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Área de Matemáticas
Tema 1 : FUNCIÓN ESCALAR Y
FUNCIÓN VECTORIAL. LÍMITES Y
CONTINUIDAD
A continuación, se van a dar algunos conceptos y definiciones que son
fundamentales y que deben comprenderse desde un principio para el correcto
seguimiento de la asignatura de Matemáticas II para la Empresa.
1. INTRODUCCIÓN: CONJUNTOS DE ℝ
𝒏
Y NOCIONES DE TOPOLOGÍA
Definición : Se denomina ℝ
𝒏
al producto cartesiano de ℝ por sí mismo n veces.
𝑛
= ℝ × ℝ × … × ℝ =
1
2
𝑛
𝑖
El conjunto ℝ
𝑛
con las operaciones de adición
1
2
𝑛
1
2
𝑛
𝑛
1
1
2
2
𝑛
𝑛
y producto por un escalar
1
2
𝑛
𝑛
1
2
𝑛
tiene estructura de espacio vectorial.
Producto escalar: Se define como la aplicación: ℝ
𝑛
× ℝ
𝑛
⟶ ℝ, definida por:
1
1
2
2
𝑛
𝑛
𝑖
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Propiedades:
𝑛
y ∀𝜆, 𝛽 ∈ ℝ
- Conmutativa: x y , y x ,
2. Linealidad: x y z , x z , y z , y x , y z x y , x z ,
- x x , 0. Si x x , 0 x 0
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
2
x y , x x , y y ,
Norma euclidea: Que también se le llama módulo de un vector,se define como
la aplicación: ℝ
𝑛
× ℝ
𝑛
⟶ ℝ, definida por :
2 2 2
1 2
n
x x x x x x
Propiedades: ∀𝑥⃗ , 𝑦⃗ ∈ ℝ
𝑛
y ∀𝜆 ∈ ℝ
- x 0;y si x 0 x 0
- x y x y
3. x x
Área de Matemáticas
Distancia euclidea: Se define como la aplicación: ℝ
𝑛
× ℝ
𝑛
⟶ ℝ definida por :
2 2 2
1 1 2 2
n n
d x y x y x y x y x y
Propiedades:
𝑛
y ∀𝜆 ∈ ℝ
d x y , 0; y
d x y , 0 x y
d x y , d y x ,
d x y , d x z , d z y ,
Bola abierta y bola cerrada: entorno de un punto: Sea 𝑎⃗ ∈ ℝ
𝑛
y 𝑟 ∈ ℝ
Bola abierta : 𝐵
𝑛
Bola cerrada : 𝐵(𝑎⃗ , 𝑟) = {𝑥⃗ ∈ ℝ
𝑛
Entorno de un punto : 𝐴 ⊂ ℝ
𝑛
es entorno de 𝑎⃗ ∈ ℝ
𝑛
si existe
B a r , A
Ejemplo: el conjunto V es un entorno del punto p
Sea 𝐴 ⊂ ℝ
𝑛
𝑛
y 𝑟 ∈ ℝ
Punto interior:
a A punto interior de A B a r , A
Al conjunto de todos los puntos interiores de A se le llama conjunto
interior de A, y se denota por A.
Punto exterior: a A punto exterior de A
c
B a r A , o también:
a A punto exterior de A B a r , / B a r , A
Al conjunto de todos los puntos exteriores de A se le llama conjunto
exterior de A, y se denota por 𝐸𝑥𝑡𝐴
Punto frontera: a A punto frontera de A
c
B a r A
r
B a r A
Al conjunto de todos los puntos frontera de A se le llama frontera de A,
y se denota por 𝐹𝑟𝐴
Proposición: 𝐴, 𝐸𝑥𝑡𝐴 y 𝐹𝑟𝐴 son conjuntos disjuntos y se verifica:
𝑛
Área de Matemáticas
Conjunto acotado: Un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ
𝑛
se dice que es un conjunto acotado si
puede encontrarse una bola que lo contenga.
Conjunto compacto: Un conjunto 𝐴 ⊂ ℝ
𝑛
se dice que es un conjunto compacto
si es cerrado y acotado.
Ejemplo:
S es un conjunto compacto.
2. FUNCIÓN ESCALAR: DEFINICIÓN. DOMINIO E IMAGEN.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA. CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES
ESCALARES
Definición: Se llama función escalar, o función real de n variables reales,
o función real de variable vectorial , a una aplicación:
𝑛
Se anota por:
1 2
n
f x x x x x S
Definición: Al conjunto 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
se le llama dominio de definición, y son los
valores de
x para los cuales la función está definida.
Definición: La imagen o recorrido de estas funciones es el conjunto de
valores que toma la función 𝑓, que depende del valor que se dé a x. Por ello, la
función se denomina 𝑓(𝑥⃗ ), pudiendo también denominarla como 𝑦 = 𝑓(𝑥⃗ ).
En nuestro caso la imagen o el recorrido de 𝑓 se encuentra en el conjunto ℝ.
Ejemplos de funciones escalares:
Función polinómica: Un tipo muy importante de funciones escalares son las
funciones polinómicas, que son combinaciones lineales de términos formados por
productos de potencias naturales de las variables. Su Dominio es todo ℝ
𝑛
Ejemplo:
4 2 2 3
f ( , x y z t , , ) 3 x y z t 10
Función racional: El cociente de funciones polinómicas se denomina función
racional. Su Dominio es todo ℝ
𝑛
menos los valores que anulan el denominador,
si los hubiera.
Ejemplo:
4 2
2 2
x y
f x y z t
z t
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Función de producción de Cobb-Douglas: Supóngase que la producción de trucha
en una piscifactoría (que representamos por Q) y que depende de la reserva de
trucha que haya (r) y del trabajo invertido (t) se expresa por:
0,44 0,
Q r t ( , ) A r t
Esta producción aumentará a medida que aumente la reserva de truchas, así
como cuando aumente el nivel de trabajo realizado.
Representación gráfica: Sea 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ una función escalar cualquiera.
Se define la gráfica de 𝑓, que denotamos por Gr f ( ), como el conjunto:
𝑛+ 1
Observación: 𝐺𝑟
𝑛+ 1
En el caso de n =1, la representación gráfica de 𝑓 es la que se estudia en
bachillerato: Si 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ ⟶ ℝ, tenemos una función real de variable real, y su
gráfica es un subconjunto de ℝ
2
2
que llamamos curva.
Ejemplo:
2
x
f x
x
Si n =2, 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
2
⟶ ℝ. se tiene una función real de dos variables reales, y su
gráfica es un subconjunto de ℝ
3
definido como:
3
o 𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) ∈ ℝ
3
que llamamos superficie.
Ejemplo:
2
y
f x y
x
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3. FUNCIÓN VECTORIAL: DEFINICIÓN. DOMINIO E IMAGEN.
Definición: Se denomina función vectorial, o función vectorial de
variable vectorial , a una aplicación 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
𝑚
Se anota por:
1 2 1 2
m n
f x f x f x f x x x x x S
Es una función que toma sus valores en el espacio ℝ
𝑚
por lo que estará
determinada por m funciones componentes
1 2
m
f f f , que son funciones
escalares definidas en el mismo conjunto 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
en el que lo está la función f.
Es decir:
𝑖
𝑛
Definición: Al conjunto 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
se le llama dominio de definición, y son los
valores de x para los cuales la función 𝑓 está definida. Es decir el conjunto de
valores de x para los cuales están definidas todas y cada una de las funciones
componentes
1 2
m
f f f.
Definición: La imagen o recorrido de estas funciones es el conjunto de
valores que toma la función 𝑓, que depende del valor que demos a x. Como la
función tiene m funciones componentes, el recorrido lo generalizamos a vectores
del conjunto ℝ
𝑚
Ejemplos de funciones vectoriales:
3
3
𝑥𝑦
𝑧
2
3
𝑥
𝑦
3
2
4
2
𝑥𝑦𝑧
2
Operaciones con funciones vectoriales:
Sean las funciones: 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
𝑚
y 𝑔: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
𝑚
- Suma:
1
1
2
2
𝑚
𝑚
1
1
2
2
𝑚
𝑚
- Producto por un escalar:
1
2
𝑚
1
2
𝑚
- Composición de funciones: Sean 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
𝑝
y 𝑔: 𝑇 ⊂ ℝ
𝑝
𝑚
funciones
tales que T g S ( ), entonces se puede definir la función compuesta:
𝑛
𝑚
de tal forma que:
h x ( ) ( f g )( ) x f g x ( )
𝑛
𝑝
𝑚
- Función inversa: Sea 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
𝑚
. Si f
es una función inyectiva, se puede
definir su función inversa, siendo 𝑓
− 1
𝑚
𝑛
, de modo que
1 1
f f f f I
, siendo I la función identidad.
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4. LÍMITES DE FUNCIONES ESCALARES
El concepto de límite en funciones de varias variables es similar al dado en
funciones reales de variable real, lo único que este caso se sustituye el valor
absoluto por la norma.
Definición: Límite de una función escalar en un punto: Sea la función
𝑛
⟶ ℝ, sea el punto 𝑎⃗ ∈ ℝ
𝑛
y sea 𝜆 ∈ ℝ. Se dice que ( )
x a
Lim f x
sí y
sólo si:
0, 0 / x S x , a , si 0< x a , f ( ) x
La definición anterior extiende la idea de límite ya conocido de funciones
escalares de una variable. La interpretación es que si ( )
x a
Lim f x
, entonces,
todos los puntos lo suficientemente cerca de a tienen imagen por f números
reales que están tan próximos a como se quiera.
Ejemplo:
2 2 4
, , (1,1,0)
x y z
Lim x y z
Teorema: unicidad del límite : Si una función tiene límite en un punto, este
límite es único.
Propiedades de los límites de funciones escalares: Sean las funciones
𝑛
⟶ ℝ y 𝑔: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ y el punto 𝑎⃗ ∈ ℝ
𝑛
tal que ( )
x a
Lim f x
y ( )
x a
Lim g x
existen. Entonces, se cumple:
- Si 𝑓
𝑛
, ocurre que ( ) ( )
x a x a
Lim f x Lim g x
x a x a x a
Lim f g x Lim f x Lim g x
- ∀𝛼 ∈ ℝ se cumple que ( )( ) ( )
x a x a
Lim f x Lim f x
x a x a x a
Lim f g x Lim f x Lim g x
- Si
x a
Lim f x
y f ( ) x 0 en un entorno de
a , entonces
x a
x a
Lim
f x Lim f x
o
x a
x a
x a
Lim g x
g x
Lim
f x Lim f x
Propiedad (útil para calcular límites): Si f ( ) x g x h x ( ) ( )
h x ( )
es una función
acotada y ( ) 0
x a
Lim g x
, entonces ( ) 0
x a
Lim f x
Es decir, para que el límite de un producto valga cero, no basta con que una de
las funciones tenga límite cero. Es necesario, además, que la otra función esté
acotada.
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5. LÍMITES DE FUNCIONES VECTORIALES
El concepto de límite en funciones de varias variables es similar al dado en
funciones reales de variable real, lo único que este caso se sustituye el valor
absoluto por la norma.
Definición: Límite de una función vectorial en un punto: Sea la función
𝑛
𝑚
, sea el punto 𝑎⃗ ∈ ℝ
𝑛
y sea 𝜆
𝑚
. Se dice que:
x a
Lim f x
si
y sólo si:
0, 0 / x S x , a , si 0< x a , f ( ) x
Teorema: unicidad del límite : Si una función tiene límite en un punto, este
límite es único.
Propiedades de los límites de funciones vectoriales: Sean las funciones
𝑛
𝑚
y 𝑔: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
𝑚
y el punto 𝑎⃗ ∈ ℝ
𝑛
tal que ( )
x a
Lim f x
y ( )
x a
Lim g x
existen. Entonces, se cumple:
- Sea
1 2
m
f x f x f x f x donde 𝑓
𝑖
𝑛
⟶ ℝ, ∀𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑚, entonces:
1 2
m
x a x a x a x a
Lim f x Lim f x Lim f x Lim f x
x a x a x a
Lim f g x Lim f x Lim g x
- Si m 1 , ( )( ) ( ) ( )
x a x a x a
Lim f g x Lim f x Lim g x
- Si
m 1 , ( ) 0
x a
Lim f x
y f ( ) x 0, x S , entonces
x a
x a
Lim
f x Lim f x
6. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES
Definición : Sea la función 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ y sea el punto a S. Se dice que f
es continua en
a sí y sólo si:
x a
Lim f x f a
Otra forma de definirlo es: f
es continua en a sí y sólo si:
0, 0 / x S x , a , si 0< x a , f ( ) x f a ( )
Por definición de continuidad, para que una función sea continua en un punto,
éste debe pertenecer al dominio, por lo que el conjunto de puntos donde la
función es continua es un subconjunto del dominio.
Ejemplo: Obsérvese que la función
2 2
xy
f x y
x y
no es continua en el punto
(0,0) porque no pertenece al dominio.
Área de Matemáticas
Definición : Sea la función 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ y sea el conjunto A S. Se dice que
f es continua en A sí y sólo si es continua en todos los puntos de A.
De forma trivial, se comprueba que los polinomios cuyo dominio sea ℝ
𝑛
son
funciones continuas en todo ℝ
𝑛
. Y muchas otras funciones continuas se pueden
construir utilizando las propiedades siguientes.
Propiedades de las funciones continuas: Sean las funciones 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
y 𝑔: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ y el punto a S.
- Se dice que una función f
es continua en el conjunto S cuando la función
es continua en todos y cada uno de los puntos del conjunto S.
- Si las funciones f
y g
son continuas en a S , entonces la función f g
también es continua en a.
- ∀𝛼 ∈ ℝ, si la función f es continua en el punto a S , entonces la función
(𝛼𝑓) también es continua en a.
- Si las funciones f y g son continuas en a S , entonces la función (𝑓 ∙ 𝑔)
f g también es continua en a.
- Si la función f es continua en
a S , siendo f ( ) x 0 e un entorno de
a ,
entonces la función
1
f
también es continua en a. Y si la función g
es
continua en a S , entonces la función
g
f
también es continua en a
- Si la función 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ es continua en
a S y 𝑔: ℝ ⟶ ℝ es continua
en f a ( ), entonces la función compuesta (𝑔 ∘ 𝑓) también es continua en
a .
A partir de esta última propiedad, y recordando que las funciones reales de
variable real habituales, como las trigonométricas, logaritmos, exponenciales,
etc., son continuas en su dominio, se puede comprobar la continuidad de un gran
número de funciones de varias variables. Indirectamente, la continuidad se
puede utilizar para el cálculo de límites, ya que, si la función es continua, es
porque el límite existe y vale lo mismo que la función en el punto.
Ejemplo: Ya se pudo ver que la función
2 2
xy
f x y
x y
no es continua en el
punto (0,0). Pero utilizando las propiedades anteriores, puede afirmarse que sí
es continua en cualquier punto de ℝ
2
distinto de (0,0).
Teorema de Weierstrass: Sea 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ
𝑛
⟶ ℝ una función escalar. Si S es un
conjunto compacto, entonces, existen, al menos, un máximo y un mínimo de
f ( ) x en el conjunto S. Es decir ,
Existe
0 0
x S / f ( x ) f ( ), x x S (
0
x es un mínimo)
Existe
0 0
x S / f ( x ) f ( ), x x S (
0
x es un máximo)
