Grado en Qu
´
ımica Bloque 1
Funciones de una variable
Secci´
on 1.1: Los n´
umeros complejos. Raices de polinomios
La unidad imaginaria ise define como i=√−1. Por tanto i2=−1.
Un n´umero complejo es de la forma z=a+bi, donde aybson n´umeros reales. El n´umero
real ase llama parte real de zy el n´umero real bse llama parte imaginaria de z.
La suma de dos n´umeros complejos se hace sumando sus partes reales y sus partes imaginarias.
Ejemplo: (2 + 3i) + (5 −4i) = (2 + 5) + (3 −4)i= 7 −i
Dos n´umeros complejos se multiplican como si fueran expresiones algebraicas, teniendo en
cuenta que i2=−1.
Ejemplo: (2 + 3i)(5 −4i) = 10 −8i+ 15i−12i2= 10 + 7i−12(−1) = 22 + 7i.
El conjugado de un n´umero complejo z=a+bi es z=a−bi (se cambia de signo la parte
imaginaria). Se tiene zz = (a+bi)(a−bi) = a2+b2.
Para dividir dos n´umeros complejos se multiplican el numerador y el denominador por el con-
jugado del denominador.
Ejemplo:1+2i
1+i=(1+2i)(1−i)
(1+i)(1−i)=1−i+2i−2i2
1+1 =3+i
2=3
2+1
2i.
El m´odulo del n´umero complejo zes |z|=r=√a2+b2.El argumento del n´umero complejo
zes el ´angulo αque forma el segmento que une el origen con zcon la direccion positiva del eje real,
medido en el sentido positivo (contrario al giro de las agujas de un reloj). El argumento αdel n´umero
complejo z=a+bi satisface tg α =b/a.
Ejemplo: El m´odulo del n´umero complejo z=−2 + 2ies |z|=p(−2)2+ 22=√8=2√2 y
el argumento es un ´angulo αque satisface tg α = 2/(−2) = −1. La calculadora dar´ıa tan−1(−1) =
−π/4, pero como el numero complejo zest´a en el segundo cuadrante su argumento es −π
4+π=3π
4.
La expresi´on |z|(cos α+isen α) se llama forma trigonom´etrica del n´umero complejo z. Usando
la f´ormula de Euler eiα = cos α+isen αpodemos escribir z=|z|eiα , que se llama forma polar del
n´umero commplejo z.
La forma polar es muy ´util para multiplicar y dividir n´umeros complejos.
Para multiplicar:
(r1eiα1)(r2eiα2) = r1r2eiα1eiα2=r1r2ei(α1+α2),
por lo que se multiplican los m´odulos y se suman los argumentos.
Para dividir: r1eiα1
r2eiα2=r1
r2
eiα1
eiα2=r1
r2
ei(α1−α2),
por lo que se dividen los m´odulos y se restan los argumentos.
Si nes un n´umero natural, la potencia n-´esima del n´umero complejo z=reiα, dado en forma
polar, es zn=rneinα (esto se deduce de la regla anterior de multiplicaci´on de dos n´umero complejos
en forma polar).
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