Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
El tema 5 de la asignatura matemáticas i de la universidad de valencia, donde se enseña sobre la integral de riemann, la integral impropia y las equaciones diferenciales. Se incluyen definiciones, ejemplos y teoremas relacionados con estas conceptos.
Tipo: Ejercicios
1 / 51
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Introducció al càlcul integral i a les equacions diferencials
Matemàtiques I
Departament de Matemàtiques per a l’Economia i l’Empresa
Curs 2017/
Matemàtiques I Universitat de València
1 La integral de Riemann
2 La integral impròpia
3 Equacions diferencials
Matemàtiques I Universitat de València
Suposem ara que els beneficis no han sigut constants durant tot l’any, sinó que al primer semestre han sigut de 100 u.m./any i al segon de 200 u.m./any. És a dir: B(t) =
{ 100 si 0 ≤ t < 1 / 2 200 si 1 / 2 ≤ t ≤ 1
En aquest cas, els beneficis acumulats a la fi de l’any seran de:
Bacu = 100 · 1 2
Si dibuixem la gràfica de la funció de beneficis, els beneficis acumulats després d’un any corresponen a l’àrea que queda baix entre l’eix i la gràfica.
Matemàtiques I Universitat de València
Ara anem a suposar que els beneficis marginals han canviat cada mes, on al mes de gener són de 20 u.m./any, a febrer 40 u.m./any,.... Una forma matemàtica d’expressar aquesta funció és la següent: B(t) = 20 d 12 te
El benefici acumulat al cap d’un any serà:
Bacu =
= 130 u.m.
Aquest resultat torna a coincidir amb l’àrea entre la gràfica i l’eix. Matemàtiques I Universitat de València
En aquest cas, podem treballar, per exemple, amb la funció: B(t) = 240 t
Amb aquesta funció, els beneficis marginals al final del mes de febrer, per exemple, són de B(2/12)=40 u.m./any. Noteu, no obstant, que els beneficis marginals amb aquesta funció al mig del mes de febrer són de B(1.5/12)=30 u.m./any, mentre que amb la funció no contínua els beneficis eren constants i iguals a 40 durant tot el mes.
Matemàtiques I Universitat de València
A partir d’ara, treballarem amb funcions contínues, que són més fàcils d’estudiar matemàticament i normalment constitueixen bones aproximacions de la realitat. Com podem calcular el benefici acumulat si tenim una funció de beneficis contínua?
Matemàtiques I Universitat de València
Definició Donada un partició P, siga ∆xi = xi − xi− 1. Es diu norma de la partició P al màxim d’aquestes longituds ∆xi , és a dir, ‖P‖ = maxi= 1 ,...,n{∆xi }.
Definició Definim: mi (f ) = infx∈[xi− 1 ,xi ]f (x) Mi (f ) = supx∈[xi− 1 ,xi ]f (x)
Matemàtiques I Universitat de València
En el cas de la funció B(t) = 240 t, es tracta d’una funció definida a l’interval [ 0 , 1 ] i fitada. Per exemple, una fita inferior és m = 0 i una fita superior M = 240. Una partició de l’interval [ 0 , 1 ] pot ser la partició en mesos P = { 0 < 121 < 122 < 123 <... < 1112 < 1 } Per a aquesta partició P, ∆ti = 1 /12, i ‖P‖ = 1 /12. B( 0 ) = 0 i B( 1 / 12 ) = 20, per tant, m 1 (B) = 0 i M 1 (B) = 20. Igualment, m 2 (B) = 20 i M 2 (B) = 40, m 3 (B) = 40 i M 3 (B) = 60,....
Matemàtiques I Universitat de València
Igualment, podem plantejar-nos calcular una aproximació del benefici acumulat utilitzant el taxa màxima de benefici de cada mes, és a dir, Mi (B). En eixe cas, obtenim la següent aproximació:
Bacu ≈
i= 1 Mi^ (Bm)^ 1 12 =^20 ·^
1 12 +^40 ·^
1 12 +^...^ +^240 ·^
1 12
= 130 = S(B, P)
Ara, el valor obtingut és una aproximació a l’alça. Per tant, sabem que el valor real del benefici acumulat està entre eixos dos valors 110 = s(B, P) ≤ Bacu ≤ S(B, P) = 130.
Matemàtiques I Universitat de València
Definició Si f : [a, b] → R és una funció fitada i P és una partició de [a, b], es defineix la suma superior de Riemann i la suma inferior de Riemann de f respecte de P com:
s(f , P) =
∑^ n
i= 1
mi (f )∆xi S(f , P) =
∑^ n
i= 1
Mi (f )∆xi
Matemàtiques I Universitat de València
Podem considerar una partició general P = { 0 < (^1) n < (^2) n <... < n− n 1 < 1 }. Així, tenim que mi (B) = B(ti− 1 ) = 240 ( ni− 1 )i Mi (B) = B(ti ) = (^240) n i. La suma inferior per a aquesta partició serà:
s(B, P) =
∑n i= 1 mi^ (B)∆ti^ =^
∑n i= 1
240 (i− 1 ) n
1 n
= (^240) n 2 ( 0 + 1 +... + n − 1 ) = (^240) n 2 (n− 21 )n
= 120 n− n 1 = 120 ( 1 − (^1) n )
Matemàtiques I Universitat de València
Igualment la suma superior per a aquesta partició serà:
S(B, P) =
∑n i= 1 Mi^ (B)∆ti^ =^
∑n i= 1 240 i n
1 n
= (^240) n 2 ( 1 + 2 +... + n) = (^240) n 2 n(n 2 +^1 )
= 120 n+ n 1 = 120 ( 1 + (^1) n )
Per tant, el benefici acumulat estarà entre eixos dos valors:
n ) ≤ Bacu ≤ 120 ( 1 +
n
Matemàtiques I Universitat de València
Definició Siga f : [a, b] → R una funció fitada. Es defineix la integral inferior de Darboux i la integral superior de Darboux de f a [a, b] com:
∫ (^) b
a −
f (x)dx = sup P∈P
s(f , P)
b
a
f (x)dx = inf P∈P S(f , P)
on P és el conjunt de totes les particions possibles de [a, b].
Matemàtiques I Universitat de València
Definició Si les integrals inferior i superior de Darboux coincideixen, es diu que la funció f és integrable Riemann a l’interval [a,b] i es defineix la integral de Riemann com el valor d’eixes integrals:
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) b
−a
f (x)dx =
∫^ − b a
f (x)dx
Al nostre exemple, la funció B(t) = 240 t és integrable Riemann a l’interval [a, b] i: (^) ∫ 1 0
240 tdt = 120
Matemàtiques I Universitat de València
