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TEMA I: PROBABILIDAD Y MODELOS
PROBABILÍSTICOS.
PROBABILIDAD:
La probabilidad se basa en experimentos o fenómenos aleatorios, como es tirar una moneda y ver el resultado o medir la altura de un individuo, cada resultado individual es absolutamente incierto, pero se puede predecir el resultado de un número grande de experimentos. La ALEATORIEDAD es una especie de orden que emerge solo con el paso del tiempo, con las repeticiones. La descripción matemática es la llamada teoría de la probabilidad. La PROBABILIDAD describe las tendencias descriptibles a largo plazo de los resultados aleatorios. La probabilidad de un resultado es la proporción de veces que este ocurre en un número grande de pruebas.
Cuando tenemos un experimento aleatorio, es necesario:
1. hacer una lista con los resultados de las pruebas (resultados posibles), a
esta lista se le llama ESPACIO MUESTRAL ( F 0 5 7)
Ejemplo: lanzamiento de un dado F 0 E 0F 0 5 7= F 0 7 B1,2,3,4,5,6 F 0 7 D Medir la altura de un individuo F 0 E 0F 0 5 7= (0, + F 0 A 5)
2. asignar a cada uno de los resultados una probabilidad (a los resultados del
espacio muestral). En la práctica, es un proceso empírico. Para asignar probabilidades hay que seguir esta regla:
• S E F 0 5 7le asignaremos una probabilidad que denotaremos p(S) E R: p
(S) no puede ser ni menor ni mayor que 1 y la suma de todas las probabilidades no debe superar 1.
Al conjunto de resultados se le denomina SUCESO.
Para realizar un experimento aleatorio: (en resumen)
1. hacer una lista con todos los resultados posibles, tal lista se llama ESPACIO
MUESTRAL.
2. asignar posibilidades a los sucesos, un suceso es una colección de
resultados simples.
Ejemplo: tirar un dado y asociar el resultado. F 0 5 7= F 0 7 B1,2,3,4,5,6 F 0 7 D p(1)=p(2)=p(3)….=p(6)=1/
Resultado simple. Suceso: (S), que salga un número par = F 0 7 B2,4,6 F 0 7 D
• supongamos que F 0 5 7es finito
•..1 la probabilidad de un resultado simple tiene que ser siempre un
número entre 0 y 1
0 F 0 A 3p(S) F 0 A 3 1 F 0 2 2S E F 0 5 7
•..2 la suma de todos los resultados simples de la probabilidad debe de
ser 1
F 0 5 3SE F 0 5 7p(S) = 1
P(1) + p(2) + p(3)….+ p(6) = 1
Hay conjuntos F 0 5 7infinitos no numerables (por ejemplo los números naturales)
Si F 0 5 7es finito. La probabilidad de un suceso se calcula sumando las probabilidades de los resultados simples que lo componen.
P(S) = p(2) + p(4) + p(4) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½
En general, un modelo o función de probabilidad no es más que la descripción matemática de un fenómeno aleatorio que consta de dos partes:
- espacio muestral.
- una forma de asignar probabilidades a los sucesos.
A cada suceso (S) le corresponde un número p(S) de tal modo que:
Para F 0 5 7infinitos:
1. p(S) tiene que estar entre 0 y 1
0 F 0 A 3p(S) F 0 A 3 1
2. p( F 0 5 7) = 1
3. la probabilidad de una unión de sucesos es igual a la suma de las
probabilidades de los sucesos cuando estos son DISJUNTOS 2 A 2.
p (A 1 U….UAn ) = p (A 1 ) + ….p(A (^) n )
UNIÓN DE CONJUNTOS:
conjunto A conjunto B
el conjunto A esta en unión con el conjunto B si cualquier punto del conjunto pertenece al conjunto A o bien al conjunto B
AUB = F 0 7 BF 0 4 3E F 0 5 7; X E A o bien X E B F 0 7 D
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
conjunto A conjunto B
si en la intersección de los conjuntos A y B hay puntos del conjunto que pertenecen al mismo tiempo al conjunto A y al conjunto B
A F 0 C 7B = F 0 7 BX E F 0 5 7; X E A y a demás X E B F 0 7 D
P( F 0 5 7) = p( F 0 C 6U F 0 5 7) = p( F 0 C 6) + p( F 0 5 7) 1 = p( F 0 C 6) + 1 0 = p( F 0 C 6)
CONJUNTO COMPLEMENARIO:
A c^ = F 0 7 BX E F 0 5 7: X F 0 C FA F 0 7 D
F 0 5 7
2. para cualquier suceso A
p(A c^ ) = 1 – p(A)
el conjunto A y su complementario Ac^ son conjuntos disjuntos A F 0 C 7Ac^ = F 0 C 6 A U Ac^ = F 0 5 7
p(A U Ac^ ) = p(A) + p(A c^ ) total = 1 1 – p(A) = p(Ac^ )
3. si un suceso está incluido en otro ¿cuál es más probable?; si A está incluido
en B quiere decir que A pertenece a B => A C B => p(A) F 0 A 3p(B); la probabilidad de que ocurra el suceso A es menor de que ocurra el proceso B. a demás la p(B) – p(A) = p(B A) (B menos A = B/A)
¿QUÉ ES B-A?
B/A = F 0 7 BX E B pero X F 0 C FA F 0 7 DX está e B pero no en A B/A = B F 0 C 7Ac^ ; B intersecado con el complementario de A
B A
B = (B/A) U (A F 0 C 7B)
A C B (A pertenece a B)
P(B) – p(A) = p(B/A) P(B) = p(A) + p(B/A); si probamos esta fórmula, obtendremos la veracidad de p(A) F 0 A 3 p(B)
B = A U (B/A)
Si estás en A no estás en (B/A); como A y B/A son disjuntos, se obtiene que:
p(B) = p(A) + p(B/A)
queremos demostrar que: p(AUB) = p(A) + p(B) – p (A F 0 C 7B) AUB = (B/A)U(A F 0 C 7B)U(A/B)
Por trozos es:
- A/B F 0 E 0los que estén aquí no están en A y no en B
- A F 0 C 7B F 0 E 0los que estén aquí, están en A y en B
- B/A F 0 E 0los que estén aquí, están en B y no en A
B A
P(AUB) = p(B/A) + p(A F 0 C 7B) + p(A/B) P(B) + p(A/B)
¿p(A/B) = p(A) – p(A F 0 C 7B)? => p(A/B) + p(A F 0 C 7B) = p(A)
EJEMPLO:
Sea un dado trucado de tal modo que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en esa cara. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en una tirada?
LA PARADOJA DEL CABALLERO MÈRÉ
En el siglo XVII se jugaba a dos juegos con dados:
Juego 1 F 0 E 0tirar el dado 4 veces, para ganar debía salir al menos una vez el as (el
Juego 2 F 0 E 0tirar dos dados 24 veces, para ganar debía salir al menos una vez el as (el 1) en una tirada.
Para ganar:
Juego 1 F 0 E 0la probabilidad de ganar era 4 x 1/6 = 2/ Juego 2 F 0 E 0la probabilidad de ganar era 24 x 1/36 = 2/
PROBABILIDAD CONDICIONADA:
Dos sucesos son independientes si la probabilidad del segundo habiendo medido el primero es la misma cualquiera que sea el resultado del primer suceso. En caso contrario, se dice que son DEPENDIENTES. Conclusión, el color y el número son independientes.
F 0 7 B1,2,3, , 1,2,3 F 0 7 D
Negras blancas
PROBABILIDAD ACONDICIONADA:
S = F 0 7 Bsalir al menos un “1” F 0 7 D p(S) = 11/
A = F 0 7 Bque no salga un “1” en el 1º F 0 7 D B = F 0 7 Bque no salga un “1” en el 2º F 0 7 Dson sucesos independientes.
El complementario de S es Sc^ que es A F 0 C 7B
P(Sc^ ) = p(A F 0 C 7B) = p(A) p(B) = 5/6 5/6 = 25/
P(S) = 1 – 25/36 = 11/
Ejemplo: tirar 4 dados.
S = F 0 7 Bsalir al menos un “1” F 0 7 D p(S) = ¿?¿?
A1 = F 0 7 Bque no salga un “1” en el 1º F 0 7 D A2 = F 0 7 Bque no salga un “1” en el 2º F 0 7 D A3 = F 0 7 Bque no salga un “1” en el 3º F 0 7 D sucesos independientes. A4 = F 0 7 Bque no salga un “1” en el 4º F 0 7 D
Sc^ = F 0 7 Bque no salga nunca un “1” F 0 7 D= F 0 7 Bque no salga un “1” en el 1º Y que no salga
un “1” en el 2º Y …. F 0 7 D
Sc^ = A1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3 F 0 C 7A
P(Sc^ ) = p(A1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3 F 0 C 7A4) = p(A1) p(A2) p(A3) p(A4) = (5/6)^4 = 0.
P(S) = 1 – 0.48 = 0.
Experimento: tirar 24 veces 2 dados.
S = F 0 7 Bsalir al menos un (1,1) F 0 7 D p(S) = ¿?¿?
A1 = F 0 7 Bque no salga un (1,1) en la 1º tirada F 0 7 D A2 = F 0 7 Bque no salga un (1,1) en el 2º tirada F 0 7 D A3 = F 0 7 Bque no salga un (1,1) en el 3º tirada F 0 7 D … A24 = F 0 7 Bque no salga un (1,1) en el 24º tirada F 0 7 D
Sc^ = F 0 7 Bque no salga nunca un (1,1) F 0 7 D Sc^ = A1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3…. F 0 C 7A
P(Sc^ ) = p(A1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3…. F 0 C 7A24) = p(A1) p(A2) p(A3)…. p(A24) = (35/36) 24 = 0. Es 35/36 y no 5/6 porque en este caos utilizamos dos dados (mirar resultados del ejemplo de la intersección de conjuntos). P(S) = 1 – 0.509 = 0.
NOVELA:
Una novela comenta que la probabilidad de ser abatidos un piloto de la segunda guerra Mundial era del 2%, lo que quiere decir que era del 0.02, con lo cual quiere decir que ningún piloto conseguía llegar a las 50 batallas (50 2% = 100% de ser abatido).
¿Cómo se calcula correctamente esa probabilidad? Hay que pensar/calcular en la probabilidad de sobrevivir.
S = F 0 7 Bsalir abatido en 50 salidas F 0 7 D Sc^ = F 0 7 Bsobrevivir a 50 salidas F 0 7 D
Ai = F 0 7 Bno ser abatido en la salida i-ésima F 0 7 D
Sc^ = A1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3…. F 0 C 7A50 => P(Sc^ ) = p(A1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3…. F 0 C 7A50) = p(A1) p(A2) p(A3)…. p(A50) = 0.98^50 = 0.
P(S) = 1 – 0.36 = 0.64 F 0 E 064% de ser abatido.
EJERCICIO:
En una bolsa cerrada hay tres tarjetas. Una blanca completamente, otra blanca por un lado y negra por el otro, y la tercera es negra completamente, si sacamos una tarjeta sin mirar y la colocamos boca arriba sobre la mesa ¿qué es más probable, que la tarjeta debajo sea negra o blanca?
COMBINATORIA:
EJERCICIO 2 DE LA HOJA:
El conjunto de signos más frecuentes en las quinielas con catorce aciertos es de 7 unos, 4 equis y 3 doses ¿cuántas combinaciones son posibles con estos signos?.
MODIFICACIÓN DEL EJERCICIO:
Combinaciones posibles con estos otros signos:
Solo debemos decidir dónde ponemos los “1” ya que las “X” van a los sitios libres. Habrá tantas combinaciones distintas como forma de colocar los “1”.
SIMPLIFICAMOS MÁS:
1 1 X
1 X 1
X 1 1
Hay que coger en el caso anterior, subconjuntos de 8 elementos que se pueden elegir en un conjunto de 14 elementos, su denotación es (148) = 14! / (8! (14-8)!) El FACTORIAL de un NÚMERO es multiplicar al número por todos los que le preceden.
n! = n (n-1) (n-2) … 3 2 5! = 5 4 3 2 1
n! = n(n-1)(n-2)…3 2 1
P(S) = (nm) p m^ (1-p) n-m
Ejemplo: lanzar un dado hasta obtener un 6 ¿cuál es la probabilidad de obtener un uno? Aquí no podríamos utilizar los coeficientes binomiarios porque no sabemos cuántas veces se tira el dado.
EJEMPLO:
En un jurado compuesto por tres personas, hay dos miembros que toman la decisión correcta cada uno de ellos toma la decisión p, la tercera persona lanza una moneda al aire cada vez que tiene que tomar una decisión , las decisiones se toman por mayoría, debido al comportamiento del tercer miembro, se decide formar otro jurado, que se formara por una persona de los dos miembros del anterior jurado ¿es ahora la probabilidad mayor de ser correcto?.
LA REGLA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:
Sacamos dos cartas al azar de una baraja española y las ponemos encima de la mesa (boca abajo), se levanta la 1º carta y es el 7 de bastos ¿cuál es la probabilidad de que la otra carta sea también un basto?
2ºB = 2º carta un basto 1ºB = 1º carta un basto
Probabilidad condicionada: F 0 E 0p(2ºB|1ºB) = p(2ºB F 0 C 71ºB) / p(1ºB) = 9/
¿cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea una copa si la primera era un basto?
p(2ºC|1ºB) = 10/
la regla de la multiplicación, sólo se puede usar si los sucesos son independientes:
p(A 1 F 0 C 7A 2 F 0 C 7A 3 … F 0 C 7An ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) …..P(An)
en general, si los sucesos fueran dependientes, hay que usar:
p(A 1 F 0 C 7A 2 F 0 C 7A 3 … F 0 C 7A (^) n ) = P(A 1 ) p(A 2 |A 1 ) P(A 3 |A 1 F 0 C 7A 2 ) …..P(An |A 1 F 0 C 7…. F 0 C 7A (^) n-1)
Ejemplo: tenemos una caja con 20 bolas blancas y 10 bolas negras, hacemos 3 extracciones sin devolución. ¿cuál es la probabilidad de que las 3 extracciones sean bolas blancas?
A1 = 1º blanca A2 = 2º blanca A3 = 3º blanca
p(A 1 F 0 C 7A 2 F 0 C 7A 3 ) = P(A 1 ) p(A 2 |A 1 ) P(A 3 |A 1 F 0 C 7A 2 ) = (2/3) (19/29) (18/28)
imaginamos que tenemos dos urnas. Vamos a sacar 1 bola, hay la misma probabilidad de meter la mano en la urna 1 que en la urna 2 ¿cuál es la probabilidad de que la bola que yo saque sea blanca?: 1 2 3 blancas y 2 negras 3 negras y 2 blancas
Ambas urnas son equiprobables, sacamos una bola, es como si solo hubiera una sola urna con lo cual 5/10 = 1/ P(B) = 1/
Suceso B = bola blanca B = F 0 7 Burna 1 y blanca, urna 2 y blanca F 0 7 D p( urna 1) p(blanca |urna 1) + p(urna 2) p(blanca | urna 2) p(1) p(B|1) + p(2) p(B|2) = (1/2) (3/5) + (1/2) (2/5) = 1/
si la probabilidad de meter la mano en la urna 1 es 1/3 y en la urna 2 es 2/3:
p(1) p(B|1) + p(2) p(B|2) = (1/3) (3/5) + (2/3) (2/5) = 7/
así pues la REGLA DE LA PROBABILIDAD TOTAL dice: suponer que tenemos una familia de sucesos F 0 7 BA1….An F 0 7 Ddisjuntos 2 a 2, tales que la unión de todos ellos es el total: A1U….UAn = F 0 5 7, entonces la probabilidad de cualquier suceso es la multiplicación:
p(B) = p(A 1 ) p(B|A 1 ) + p(A 2 ) p(B|A 2 ) …. P(A (^) n ) p(B|An )
Cuando se unen todos me da el total => A1U….UAn = F 0 5 7 Son disjuntos 2 a 2
B = (A 1 F 0 C 7B)U…U(An F 0 C 7B) p(B) = p(A 1 F 0 C 7B)+….+p(A (^) n F 0 C 7B) = p(A 1 ) p(B|A 1 )+…p(An )p(B|An)
F 0 5 7
Ejemplo: una población está formada por 3 grupos étnicos, el A lo forman el 30% de la población, el B el 10% y el C el 60%. Los % del carácter “ojos claros” son respectivamente el 20%, 40% y 5%.
A 30% p(claros|A) = 0,2 p(A) = 0. A B B 10% p(claros|B) = 0.4 p(B) = 0.1 claros
C 60% p(claros|C) = 0.05 p(C) = 0. C
a) probabilidad de que un individuo de ojos oscuros sea del A.
p(claros) = p(A)p(claros|A)+p(B)p(claros|B)+p(c)p(claros|C) F 0 E 0(regla de la probabilidad total)
p(claros= = 0.3 0.2+0.1 0.4+0.6 0.05 = 0.
b) ¿cuál es la probabilidad de que un individuo de ojos oscuros sea de A?
p(A|oscuros) = (p(A F 0 C 7oscuros))/p(oscuros) F 0 E 0(simplemente de la definición de probabilidad condicionada).
están los posibles valores y en el eje de las y la probabilidad que tiene. A esto se le llama HISTOGRÁMA DE PROBABILIDAD IDEAL.
EJEMPLO:
Tenemos un juego que consiste en apostar 1€ a la tirada de un dado, si sale un 1 o un 2 lo perdemos, si sale un 3 nos devuelven 1/3 (35 céntimos), si sale un 4 nos devuelven 50céntimos y si sale un 5 o un 6 nos devuelven 2€ ¿conviene jugar?.
GANANCIA
- F 0 E 0 -1 variable aleatoria discreta: toma una cantidad finita de
- F 0 E 0 -1 valores F 0 7 Bx 1 …….xn F 0 7 D
- F 0 E 0 -2/3 E[X] = x 1 p(x 1 )+x 2 p(x 2 )+….+x (^) np(xn )
- F 0 E 0 -1/2 ESPERAMOS GANAR EN UNA JUGADA:
- F 0 E 0 1 -1(2/6)+(-1)(2/3)(1/6)-(1/2)(1/6)+(2/6) = -7/
- F 0 E 0 1 X F 0 6 D= E[X] MEDIA o ESPERANZA de la variable X Variable numérica Proceso aleatorio en media vamos a perder: F 0 6 D= -7/ VARIACIÓN DEL EJERCICIO:
1) F 0 E 0-1 ESPERANZA:
2) F 0 E 0-1 -1(2/6)-(2/3)(1/6)-(1/2)(1/6)+(1/6)+(5/6) = 17/
3) F 0 E 0-2/
4) F 0 E 0-1/2 conviene jugar porque de media ganamos: F 0 6 D=
5) F 0 E 0 1
6) F 0 E 0 5
X
VARIANZA:
La varianza de una variable aleatoria depende de la esperanza:
V[X] = (x 1 - F 0 6 D) 2 p(x 1 )+(x 2 - F 0 6 D) 2 p(x 2 )+….+(x (^) n- F 0 6 D) 2 p(xn)
DESVIACIÓN TÍPICA:
F 0 7 3[X] = F 0 D 6V[X]
La varianza también es una esperanza pero de la variable aleatoria E[[x- F 0 6 D] 2 ]
E[[x- F 0 6 D] 2 ] = (x 21 + F 0 6 D^2 -2x 1 F 0 6 D)p(x 1 )+…..+(x (^2) n + F 0 6 D^2 -2x (^) n F 0 6 D)p(xn ) = desarrollándolo…..
E[[x- F 0 6 D] 2 ] = E[X 2 ] - F 0 6 D^2 = E[x 2 ] – E[X]^2
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:
Supongamos que estamos interesados en una media anatómica. Los posibles valores no son una cantidad finita sino un intervalo [a,b] F 0 C CF 0 C 2, la función de probabilidad es una curva sobre el intervalo en cuestión. Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria este entre c y d:
p(c F 0 A 3x F 0 A 3d) = F 0F 2cd^ f(x) dx
a c d b
esta función tiene que cumplir: FUNCIÓN DE DENSIDAD.
1) Tiene que ser positiva f(x) F 0 B 3 0
2) F 0F 2- F 0 A 5F 0 A 5 f(x) dx = 1 toda tiene que ser 1 = > F 0F 2- F 0 A 5F 0 A 5 f(x) dx = F 0F 2ab^ f(x) dx
Es importante saber que f(x) no es la probabilidad del valor x => f(x) F 0 B 9p( F 0 7 Bx F 0 7 D) p( F 0 7 Bx F 0 7 D) = p(X =x) = 0
EJERCICIO:
En una bolsa cerrada hay tres tarjetas. Una blanca completamente, otra blanca por un lado y negra por el otro, y la tercera es negra completamente, si sacamos una tarjeta sin mirar y la colocamos boca arriba sobre la mesa ¿qué es más probable, que la tarjeta debajo sea negra o blanca?
Probabilidad condicionada: p(2B|1B) = (p(2B F 0 C 71B))/p(1B) = (1/3) / (1/2) = 2/
p(2N|1B) = 1 – (2/3) = 1/
lo más probables es que la segunda cara sea blanca.
ESPERANZA o MEDIA:
F 0 6 D= F 0 4 3= E[X] = F 0F 2ab^ f(x) dx si f(x) = 0 cuando x F 0 C F[a,b] (a y b pueden ser - F 0 A 5y + F 0 A 5
respectivamente)
VARIANZA:
V[X] = E[(x - F 0 4 3) 2 ] = E[X 2 ] – E[X]^2
DESVIACIÓN TÍPICA
Hay variables aleatorias que toman una cantidad infinito numerables de valores, por ejemplo: tiramos una moneda y nuestra variable aleatoria (V.A.) V.A = número de orden de la primera cara.
Función de probabilidad: p( x=1) = 1/ p(x=2) = 1/2^2 p(x=3) = 1/2^3
p(x=n) = 1/2n sumar la serie: nunca se pasa de uno, sabemos que exactamente es 1
1/2 + 1/2 2 + 1/2 3 +….+ 1/2n^ +…. = 1
MODELOS DE PROBABILIDAD MÁS COMÚNES:
PRUEBAS DE BERNAULLE: un experimento con dos resultados posibles. Éxito y
fracaso p(E) = P , p(F) = 1-P 1 si tenemos éxito X = (distribución de Bernoulli) 0 si tenemos fracaso
Función de probabilidad de mesa p(X=1) = P p(X=0) = 1 – P E[X] = 1 P +0(1-P) = P V[X] = E[X^2 ] – E[X] 2 = P –P^2 = P(1-P)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: se realizan “n” pruebas de Bernaulle independientes
X = número de éxitos obtenidos en las “n” pruebas. Función de probabilidad. Sea M (^) E = F 0 7 B0,1,2,…..n F 0 7 D
p(X = m) = (nm) Pm^ (1-P) n-m X = B (n (intentos),P) 1 si hay éxito en la prueba “i” variable aleatoria Xi = F 0 7 BXi F 0 7 Dn^ i=1 independiente 0 si hay fracaso en la prueba “i”
X = X1 + X2 + ….Xn E[X] = E [X1+….+Xn] = E[X1]+….+E[Xn] = n P V[X] = V[X1+….+Xn] = V[X1]+….+V[Xn] = m P (1-P)
DISTRIBUCIÓN DE POISSON DE PARÁMETROS F 0 6 C> 0: X es una variable
aleatoria que toma los valores F 0 7 B0,1,2,….,n,…. F 0 7 D Su función de masa: p(X = k) = e -^ F 0 6 CF 0 6 Cn/k! veremos, que es, efectivamente, una
función de probabilidad p( X = 0) + p( X = 1) +….+p(X = n)+….=…… e = F 0 5 3F 0 A 5 k=0 1/k!
la distribución de Poisson es el límite de la binomial B(n,P) cuando n F 0 E 0F 0 A 5, P F 0 E 00, nP F 0 E 0F 0 6 C, lo que pone: quiere decir que si tenemos una binomial con n F 0 B 30, P F 0 A 30.1, lo podemos sustituir por un Poisson de parámetros F 0 6 C= n P
DISTRIBUCIÓN NORMAL N ( F 0 6 D, F 0 7 3): es el modelo más importante, aparece en
muchas situaciones. Tiene como función de densidad: f(x) = 1/( F 0 7 3F 0 D 6F 0 3 2F 0 7 0F 0 2 9e (-1/2)((x-^ F 0 6 D)/^ F 0 7 3)
E[X] = F 0 6 D, V[X] = F 0 7 3^2
Es una densidad simétrica con respecto a la media. IMPORTANTE: si X es una normal F 0 6 D, F 0 7 3entonces y = (x- F 0 6 D) / F 0 7 3es una N (0,1)
EJEMPLO: tenemos un X que es N(5,4). Quiero calcular p(x F 0 A 37)
p(x F 0 A 37) = p(x-5/4 F 0 A 37-5/4) = p( Y F 0 A 30.5) siendo Y una N (0,1) p(Y F 0 A 30.5) 0.
IMPORTANTE: la distribución B (n,P) tiende a N ( F 0 6 D, F 0 7 3) cuando n F 0 E 0F 0 A 5y p está fijo. Esto quiere decir que si trabajamos con una B (n, P) con n grande, la podemos sustituir por una N( F 0 6 D, F 0 7 3) siendo F 0 6 D= nP ; F 0 7 3= F 0 D 6nP(1-P) ; 30 F 0 A 3n ; 0.1 F 0 A 3p F 0 A 30.9 (a titulo orientativo)
EJERCICIO:
El 40% de los pinos son de A p(B) = 0.25 p(C) = 0.35. De los pinos plantados sobrevive un 55% p(V|B) = 0.45 p(V|C) = 0.4 ¿ qué porcentaje de los pinos que sobreviven es resistente a la oruga?.
A p(A)= 0.4 modificado (resistente a la oruga) p(V|A) = 0. B p(B) = 0.25 no modificado p(V|B) = 0. C p(C) = 0.35 no modificado p (V|C) = 0.
¿p(A|V) =? P(A|V) = p(A F 0 C 7V) /p(V) = (p(A) p(V|A)) / (p(A) p(V|A) + p(B) p(V|B) + p(C) p(V|C))= (0.4 0.55) / (0.4 0.55 + 0.25 0.45 + 0.35 0.4) = 0.
EJERCICIO:
¿porqué conviene cambiar en el problema de las tres puertas?
- Tenemos elegida una de ellas.
- Abren una de las dos puertas donde no hay regalo (de las otras dos que no hemos elegido)
- Nos dejan cambiar de puerta.
