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Tema 1. Matrices. Determinantes
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Sean las matrices:
A =
B =
C =
Calcular:
a) A+B
b) A+C
c) (A+B)·C
- Dadas las matrices:
A =
B =
C =
D =
Calcular:
a) 2A – 3B
b) (CD)
t
2
c) (3A – I 3 ) (I 3 – B)
d) AB – BA
e) ABA
- Dadas las matrices
A = 2 − 1 3
B =
Calcular AB y BA.
- Sean A,B y C tres matrices cuadradas de orden 3, tales que:
A =
B =
C =
Calcular:
a) 2A – 3B + C
b) 2A
2
c) 2A
2 B – 3AB
2
- Dadas las matrices
A =
B =
Calcular:
a) (A + B) (A – B)
b) A
2
2
c) (A + B)
2
d) A
2
2
e) ¿Por qué las respuestas de los apartados a) y b) no coinciden?, ¿y las de c) y d)?
- Dadas las matrices
A =
B =
C =
Calcular AB y AC. Observar que AB=AC pero B≠C. ¿Qué conclusión se puede sacar de esto?
- Hallar A
n , B
n siendo A =
y B =
a 0
1 a
- Comprobar que si D =
a 0 0
0 b 0
0 0 c
entonces D
n
a
n 0 0
0 b
n 0
0 0 c
n
∀ n ∈ N
- Calcular D
m
siendo D ∈ M n una matriz diagonal y m ∈ N
10. Dadas A,B ∈ M n demostrar:
a) tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
b) tr (s·A) = s · tr (A) siendo s ∈ R
c) tr (A) = tr (A
t )
11. Dadas A,B ∈ M n demostrar:
a) A antisimétrica ⇒ A
2 simétrica
b) Si A es antisimétrica y B es simétrica se verifica: AB es antisimétrica ⇔ AB = BA
c) A
t A y AA
t son simétricas
d) A simétrica ⇒ B
t AB simétrica
- Hallar el determinante de cada una de las siguientes matrices:
A =
B =
C =
a b c
b c a
c a b
D =
1 2 1 2
1 2
1 2 1
- Dada la matriz
A =
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
El producto (^) a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 32 ⋅ a 44
, afectado por el signo + o el signo – , ¿puede ser un término del
determinante |A|. ¿Y el producto (^) a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 ⋅ a 44
- Hallar el determinante de la Matriz B desarrollándolo por los elementos de la segunda fila.
B =
- Hallar M 13 , A 13 , M 24 , A 24 , M 35 , A 35 en la matriz A.
A =
- Desarrollar el determinante de A por los elementos de una fila, siendo:
A =
- En la matriz del ejercicio anterior, calcular |A| haciendo ceros en la cuarta columna.
- Calcular el determinante de B siendo
B =
cos x − senx 1
senx cos x 1
- Desarrollar el determinante de M, transformándolo previamente en otro cuyos elementos de
la primera columna, excepto el primero, sean ceros.
M =
- Dada la matriz A, verificar la propiedad |A|=|A
t |
A =
- Suponiendo que las siguientes matrices son regulares y del mismo orden, resuélvase:
a) (X
t A)
t
t B)
t = (A+B)
t
b) AX = 3XB
c) X
- Calcular mediante adjuntos la matriz inversa de la matriz C.
C =
35. Sea A ∈ M n. Demostrar que:
a) t · A = t
n A ∀ t ∈ R
b) A matriz triangular ⇒ A = a 11 ⋅ a 22 ⋅...⋅ a nn
c) Si A es una matriz regular entonces A
− 1
A
- Comprobar que |A|=0 siendo A =
- Descomponer el determinante de A en la suma de otros dos diferentes, siendo
A =
- Comprobar que el siguiente determinante, llamado de VANDERMONDE de orden n, es el
producto que se indica.
a 1 a 2 a 3 ... a n
a 1 a 2 a 3 ... a n
a 1
n − 1 a 2
n − 1 a 3
n − 1 ... a n
n − 1
= ( a n − a 1 )( a n − 1 − a 1 )...( a 2 − a 1 )( a n − a 2 )...( a 3 − a 2 )...( a n − a n − 1
- Desarrollar el determinante de Vandermonde de orden 4 de la siguiente forma:
a b c d
a
2 b
2 c
2 d
2
a
3 b
3 c
3 d
3
- Comprobar, sin desarrollar, que son nulos los siguientes determinantes:
- Comprobar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 10.
- Resolver la ecuación
4 x 6
3 − 1 x
- Justifique los siguientes resultados:
a)
= (^0) b)
c)
x y z
x
2 y
2 z
2
x
3 y
3 z
3
= xyz
x y z
x
2 y
2 z
2
d)
1 a b + c
1 b c + a
1 c a + b
- Calcular, sin desarrollar el determinante, las raíces de la siguiente ecuación:
x − 1 2 − 2
x
2 1 4 4
x
3 − 1 8 − 8
- Dada la matriz A, hacer ceros en una de sus filas.
A =
- Calcular el determinante de la matriz anterior.
- Calcular el rango de las siguientes matrices:
- Determinar para qué valores de x son inversibles las siguientes matrices. Calcular la matriz
inversa para dichos valores de x.
A =
− 1 x − 1 2
2 3 x + 1
B =
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
C =
0 x − 1 2
0 − 1 X + 1
53. Hallar una matriz A ∈ M 2. tal que:
a)
A =
− 1
b)
A =
- Sea A=
− a b
b a
. Encontrar, razonadamente, la condición necesaria y suficiente que
deben cumplir a y b para que A sea:
a) Regular
b) Ortogonal
c) Simétrica
d) Antisimétrica
- Dada la matriz P, estudiar si es ortogonal.
P =
1 2
1 2
1 2
1 2
- Calcular el valor de λ para que la matriz A − λI sea no regular (I 3 ).
A =
- Tomando las matrices P y A de los ejercicios anteriores, calcular P
- Comprobar con la matriz A =
que (A
t )
t
- Calcular mediante operaciones elementales la matriz inversa de la matriz D.
D =
- Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =
B =
C =
D =
- Determinar el valor de x para que la matriz C sea singular, siendo C =
x 1 1
1 x 1
- Encontrar sin realizar operaciones el valor del determinante de la matriz D y calcular su
rango.
D =
¿Existe la matriz inversa de D?
- Dada la matriz A, obtener, si existe, A
A =
- Si la matriz A del ejercicio anterior es tal que |A|=3, hallar |A
- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales (supuesto que todas las matrices son
regulares y conformes a la suma y producto).
