·y - 500) ⎥ ⎟ #7: SOLVE⎜⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥, [x, y]⎟ ⎜⎢ 2 2 ⎥ ⎟ ⎝⎣ x y ⎦ ⎠
Considerando sólo la solución real se obtiene:
2/3 2/ #8: x = 5·2 ∧ y = 5· 2
y
x
z
Segundo método, con multiplicadores de Lagrange:
#10: H(x, y, z, λ) ≔ f(x, y, z) - λ·(x·y·z - 500)
#11: H(x, y, z, λ) ≔ x·(6·p·z - y·(λ·z - 6·p)) + 6·p·y·z + 500·λ
d #12: ⎯⎯ (x·(6·p·z - y·(λ·z - 6·p)) + 6·p·y·z + 500·λ) dx
#13: y·(6·p - λ·z) + 6·p·z
d #14: ⎯⎯ (x·(6·p·z - y·(λ·z - 6·p)) + 6·p·y·z + 500·λ) dy
#15: x·(6·p - λ·z) + 6·p·z
d #16: ⎯⎯ (x·(6·p·z - y·(λ·z - 6·p)) + 6·p·y·z + 500·λ) dz
#17: x·(6·p - λ·y) + 6·p·y
d #18: ⎯⎯ (x·(6·p·z - y·(λ·z - 6·p)) + 6·p·y·z + 500·λ) dλ
#19: 500 - x·y·z
#20: SOLVE([y·(6·p - λ·z) + 6·p·z, x·(6·p - λ·z) + 6·p·z, x·(6·p - λ·y)
- 6·p·y, 500 - x·y·z], [y, z, x, λ])
Considerando sólo la solución real se obtiene:
⎡ 1/3 ⎤ ⎢ 2/3 2/3 2/3 6·2 ·p ⎥ #21: ⎢y = 5·2 ∧ z = 5·2 ∧ x = 5·2 ∧ λ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥ ⎣ 5 ⎦
3.- Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos en R 2 de la función:
f x,y x^2 xy^2 2 y 1
Solución:
, y -1 P 2
x 2 y 2 0 y
f
2 x 1 0 x
f
. 4
f (^)
x
f 2
2
y x
(^2) f
y
f 2
2 4 0 0 2
H
Luego, P 0
x
f 2
2
y H P^ 0. Por tanto, f tiene un máximo relativo en P. ¿Es también
máximo absoluto?
Completando cuadrados en la expresión de f, queda:
f P 4
y 1 2
f x,y x^2
2 ^
Luego, efectivamente f posee máximo absoluto en P y vale 4
¿Tiene f mínimo absoluto?
f 0 ,y y^2 2 y 1 que tiende a cuando y . En consecuencia, no existe mínimo
absoluto de la función f.
4.- Consideremos una placa circular de radio 2 2 y centro en el origen. La temperatura
en cada punto P( x , y ) de la placa viene dada por T x , y x^3 y^3 3 xy ; localizar el
punto más caliente y el punto más frío de la placa. Solución:
Extremos relativos en el interior:
P 0 , 0 , P 1 , 1
3 y 3 x 0 y
f
3 x 3 y 0 x
f
1 2 2
2
Ambas soluciones (puntos críticos) son válidas por encontrarse en el interior del círculo de
radio 2 2.
Extremos de f en la frontera (circunferencia de radio 2 2 ):
H (x,y, )x^3 y^3 3 xy x^2 y^2 8
H x y 8 0
H 3 y 3 x 2 y 0
H 3 x 3 y 2 x 0
2 2
2 y
2 x
P 3 2 , 2 , P 4 2 , 2 , P 5 3 1 ,- 3 1 y P 6 3 1 , 3 1 .
f P 1 0 ,f P 2 1 ,f P 3 28 , fP 4 4 , f P 5 26 yf P 6 26.
Por tanto, el valor máximo absoluto de f en C es 28 y lo alcanza en el punto P 3 ^ ^2 ,^2 ,
mientras que valor mínimo absoluto de f en C es – 26 y lo alcanza en los puntos
P 5 3 1 ,- 3 1 yP 6 3 1 , 3 1 .
6.- Sea c la curva intersección de las dos superficies: x 2 xyy^2 z^2 1 , x 2 y^2 1.
Hallar los puntos de c que están más próximos al origen.
Solución:
Se trata de minimizar la función distancia de un punto (x, y, z) al origen (0,0,0), o bien la distancia al cuadrado:
f (x,y,z)d^2 x,y,z , 0 , 0 , 0 x^2 y^2 z^2
Con la condición de que el punto (x, y, z) pertenezca a la curva c, es decir, verifique las ecuaciones de las dos superficies (tenemos, entonces, dos restricciones). La función lagrangiana es:
H( x,y,z,,)x^2 y^2 z^2 x^2 xyy^2 z^2 1 x^2 y^2 1
d #3: ⎯⎯ H(x, y, z, λ, μ) dx
#4: λ·y - 2·x·(λ + μ - 1)
d #5: ⎯⎯ H(x, y, z, λ, μ) dy
#6: λ·x - 2·y·(λ + μ - 1)
d #7: ⎯⎯ H(x, y, z, λ, μ) dz
#8: 2·z·(λ + 1)
d #9: ⎯⎯ H(x, y, z, λ, μ) dλ
2 2 2 #10: - x + x·y - y + z + 1
d #11: ⎯⎯ H(x, y, z, λ, μ) dμ
2 2 #12: - x - y + 1
⎡ #13: SOLVE(⎣λ·y - 2·x·(λ + μ - 1), λ·x - 2·y·(λ + μ - 1), 2·z·(λ + 1),
2 2 2 2 2 ⎤
- x + x·y - y + z + 1, - x - y + 1⎦, [x, y, z, λ, μ])
Considerando sólo las soluciones reales, se obtiene:
#15: ⎢x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ μ = 1, x = 0 ∧ y = -1 ∧ z = 0 ∧ λ ⎣
= 0 ∧ μ = 1, x = 1 ∧ y = 0 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ μ = 1, x = -1 ∧ y =
0 ∧ z = 0 ∧ λ = 0 ∧ μ = 1, x = ⎯⎯ ∧ y = - ⎯⎯ ∧ z = ⎯⎯ ∧ λ 2 2 2
5 √ 2 √ 2 √ 2 = -1 ∧ μ = ⎯, x = ⎯⎯ ∧ y = - ⎯⎯ ∧ z = - ⎯⎯ ∧ λ = -1 ∧ μ 2 2 2 2
5 √ 2 √ 2 √ 2 5 = ⎯, x = - ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯ ∧ z = ⎯⎯ ∧ λ = -1 ∧ μ = ⎯, x = 2 2 2 2 2
√ 2 √ 2 √ 2 5 ⎤
- ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎯ ∧ z = - ⎯⎯ ∧ λ = -1 ∧ μ = ⎯⎥ 2 2 2 2 ⎦
Que corresponden a los puntos:
⎧ #24: ⎨P ≔ [0, 1, 0], P ≔ [0, -1, 0], P ≔ [1, 0, 0], P ≔ [-1, 0, 0], ⎩ 1 2 3 4
⎡ √ 2 √ 2 √ 2 ⎤ ⎡ √ 2 √ 2 √ 2 ⎤ P ≔ ⎢⎯⎯, - ⎯⎯, ⎯⎯⎥, P ≔ ⎢⎯⎯, - ⎯⎯, - ⎯⎯⎥, 5 ⎣ 2 2 2 ⎦ 6 ⎣ 2 2 2 ⎦
⎡ √ 2 √ 2 √ 2 ⎤ ⎡ √ 2 √ 2 √ 2 ⎤⎫ P := ⎢ - ⎯⎯, ⎯⎯, ⎯⎯⎥, P ≔ ⎢- ⎯⎯, ⎯⎯, - ⎯⎯⎥⎬ 7 ⎣ 2 2 2 ⎦ 8 ⎣ 2 2 2 ⎦⎭
f(P ) = f(P ) = f(P ) = f(P ) = 1 #29: 1 2 3 4
3 f(P ) = f(P ) = f(P ) = f(P ) = --- > 1 #30: 5 6 7 8 2
La mínima distancia se alcanza en los puntos P 1 , P2, P3 y P 4 , y dicha distancia vale 1.
8.- Estudiar los valores extremos de la función z 2 x^3 9 y^2 12 x sometidos a la
condición x + y = 0.
Solución: Función lagrangiana:
H x y 0
H 18 y 0
H 6 x 12 0 H (x,y, ) 2 x 9 y 12 x x y y
2 x 3 2
P 1 ^ 1 , 1 ,^ P 2 ^ 2 , 2 ; f ^ P 1 ^ 5 ,f^ P 2 ^ 4
Podría pensarse que en P 1 se alcanza el mínimo y en P 2 el máximo de f sobre la recta
x y 0 , pero, esto no es así ya que, sobre la recta, la función toma los valores:
x y 0 yxf x,x 2 x^3 9 x^2 12 xx 2 x^2 9 x 12
lim f x, x limx 2 x^29 x 12
x x
lim fx, x limx 2 x^29 x 12
x x
Y, en consecuencia, puede afirmarse que la función no posee máximo ni mínimo sobre la recta x + y = 0. Hay que observar que la recta x + y = 0 no es un conjunto compacto (cerrado y acotado) del plano y, por tanto, aunque f es continua, no podía asegurarse que la función fuera a alcanzar valores extremos en dicha recta.
9.- Usar multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico circular recto de volumen 8 m^3 y área mínima.
Solución:
V = volumen, A = área, A B= área de la base, A L= área lateral
x = radio de la base, y = altura
La función a minimizar es A AB ALx^2 2 xyf x,y, con la
condición V = A (^) B yx^2 y 8 , es decir, x 2 y 8 0.
Función lagrangiana:
P 2 , 2 ; fP 12 H x y 8 0
H 2 x x 0
H 2 y 2 x 2 xy 0 H(x,y, ) 2 xy x x y 8 2
2 y
x 2 2
¿Realmente 12 es el valor del área mínima?
Tiene sentido la pregunta, pues la hipérbola x 2 y 8 0 , en su rama x > 0, y > 0, no es un
conjunto compacto del plano. Analicemos cuánto vale la función en los puntos de la hipérbola:
x
16 x x
x 2 x x
f x, x
y
3 2
2 2 2
x
16 x lim
3 x 0
(^) x
16 x lim
3 x Luego, efectivamente, 12 es el valor del área mínima.
x
y
H (x,y, )x^2 y^2 xyxy xy 3
H x y 3 0
H 2 y x 1 0
H 2 x y 1 0 y
x
P 7 ; (^) 4
f P 7 .
Los puntos frontera de este lado ya están considerados antes: P 4 3 , 0 , P 6 0 , 3 .
Por tanto, el valor máximo absoluto de f en A es máx 6 4
y lo alcanza
en dos puntos de la frontera del recinto P 4 ^ ^3 ,^0 y P 6 ^ ^0 ,^3 , mientras que el valor
mínimo absoluto de f en A es mín 1 4
y lo alcanza en el punto
P 1 1 , 1 del interior del recinto.
11.- Consideremos la función ^ 2 2 2 2
f ( x , y ) x y e x y para 0 , se pide:
a) Para =1, = 2, representarla con Derive e identificar sus extremos y puntos de silla. b) Lo mismo para =-1, = 2 c)Lo mismo para y cualesquiera (que cumplan la condición) Solución:
a) ^ 2 2 2 2 f ( x , y ) x 2 y e x y f es una función diferenciable por ser producto de un polinomio y una exponencial, ambos funciones diferenciables, luego los extremos han de ser puntos críticos de f: 2 ^22 ^ 2 2 2 1
xe x y x
f (^) x y = 0
2 ^22 ^ 2 2 2 2
ye x y y
f (^) x y = 0
Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones se obtienen los puntos: (0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) Para discernir cuáles de ellos son extremos o puntos de silla aplicamos el criterio de la derivada segunda. Hallamos las derivadas de segundo orden de f :
Construimos el hessiano de f
2
2 2
2 2
2
y
f x y
f
y x
f x
f
Hessf
y hallamos su valor en cada punto crítico
Hess f (0,0) = 8> 0 y (^2)
2
x
f
(0,0) = 2> 0, luego f presenta en (0,0) un mínimo relativo
cuyo valor es f (0,0)= 0 (es mínimo absoluto pues f ( x , y ) 0 para cq (( x , y ) R^2 ).
Hess f (0,1) = (^2)
e
0 y (^2)
2
x
f
e
< 0, luego f presenta en ( 0,1) un máximo
relativo cuyo valor es f (0,1)= e
