¡Descarga Ejercicios de Cálculo Complejo: Aplicaciones del Teorema de los Residuos y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
1. Determinar los puntos singulares de 𝑓
𝑧
2
+𝑖
𝑧
2
− ( 1 +𝑖 √
3 )
2. Determinar si es posible aplicar el teorema de los residuos de Cauchy para resolver la
siguiente integral
3. Hallar los puntos singulares de la siguiente función 4. Dado el siguiente conjunto de números complejos |𝑧
2
2
) < 4. Representar
gráficamente.
5. Dada la siguiente función 𝑓(𝑧) =
− 1
𝑧
2
(𝑧− 1 )
. determinar el dominio de analiticidad,
desarrollar la serie de Laurent.
6. Evaluar ∫
𝑧
2
𝑧
2
𝑑𝑧 donde C es la trayectoria de línea recta de 1 a i
7. Dada la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
2
3
2
, demostrar que es una función
armónica, hallar la función analítica correspondiente
8. Desarrollar en serie de Laurent la función 𝑓(𝑧) =
𝑧
(𝑧− 1 )(𝑧− 2 )
en el dominio
9. Evaluar ∫
1
4 − 2 𝑧
𝑑𝑧 donde C es el cuadrado de vértices en los puntos 3 ± 3 𝑖, − 3 ± 𝑖, con
orientación positiva
10. Desarrollar la función 𝑓(𝑧) =
1
1 +𝑧
en potencias de z-i
11. Desarrollar en serie de Laurent la función 𝑓(𝑧) = 𝑒
𝑧/(𝑧− 3 )
en torno a z=3 para
encontrar el residuo de f(z) en z=
12. El residuo de la siguiente función
𝑒
4 𝑧
− 1
𝑠𝑒𝑛𝑧
en z=0 es igual a: 0
13. Evaluar ∫
1
2 −𝑧
𝑑𝑧 donde C es el cuadrado de vértices en los puntos 3 ± 3 𝑖, − 3 ± 𝑖, con
orientación positiva
14. Aplicar el teorema de los residuos de cauchy para calcular
1
2 𝜋𝑖
tanh 𝑧 , 𝐶: |𝑧 −
𝜋
2
𝑖| = 1 / 2 orientada positivamente
15. Determinar el valor de ∫
𝑒
𝑧/ 2
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑧
𝑑𝑧 donde 𝐶: |𝑧 − 2 𝜋𝑖| = 1 / 2 con orientación negativa
16. Evaluar ∫
𝑒
−𝑧
2
𝑧
2
17. Desarrollar en serie de Laurent la función 𝑓
𝑧
( 𝑧− 1
)( 𝑧− 2
)
𝑑𝑧 en el dominio
18. Calcular la integral de la siguiente función
tan 𝑧
𝑧
sobre la curva 𝐶:
= 1 / 2 con
sentido anti horario. Enunciar el teorema aplicado
19. Aplicar el teorema adecuado para calcular ∫
𝐿𝑜𝑔 𝑧 𝑑𝑧 donde C es la circunferencia
|𝑧 − 2 | = 1 / 2 con orientación negativa
20. Suponga que tan z se desarrolla en una serie de Laurent en torno a 𝑧 = 𝜋/ 2 entonces,
la parte principal de la función en 𝑧 = 𝜋/ 2 es Rpta: - 1
21. Calcular el valor de la integral de 𝑓(𝑧) = (𝑧
4
− 1
sobre la curva 𝐶: |𝑧 − 1 | = 2
orientada positivamente. Enunciar el teorema aplicado
22. Calcular el residuo de 𝑓(𝑧) =
𝑒
−𝑧
𝑧− 1
2
en el punto singular aislado de la función
23. Clasificar las singularidades aisladas de la siguiente función (𝑧
2
− 1
24. Encontrar ∫
𝑧−𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧
𝑧
2
𝑠𝑖𝑛ℎ𝑧
𝑑𝑧 aplicando el teorema de los residuos de cauchy, donde C es
cualquier contorno cerrado simple con orientación positiva que rodea a 𝜋𝑖 y totalmente
contenido en la circunferencia
25. Encontrar el valor de ∫
2
𝑑𝑧 alrededor de la circunferencia 𝐶: |𝑧 − 1 | = 1
26. Evaluar ∫
𝑧+ 1
𝑒
𝑧
− 1
𝑑𝑧 donde 𝐶: |𝑧| = 3
27. Clasificar la singularidad aislada de la función 𝑓
− 1 /𝑧
4
2
(z=0 es una
Singularidad esencial de la función)
28. Evaluar ∫
2
𝑑𝑧 donde C es la línea poligonal de - 1+i a 5+1 y luego de 5+i a 5+3i
29. Desarrollar en serie de Laurent la función 𝑓(𝑧) =
𝑧
(𝑧− 1 )(𝑧− 2 )
en el dominio
30. Hallar la serie de Laurent de 𝑓(𝑧) =
𝑧
(𝑧− 1 )(𝑧− 3 )
en el dominio 0 < |𝑧 − 1 | < 2
31. Evaluar ∫ 𝑧̅ 𝑑𝑧 donde C es el camino poligonal de i a (1+i) y de (1+i) a 1
2.
