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MATEMÁTICAS

Profesores: Mar´ıa Teresa Sanz Garc´ıa

Mónica Alacreu

Curso 2011-

ADE

• 1. Fundamentos del C´alculo. Funciones Indice general
  • 1.1. Fundamentos del C´alculo
    • 1.1.1. Desigualdades. Intervalos.
    • 1.1.2. Valor absoluto
    • 1.1.3. Notaci´on Sumatorio
  • 1.2. Funciones
    • 1.2.1. Funciones
    • 1.2.2. Algebra de funciones .´
    • 1.2.3. Gr´aficas de Funciones
    • 1.2.4. Rec´ıproca de Funciones
    • 1.2.5. Simetr´ıa
• 2. Bases del ´Algebra Lineal
  • 2.1. Funciones Lineales y Cuadr´aticas
    • 2.1.1. Funciones Lineales
    • 2.1.2. Funciones Cuadr´aticas
  • 2.2. Resoluci´on de Sistemas lineales con varias inc´ognitas
  • 2.3. Sistemas no Lineales
• 3. La Funci´on Logaritmo y Exponencial
  • 3.1. Funci´on Exponencial. El N´umero e
    • 3.1.1. Funciones exponenciales con base arbitraria.
    • 3.1.2. El N´umero e
  • 3.2. Funci´on Logar´ıtmica
    • 3.2.1. Definici´on de logaritmo natural. Propiedades.
• 4. C´alculo diferencial con Una Variable
  • 4.1. L´ımites y Continuidad
    • 4.1.1. L´ımites
    • 4.1.2. Continuidad
  • 4.2. Diferenciaci´on. Reglas B´asicas
    • 4.2.1. Concepto de derivada. Marginal
    • 4.2.2. Reglas B´asicas
  • 4.3. Regla de la cadena
  • 4.4. Derivaci´on Impl´ıcita y Logar´ıtmica
    • 4.4.1. Derivaci´on Logar´ıtmica
  • 4.5. C´alculo de Extremos y Trazado de Gr´aficas
    • 4.5.1. C´alculo de Extremos
    • 4.5.2. Trazado de Gr´aficas. Estudio cualitativo. ii ´INDICE GENERAL
• 5. C´alculo Integral con Una Variable
  • 5.1. Integral Indefinida
  • 5.2. Integral Definida
• 6. Problemas
  • 6.1. Cap´ıtulo
  • 6.2. Cap´ıtulo
  • 6.3. Cap´ıtulo
  • 6.4. Cap´ıtulo

Cap´ıtulo 1

Fundamentos del C´alculo.

Funciones

1.1. Fundamentos del C´alculo

1.1.1. Desigualdades. Intervalos.

Una desigualdad es afirmar que una expresi´on es menor que otra. El s´ımbolo < significa “menor que”, el s´ımbolo > significa “mayor que”, ≤ significa ‘menor o igual que” y ≥ sig- nifica “mayor o igual que”.

Antes de continuar, resaltamos las siguientes propiedades que pueden ser deducidas de la anteriores:

1. Si a > b y c ≥ d, entonces a + c > b + d.
2. Si a > b ≥ 0 y c ≥ d > 0, entonces ac > bd.
3. Si k < 0 y a > b, entonces ka < kb.
4. Si 0 < a < b, entonces a^2 < b^2 , y si a < b < 0, entonces a^2 > b^2.
5. Si a < 0 o a > 0, entonces a^2 > 0.
6. Si a > b, entonces −a < −b.
7. Si a < 0 , b > 0, entonces ab < 0, mientras que si a < 0, b < 0, entonces ab > 0.
8. Si a > 0, entonces 1/a > 0, mientras que si a < 0, entonces 1/a < 0.
9. Si a > b > 0, entonces 1/b > 1 /a > 0, mientras que si a < b < 0, entonces 1/b < 1 /a <

Un intervalo es el conjunto de todos los n´umeros reales entre dos puntos de la recta real. Por tanto, los intervalos son conjuntos “sin huecos”. Dados dos n´umero reales a y b tal que a < b, distinguimos cuatro tipos de intervalos:

Matem´aticas 3

a

El siguiente caso es ilimitado a la derecha y cerrado por la izquierda. Lo que se define como

[a, ∞) := {x ∈ R : a ≤ x}

La representaci´on gr´afica es id´entica a la anterior, pero sustituimos la circunferencia por un c´ırculo

a

Los dos siguientes casos son los ilimitados por la izquierda. Se definen por (−∞, a) := {x ∈ R : x < a} cuya representaci´on gr´afica es

a

El ´ultimo caso se define por (−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a} y se representa por

a

Un caso especial de intervalo es el ilimitado por los dos lados (−∞, ∞); en este caso se trata de toda la recta real. Por eso, escribir R es equivalente a (−∞, ∞). Comentar que los t´erminos “abiertos” y “cerrados” pueden ser entendidos como que los extremos pertenezcan o no al conjunto. Existen definiciones m´as precisas, pero se salen de los objetivos del curso.

Ejemplo 1.1. Resolver la inecuaci´on

(x − 2)(x + 3) > 0.

Soluci´on: El producto de dos n´umeros es positivo si los dos tienen el mismo signo. Hay dos posibilidades:

1. Los dos factores positivos y se verifica que x − 2 > 0 y x + 3 > 0. Despejando x > 2 y x > −3. Obs´ervese que si se verifica la primera, entonces se verifica la segunda. La ´unica manera de que se verifiquen las dos es que x > 2
2. Los dos factores son negativos. Con lo que se verifica x − 2 < 0 y x + 3 < 0. Ambas condiciones equivalen a x < −3.

En resumen, la variable x verifica que x < −3 ´o x > 2. Podemos representar el conjunto soluci´on gr´aficamente por

− 3 − 2 − (^1 0 )

Obs´ervese que en este caso la soluci´on viene dada por dos intervalos: (−∞, −3) y (2, +∞).

4 CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS DEL C ALCULO. FUNCIONES´

1.1.2. Valor absoluto

Se llama valor absoluto a la distancia de un punto a al 0. M´as formalmente, dado un n´umero real x, se define su valor absoluto por

|x| :=

x si x ≥ 0 −x si x < 0

Algunas propiedades del valor absoluto son:

1. |x| = | − x|
2. |x · y| = |x| · |y|
3. |x| ≤ y es equivalente a −y ≤ x ≤ y
4. |x + y| ≤ |x| + |y|
5. ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|

Ejemplo 1.2. Encuentra el valor de x para que − 1 / 2 < x < 4 y | 2 x + 1| = |x − 4 |.

Soluci´on: Tenemos que | 2 x+ 1|^2 = (2x+ 1)^2 y |x− 4 |^2 = (x−4)^2 , por lo tanto la ecuaci´on para los valores absolutos es equivalente a: (2x + 1)^2 = (x − 4)^2 implica que x^2 + 4x − 5 = 0. Soluciones de esta ecuaci´on son x 1 = 1, x 2 = −5, pero s´olo x 1 verifica simult´aneamente las condiciones del problema.

1.1.3. Notaci´on Sumatorio

En estad´ıstica se requiere la suma de grandes masas de datos como por ejemplo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 104 + 105 La notaci´on de los tres puntos implica la idea de continuar la tarea, usando el mismo patr´on, hasta que el ´ultimo de los t´erminos dados expl´ıcitamente haya sido usado. Esta nota- ci´on es imprecisa para muchas aplicaciones matem´aticas y es pertinente tener una notaci´on simplificada para indicar la suma de estos datos.

As´ı, si para cada entero positivo i, se da un n´umero ´unico ai, y m y n son enteros positivos, donde m < n, entonces la suma de los n´umeros ai, donde i toma sucesivamente los valores desde m hasta n se denota

X^ n

i=m

ai,

donde i es el ´ındice de sumatorio y m y n se llaman cotas de la sumatoria.

Esta expresi´on la podemos leer como la suma de todos los n´umeros enteros ai, donde i va desde m hasta n

6 CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS DEL C ALCULO. FUNCIONES´

Ejemplo 1.4. Eval´ue las sumas dadas:

a.

P 100

j=30 4

b.

P 100

k=1(5k^ + 3)

c.

P 200

k=1 9 k 2

Soluci´on:

a. X^100

j=

X^71

j=

b.

X^100

k=

(5k + 3) =

X^100

k=

5 k +

X^100

k=

X^100

k=

k + 3

X^100

k=

c. X^200

k=

9 k^2 = 9

X^200

k=

k^2 = 9

1.2. Funciones

En la secci´on de econom´ıa de los peri´odicos leemos habitualmente la frase “en funci´on de” en expresiones como “los tipos de inter´es suben en funci´on de la inflacci´on” o “el precio de los productos c´arnicos van en funci´on del precio de los cereales”. Todas estas frases expresan que las variables est´an interrelacionadas de forma que para cada precio de los cereales hay un precio de los productos c´arnicos. En matem´aticas la expresi´on en funci´on de” tiene una definici´on precisa para evitar ambig¨uedades.

1.2.1. Funciones

Dado un conjunto D de n´umeros reales, una funci´on f : D → R (o simplemente f ) de una variable real con dominio D es una forma de asignar a cada n´umero real x en D un ´unico n´umero f (x). Es decir, para definir una funci´on se necesita:

La ley de correspondencia, x 7 → f (x).

El conjunto D donde est´a definida: dominio. Cuando se omita ´este, entenderemos que es el mayor conjunto D ⊆ R donde est´e definida.

La notaci´on f : D → R se˜nala el nombre de la funci´on (f ), el nombre del conjunto del dominio (D) y el conjunto de llegada de la aplicaci´on(R).

Muchas veces las funciones se escriben como y = f (x). A la variable x se le dice inde- pendiente. A la variable y se le llama dependiente.

Matem´aticas 7

Ejemplo 1.5. 1. Un ejemplo de funci´on es el costo de producir x kilogramos de un producto para una empresa. El dominio de esta funci´on son los n´umeros reales no negativos [0, +∞), pues no se puede producir una cantidad negativa.

2. Otro ejemplo de funci´on es la cotizaci´on de una empresa en bolsa en el mercado continuo. En este caso el dominio viene dado por un intervalo que representa el lapso de tiempo para el que tenemos datos.

En los ejercicios te´oricos muchas funciones son definidas por una f´ormula. Por ejemplo, la funci´on f : [0, 100] → R es definida por f (Q) = Q(100 − Q). Con esta afirmaci´on estamos diciendo que el dominio es [0, 100] y que la variable independiente es Q. Desgraciadamente, en los modelos reales dichas f´ormulas no est´an tan claras. Llamamos recorrido de una funci´on al conjunto de im´agenes de la funci´on f. Se denota por R(f ) ´o f (D) con D el dominio de la funci´on, escrito en notaci´on de conjuntos

f (D) = {f (x) : x ∈ D}.

A continuaci´on mostramos algunos ejemplos de funciones b´asicas:

1. Funci´on Constante: se trata de una funci´on de la forma h(x) = c, d´onde c es un valor constante. Sea h(x) = 2. El dominio de h consiste en todos los n´umeros reales. Todos los valores funcionales son 2. Por ejemplo:

h(10) = 2 h(−387) = 2 h(x + 3) = 2

2. Funci´on Polinomial: se trata de un funci´on de la forma h(x) = cnxn^ + cn− 1 xn−^1 + ... + c 2 x^2 + c 1 x + c 0 , donde n es un entero no negativo y ci con i = 0, 1 , 2 , ..., n − 1 , n son constantes nos nulas. De nuevo el dominio de estas funciones son todos los reales.
3. Funci´on Racionales: se trata del cociente de funciones polinomiales. En ´este caso debemos marcar que el dominio ser´an todos los reales a excepci´on de aquellos que anulen el denominador.
4. Funciones Definidas por Partes: Mostramos el siguiente ejemplo:

Q(P ) =

80 − P si 0 ≤ P ≤ 80; 0 si P > 80.

1.2.2. Algebra de funciones´

Se pueden obtener funciones a partir de otras mediante operaciones algebraicas suma y producto. Se pueden sumar dos funciones f y g con un mismo dominio D, la imagen de x es

(f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ D.

La expresi´on “∀x ∈ D” significa “para todo x”.

Matem´aticas 9

x eje de abscisa

y (^) eje de ordenadas

(a, b)

a

b

Figura 1.1: Identificaci´on del par ordenado (a, b) con un punto del plano ordenado.

sectores se llaman cuadrantes y se enumeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuadrante I := {(x, y) : x > 0 , y > 0 }; Cuadrante II := {(x, y) : x < 0 , y > 0 }; Cuadrante III := {(x, y) : x < 0 , y < 0 }; Cuadrante IV := {(x, y) : x > 0 , y < 0 }.

En muchas magnitudes econ´omicas s´olo tienen sentido los valores no negativos. Por ello, en las ciencias econ´omicas es de especial inter´es el primer cuadrante. En la figura 1.2 se muestran los diferentes cuadrantes en el plano coordenado.

Cuadrante

I

Cuadrante

II

Cuadrante

III

Cuadrante

IV

Figura 1.2: Los diferentes cuadrantes del plano de ejes coordenados.

La gr´afica de una funci´on es un conjunto de puntos que pueden ser representados en el plano coordenado. Por ejemplo, la gr´afica de la funci´on valor absoluto f (x) = |x| aparece en la figura 1.3. Obs´ervese que la gr´afica de la funci´on es la misma, pero hemos representado diferentes zonas del plano coordenado. Preste atenci´on a que la represntaci´on es diferente a las gr´aficas anteriores. En este caso no hemos representado los ejes ordenados, hemos puesto las escalas en la parte inferior para el eje de abscisa y en la parte derecha para el eje de ordenadas. Se le asigna la correspondencia de cada punto de forma an´aloga a lo explicado anteriormente. La ventaja de esta representaci´on es que muchas veces el origen de coordenadas est´a lejos de los valores que toma la funci´on. Si intent´asemos representar

10 CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS DEL C ALCULO. FUNCIONES´

datos reales como los del siguiente ejemplo, escoger el trozo adecuado del plano coordenado es importante.

-0.

0

1

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0

1

2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 1.3: Representaci´on de la funci´on f (x) = |x|.

Pasamos a nombrar algunos ejemplos de gr´aficas de funciones b´asicas.

1. Funciones constantes: La funci´on m´as f´acil de definir son las constantes. Una funci´on constante toma el mismo valor para todos los puntos donde est´a definida.
2. Funciones lineales: En una funci´on lineal el valor de salida es un m´ultiplo del valor de entrada. Por ejemplo, f (x) = 3x y f (x) = 7x. Al n´umero que multiplica a la variable dependiente se le llama pendiente. Los intereses que aportan los bancos por depositos a un a˜no son una funci´on lineal dependiente de la cantidad depositada. Si nos ofrecen un dep´osito al 6 % de inter´es anual, entonces los intereses que obtenemos son f (C) = 0, 06 C donde C es el capital ingresado.
3. Funciones afines: Una funci´on af´ın es la suma de una funci´on lineal y una funci´on constante. En algunos textos a las funciones afines se les llama tambi´en funciones li- neales. Por tanto, para dar una funci´on af´ın necesitamos la pendiente m y la ordenada al origen c para la la forma general de la f (x) = m x + c.
4. Funciones potencia con exponente entero positivo: Se define como el producto de la variable independiente tantas veces como indique el exponente. As´ı, la funci´on potencia con exponente n se define:

xn^ = x · · · · ·| {z } x n veces

Observese que si i es la tasa de inter´es anual y C es el capital inicial, la cantidad C(1 + i)n^ es el capital acumulado tras n a˜nos. Por tanto, las funciones potencia tienen una interpretaci´on econ´omica clara.

5. Funciones potencia con exponente entero negativo: Si sabemos que el capital que tenemos en el momento actual en un dep´osito es C y dicho capital ha estado durante n a˜nos en dicho dep´osito con una tasa de inter´es anual i. ¿Cu´al era el valor inicial ingresado?

12 CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS DEL C ALCULO. FUNCIONES´

6. Funciones potencia con exponente racional: Por simplicidad consideraremos su dominio los reales no negativos, R+^ ∪ { 0 }. 1 Una entidad financiera nos ofrece una tasa de inter´es anual de r por un dep´osito de medio a˜no de una cantidad C, es coherente denotar la cantidad obtenida al final C(1 + i)^1 /^2. Si volvi´eramos a poner el dinero en el dep´osito durante otro medio a˜no tendr´ıamos C(1 + i)^1 /^2 (1 + i)^1 /^2 y esta cantidad debe ser equivalente a haber puesto todo el dinero durante un a˜no, es decir, C(1 + i). Por tanto,

C(1 + i)^1 /^2 (1 + i)^1 /^2 = C(1 + i)

Es decir, (1 + i)^1 /^2 es la ra´ız cuadrada de 1 + i. Razonamientos an´alogos nos llevan a determinar que si con la misma tasa de inter´es anual hubi´esemos tenido un dep´osito mensual el valor final ser´ıa C(1 + i)^1 /^12 y se deduce que (1 + i)^1 /^12 es 12

1 + i. Para todo x positivo se define la potencia de x elevado a m/n (con n 6 = 0), y = xm/n, como el ´unico real positivo que verifica yn^ = xm.

La funci´on f (x) = xm/n^ se define para los n´umeros reales no negativos si m/n es positivo y para los positivos si m/n es negativo. En la figura 1.6 se puede observar la forma t´ıpica de las funciones potencias. Para los exponentes positivos menores que uno la gr´afica aparece “mirando” hacia la derecha, mientras que para exponentes positivos mayores que uno la forma es como la de exponentes enteros positivos.

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2

Figura 1.6: Gr´afica de la funci´on f (x) = x^1 /^2 en el panel de la izquierda y gr´afica de la funci´on f (x) = x^3 /^2 en el panel de la derecha.

Algunas propiedades de la funci´on potencia para a, b ∈ Q son:

a) xaxb^ = xa+b;

b) (xa)b^ = xa b; c) x

a xb^ =^ x

a−b;

d ) xc/a^ = a

xc^ con a 6 = 0.

(^1) Es posible definir en todo R aquellas potencias cuyo exponente tiene denominador impar

Matem´aticas 13

1.2.4. Rec´ıproca de Funciones

Una funci´on se dice inyectiva si a cada valor en el recorrido y = f (x) le corresponde una ´unica pre-imagen x. La funci´on g se dice que es la inversa o rec´ıproca de f si f (g(x)) = x para todo x en el dominio de g y g(f (x)) = x para todo x en el dominio de f. La funci´on rec´ıproca de f se denota por f −^1. La regla para obtenerla (si existe), consiste en invertir la relaci´on algebraica existente originalmente: y = f (x) y despejar la variable x para obtener x = f −^1 (y). Posteriormente (convenci´on para cualquier funci´on), se sustituye variable independiente por dependiente: y = f −^1 (x). En el ejemplo 1.7 se puede observar esta t´ecnica. Recuerda que y = f −^1 (x) significa x = f (y) y que las funciones f y f −^1 verifican f (f −^1 (x)) = x = f −^1 (f (x)). Las gr´aficas de funciones rec´ıprocas f (x) y f −^1 (x) son sim´etricas con respecto a la recta bisectriz y = x.

Teorema 1.1. Una funci´on tiene inversa si, y s´olo si, es inyectiva.

La funci´on f : [0, +∞) → R definida por f (x) = xm/n^ con m y n enteros positivos tiene por funci´on inversa f −^1 : [0, +∞) dada por f (x) = xn/m. Una observaci´on un tanto sutil: La funci´on f : R → R definida por f (x) = x^2 no tiene inversa, ya que no es inyectiva. Sin embargo, la funci´on f : [0, +∞) → R definida por g(x) = x^2 tiene por inversa g−^1 (x) = x^1 /^2 =

x. Vea la figura 1.7.

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2

Figura 1.7: Comparaci´on de las gr´aficas g(x) = x^2 y g−^1 (x) =

x. Se representa tambi´en la bisectriz del primer cuadrante para que se compruebe la simetr´ıa respecto de dicho eje.

Matem´aticas 15

El producto de dos funciones impares es par.

El producto de una funci´on par por otra impar es una funci´on impar.

Una funci´on que no tiene paridad definida (no es par ni impar), puede ser descompuesta como la suma de una funci´on par y otra impar.

16 CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS DEL C ALCULO. FUNCIONES´