EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I
HOJA 7
Ejercicio 1.
Se considera la aplicación lineal
f:R3−→ R2
denida por
f(x, y, z)=(x−y+ 2z, 2x+y).
1) Decide si el vector
u= (1,1,0)
pertenece a
ker f
. Escribe un vector
v∈Im f
distinto del cero. Deberías poder contestar en una línea.
2) Escribe un vector
u∈ker f
distinto del cero y decide si
v= (1,4)
pertenece
a
Im f
.
Ejercicio 2.
Contesta a las siguientes preguntas, argumentando tu respuesta.
1) Se tiene una aplicación lineal
f:R3−→ R4
. ¾Qué se puede armar sobre
las dimensiones de su núcleo y su imagen? ¾Puede ser inyectiva? ¾Puede ser
sobreyectiva? ¾Puede ser biyectiva?
2) Se tiene una aplicación lineal
g:R4−→ R3
. ¾Qué se puede armar sobre
las dimensiones de su núcleo y su imagen? ¾Puede ser inyectiva? ¾Puede ser
sobreyectiva? ¾Puede ser biyectiva?
3) Se tiene una aplicación lineal
h:R3−→ R3
de la que se sabe que no es
sobreyectiva. ¾Qué se puede decir de
dim ker f
?
Ejercicio 3.
Calcula bases y ecuaciones implícitas de
ker f
e
Im f
para las si-
guientes aplicaciones lineales:
1)
f(x, y, z)=(x+ 2y, x +y+z, −x−2z)
,
2)
f(x, y)=(x−y, x +y , 2x+y)
,
3)
f(x, y, z)=(x−y, 2x−y+z , −2y+z)
,
4)
f(x, y, z, t) = (2x+z−t, −y+t)
,
5)
f(x, y, z)=(x−y+z, 0,2y−z)
,
6)
f(x, y, z, t)=(x+z, −x+ 2y+z , 2x+y+ 3z+ 2t, x +z−2t)
.
Comprueba en cada caso que se cumple la fórmula
dim
espacio de partida
= dim ker f+ dim Im f.
Ejercicio 4.
¾Cuáles de las aplicaciones del ejercicio anterior son inyectivas? ¾Cuá-
les son sobreyectivas? ¾Cuáles son biyectivas?
Ejercicio 5.
Considera las aplicaciones
f
de los apartados 1), 3) y 5) del Ejercicio
3. Para cada una de ellas, ¾cuántos vectores
u∈R3
hay tales que
f(u) = (2,1,0)
?
Deberías poder contestar en una línea.
Ejercicio 6.
Una empresa utiliza tres materias primas
A
,
B
y
C
para fabricar
cemento. Con
x
kilos de
A
,
y
de
B
y
z
de
C
puede producir
−x+ 2y
kilos de
cemento de alta calidad e
y+z
kilos de baja calidad. ¾Hay algún régimen de
producción que le permita fabricar el doble de cemento de alta calidad que del de
baja calidad? ¾Y al revés?
Explica qué relación guarda este problema con las noción de imagen de una
aplicación lineal.
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