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EJERCICIOS DE MODELOS MATEMÁTICOS:
PROBABILIDAD
1. lanzamos tres dados sobre una mesa, uno rojo, otro azul y otro
amarillo. Halla la probabilidad de que obtengamos:
1.)a al menos un “5” en uno de ellos:
S = F 0 7 Bal menos un “5” en uno d ellos F 0 7 D S c^ = F 0 7 Bno salga un “5” en ninguno de ellos F 0 7 D
A1 = F 0 7 Bno salga un “5” en el rojo F 0 7 D A2 = F 0 7 Bno salga un “5” en el azul F 0 7 D A3 = F 0 7 Bno salga un “5” en el amarillo F 0 7 D
p(Sc^ ) = p(A1) p(A2) p(A3) = (5/6)^3 p(S) = 1 - (5/6) 3
1.)b ningún “5”:
R = F 0 7 Bningún “5” F 0 7 D p(R) = (5/6)^3
1.)c exactamente dos cincos:
5 5 no 5 no 5 5 probabilidades: 5/6 3 => p = 3 (5/6 3 ) no 5 5 5
1.)d a la vez un solo “5” y un solo número par:
S = F 0 7 Bsalir un solo “5” y un solo número par F 0 7 D
(5 par 1-3) F 0 E 0 1/6 1/2 1/ P(S) = 6(1/6 1/2 1/3) = 1/6 (aplicar probabilidad multiplicando y luego sumando)
1.)e par en el rojo y cinco en el amarillo:
S = F 0 7 Bpar en el rojo y “5” en el amarillo F 0 7 D
(par X 5) P(S) = 1/2 1/6 = 1/
2. EJERCICIO 3:
Tenemos un dado cargado de tal forma que la probabilidad de obtener cada una de las caras es proporcional al número de puntos que aparecen en ella. Halla la constante de proporcionalidad. ¿Cuál será la probabilidad de obtener con este dado dos “!” en dos tiradas?.
p(1) = F 0 6 1 p(2) = 2 F 0 6 1
p(3) = 3 F 0 6 1 (1+2+3+4+5+6) F 0 6 1= 1 => F 0 6 1= 1/ p(4) = 4 F 0 6 1 p(5) = 5 F 0 6 1 p(par) = 12/
p(6) = 6 F 0 6 1 p(impar) = 9/ p(1,1) = 1/21^2
3. EJERCICIO 4:
Un equipo de fútbol tiene decidido que si durante el transcurso de un partido les pitaran uno o más penaltis a favor, el primero de ellos lo tiraría el jugador A, que marca 4 de cada5 penaltis tirados, el segundo lo tiraría el jugador B, que marca 4 de cada 7, y un posible tercero lo lanzaría C, que consigue marcar 2 de cada 5, si en un determinado partido nuestro equipo dispone de tres penaltis a favor, hallar la probabilidad de marcar3, 2, 1, y o de estos penaltis.
A B C 4/5 4/7 2/ 0 0 0 F 0 E 0 (4/5)(4/7)(2/5) (aciertos) X X X F 0 E 0 (1/5)(3/7)(3/5) Acertar un solo penalti 0 X X F 0 E 0(4/5)(3/7)(3/5) X 0 X F 0 E 0(1/5)(4/7)(3/5) lo sumamos todo X X 0 F 0 E 0(1/5)(3/7)(2/5)
Acertar dos penaltis: Sumamos todas las probabilidades y se le resta a 1.
4. EJERCICIO 5:
4.)a un entrenador de baloncesto tiene doce jugadores en su
banquillo ¿cuántos equipos distintos (de cinco jugadores) puede formar?.
(125) = 12!/(5!7!) = 792
4.)b un entrenador de fútbol dispone en su plantilla de dos
porteros y veinte jugadores de campo. ¿de cuántas formas distintas puede elegir la alineación (un portero y 10 jugadores de campo)?.
(2010)(21)
5. EJERCICIO 9:
Una prueba de diagnóstico para una cierta enfermedad, tiene probabilidad 0.96 de resultar positiva si el paciente la padece; el 95% de los individuos sanos dan prueba negativa. Se elige un individuo al azar en una población de personas de las cuales el 0.5% tienen dicho tipo de enfermedad (prueba sistemática en enfermedad de poca incidencia).
7. EJERCICIO 7:
Un jugador de baloncesto marca el 75% de sus tiros libres. Si en cuatro partidos consecutivos tiene que tirar exactamente 20 tiros libres en cada uno, halla la probabilidad de que en todos ellos consiga 16 o más puntos.
Número de aciertos sea F 0 B 3 16 (variable aleatoria que sigue una X, distribución B(20,0.75)) p(X F 0 B 316) = p(X=16) +p(X=17)+p(X=18)+p(X=19=+p(X=20) p( x = 16) (2016) 0.75 16 0.25 4 p( x = 17) (2017) 0.75 17 0.25 3 p( x = 18) (2018) 0.75 18 0.25 2 p( x = 19) (2019) 0.75 19 0. p( x = 20) 0.75^20
vamos a aproximar la variable aleatoria (X) por una variable discreta normal (Y) donde N (15, F 0 D 6(15 0.25)) = N (15, 1.93)
media (20 0.75)/2 desviación v. a. N(0,1) y de la binomial podemos mirar en la p(x F 0 B 316) F 0 B Bp(y F 0 B 316) = p(((y-15)/1.93) F 0 B 3((16-15)/1.93)) = p (z F 0 B 30.52) tabla. Buscamos en la tabla p(z F 0 A 30.52) = 0.
p(z F 0 B 30.52) = 1 – 0.6985 = 0.
8. EJERCICIO 12:
Cierto test para determinar el factor Rh tiene probabilidad 0.95 de dar el resultado correcto cuando se aplica sobre muestras de sangre Rh- y probabilidad 0.80 de dar el resultado correcto sobre muestras Rh+. Si la población es 84% Rh+ y 16% Rh-, halla la probabilidad de que si el resultado del test:
8.)a es Rh+, la muestra lo sea;
8.)b es Rh-, la muestra también lo sea.
Rh+ (tener Rh+) Rh- (tener Rh-)
T+ (test da Rh positivo) T- (test da Rh negativo)
p( T-|Rh-) = 0.95 => p(T+|Rh-) =
p( T+|Rh+) = 0.80 => p(T-|Rh +) = 0.
p(Rh+) = 0. p(Rh-) = 0.
p(Rh+|T+) = (p(Rh+ F 0 C 7T+))/p(T+) = (p(T+|Rh+) p(Rh+))/p(T+) = probabilidad probabilidad total condicionada cambiada
= (p(T+|Rh+)p(Rh+))/(p(T+|Rh+)p(Rh+) + p(T+|Rh-) p(Rh-)) = = (0.80 0.84) / ((0.80 0.84) + ( 0.05 0.16)) = 0.672 / 0.392 = 1.
