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MATEMATICAS
SERIES Y SUCESIONES
Colección ordenada de números reales en que cada elemento de la sucesión se le denota como termino de la sucesión.
P. Aritmética Cada termino de la sucesión se obtiene sumando al anterior una constante d. El término general de una progresión aritmética se obtiene de la siguiente fórmula: An= a1 + (n-1)d Si d mayr que 0 la sucesión crece Si d menor que 0 la sucesión decrece Si d =0 la sucesión es constante Propiedad: en una progresión aritmética la suma de los términos primero y último y segundo y antepenúltimo y tercero y anterior a antepenúltimo es siempre la misma. SUMA DE N TERMINOS CONSECUTIVOS Sn = a1 +an/2 *n *Vale para hacerlo desde un término diferente al primero. P Geometrica Progresión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por un razón r. An= a1 *r
Si r es mayor que 1 la progresión crece, Si r es menor que 0 oscila Si r esta entre 0 y 1 decrece SUMA TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA SN=a1 * (r / r-1) En el caso en que necesite sumar los infinitos términos de una progresión geométrica uso:
A1/ 1-r Y solo se podrá efectuar esta suma cuando r este comprendida entre –1 y 1 r< 1
Sucesion convergente Una sucesión es convergente cuando al ir aumentando se acerca a un numero. Esta función posee un limite en un numero. Limite: numero que genera un entorno a partir del cual los términos de la sucesión que lo proceden están comprendidos dentro del mismo. Sucesion divergente Aquella cuyo limite es es infinito o menos infinito. Lim an= + Lim an = - Sucesion oscilante Sucesión que no tiene limite Este tipo de sucesiones no tienen limites debido a que oscilan y es imposible crear el entorno que cree el limite. An= (-1) Sucesiones acotadas Una sucesión esta acotada superiormente cuando existe un numero que pone cota superior a toda la sucesión Una sucesión esta acotada inferiormente cuando existe un numero que es cota superior de la sucesión. PROPIEDADES limites en el infinito 1- Una sucesión formada por un polinomio de numerador y uno en el denominador, ( en vez de x suele encontrarse n como incógnita).
El limite si el grado del numerador es mayor al del denominador el límite de la sucesión será + -
El limite si el grado del denominador es mayor al del numerador será 0
las indeterminaciones: -, /, etc Ahora procederemos a ir analizando los diferentes casos de indeterminación dentro de los limites.
Indeterminacion del tipo - Este tipo de indeterminciones surgen cuando al calcular un limite este me arroja como resultado un infinito menos infinito. Para resolver esta indeterminación procedo a multiplicar y dividir la sucesión por el conjugado de la misma. *conjugado: es la misma expresión que constituye la sucesión pero cambiando donde hay un mas poniendo un menos y viceversa. Ejemplo L ((n+1) - n) = tomo limites arrojándome un resultado de -. Para resolverlo procedo a: L ((n+1) - n) * ((n+1) + n) ((n+1) + n) (n+1) cudrado - n cuadrado ((n+1) + n)
n+1-n/ ((n+1) + n) = 1 / ((n+1) + n) = 1/ = 0
indeterminación del tipo 0 * En este caso la indeterminación surge al tomar limite dándonos 0 por infinito . Para resolver multiplico los dos miembros que han formado la indeterminación, (los dos miembros iniciales de la sucesión) entre si y después despejo y tomo limites Ejemplo (1/ n cuad +1) * (2n +1 / n-5) Aplico la propiedad de la multiplicación de limites y despejo cada limite. El limite arroja como resultado 0 * Ahora opero para resolver 2n +1 / n -5n cuad + n -5 obtengo que el limite es 2 /1 = 2
Indeterminacion del tipo / En este caso tendre que dividir al numerador y denominador de la sucesión inicial de partida a tomar limite, por la n con el exponente menor presente en toda la sucesión de partida. Una vez echo esto, despejare y obtendré otra expresión que me permita calcular el limite. No debo olvidar que puedo ir calculando pequeños limites de las diferentes partes de la cuenta para obtener el limite general
Indeterminacion del tipo 1 Este tipo de indeterminación surge al realizar el limite a una doble sucesion potencia, generalmente aplicando los conocimientos sobre las propiedades de una sucesión elevada a otra sucesión que vimos al principio. Una vez veo que efectivamente el resultado del limite es esta indeterminación procedo de la siguiente manera 1- Conozco que el resultdo del limite pedido será e donde es el resultado de realizar los cálculos que indican la siguiente formula: Si poseo una expresión en forma de sucesión del tipo an elevado a bn, entonces c será el resultado del limite de multiplicar bn por an menos uno, L [ bn* (an-1)]
SERIES
Una serie es la suma de los infinitos términos de una sucesión infinita. an = serie
F(x) = 1/x el dominio es todo R menos 0 ya que no se puede dividir por 0
En muchas ocasiones al intentar calcular un dominio debo plantearlo como una composición de funciones y analizar las dos partes por separado Recorrido: es el conjunto de valores de la y para los cuales existe imagen en X
Crecimiento y decrecimiento Un función es creciente estrictamente cuando cda termino es mayor que el anterior. F(x1) < f (x2) Una función es creciente cuando cada termino es menor o igual al anterior F(x1) F(x2) Concavidad y convexidad Una función es convexa cuando es asi :
Una función es concava cuando es asi
Acotacion Una función esta acotada cuando existe un numero que esta por encima de toda la función o por debajo de toda la función, como ocurria con las sucesiones. Puede estar acotada superior o inferioirmente. Desplazamiento En este subapartado estudiaremos como hacer que una función se desplace hacia la izquierda, hacia la derecha , hacia arriba o hacia abajo Desplazamiento a la izquierda: sumamos a la x de la funcion un numero Ejmplo : si fx= 3x , le sumamos un numero fx= 3(x+2) Desplazamiento a la derecha: igual pero le restamos un numero
Desplazamiento hacia arriba: a toda la función le restamos un numero
Ejemplo: fx= 4x-3 entonces le restamos a toda (4x-3) - Desplazamiento hacia abajo: lo mismo pero sumando Reflexion especular eje X Si f(x) es una función, entonces su reflexión de eje x será –f(X) Reflexion especular eje y Si f(x) es una función , su reflexión eje y será f(-x)
Simetrias Existen dos tipos básicos de simetrías, la par y la impar. Una función posee simetría par cuando f(x)= f(-x) Una función posee simetri impar si f(-x) = -f(x)
Operaciones con funciones: Las funciones pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse ya que son expresiones con incognita o polinomios Composición de funciones Es otra de las operaciones que puedo hacer con las funciones, básicamente consiste en introducir una función dentro de otra, cambiando cada x de la primera por toda la función segunda Ejemplo F(x) = 3x+5 y g(x) =2x+ 34 F(g(x)) = 3(2x+34) +
Función inversa La función inversa surge a partir de una función de partida y es aquella función tal que al componerla con la suya de partida se llega a la función identidad --*fx identidad: la fx identidad es aquella función que asigna a cada valor ese mismo valor Para obtener la función inversa de otra sigo este procedimiento:
- Trasformo la función inicial a una misma expresión cambiando x por y
- Despejo la y
grado 1
Funciones racionales: Una función racional es auqella de la forma numerador una función entre denominador, otra función. Su dominio es todo r menos los números que hagan que el denominador sea cero P(x) / Q(x)
Dominio es todo R menos los valores que hagan q Q(x)> o igual a 0, las raíces del denominador
Funciones irracionales Son aquellas que poseen una raíz F(x) = R(x) Su inversa es la función potencial
Su grafica es la inversa de la polinomica de grado dos y tres
Funciones exponenciales Aquellas de la forma f(x) = e Su recorrido siempre es de (- a 0) Su dominio es todo R
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION CON UNA
VARIABLE
En este tema vamos a estudiar los límites de las funciones de una variable. Para introducir el tema podemos decir que dada una función f(x)= x²+1 se comprueba que si x es igual a uno, yo puedo acercarme al uno por la izquierda( con valores mas pequeños que uno) o por la derecha (con valores mayores), al hacer esto e ir viendo los resultados, veo como la función se aproxima a dos. Podríamos decir entonces que el límite de esa función en x= 1 es 2
Ademas en este caso coincide que F(1) es dos, en este caso el limite coincide con lo que vale la función en el punto pero PUEDE QUE NO COINCIDAN, esta idea es importante tenerla clara. Aunque si es cierto que la mayori de las veces en los procedimientos de aplicación para calcular limite hare como si estuviese calculando la función en
el punto, es decir sustituyendo la x por el valor al que tiende el limite. El limite de a es un entorno de L tal que para todos los valores de un entorno de a vallan a reflejarse en el entorno de L
L a
Limite por la derecha y por la izquierda
de un punto
El limite por la derecha de “a” , siendo a el punto al que tiende el limite, es el resultado del limite de la función cuando utilizo el valores de la parte del entorno de a, superior a para tomar limite. El limite por la izquierda de “a” siendo a el punto al que tiende el limite, es el límite de la función cuando utilizo valores de la parte del entono de a superior a “a” para tomar limite. El concepto teórico es algo difícil de explicar pero en la práctica del cálculo de limites es muy importante este concepto. Su importancia radica sobre todo cuando nos encontrmos con funciones definidas a trozos donde el punto de cambio de forma de la función coincide con el punto al que tiende la función. Por ejemplo: Lim X 2 de F(x) x² +2 si x 2 Siendo F(X) 5 si x> 2
En estos casos es muy importante saber si me piden el limite por la derecha o por la izquierda para saber con que función trabajar.
En el caso de que me pidieran el limite de la función en dos, tendría que aplicar una de las propiedades basicas de los limites de las funciones: UNA FUNCION TIENE LIMITE CUANDO POSEE LIMITE POR LA
En ocasiones surgen indeterminaciones al calcular los limites, bien en este caso voy a diferenciar aquellas que ocurren en dos momentos diferentes, a diferencia de las que ocurrían en las sucesiones donde siempre eran limites cuando n tendía a infinito.
Primera situación: limites con un resultado numérico, cuando x tiende a un numero.
En este caso en clase solo hemos dando las indeterminaciones 0/0. En este tipo de indeterminaciones hay dos maneras de resolverlas
1- Factorizando: se usa esta manera cuando no haya raíces y el numerador y denominador sean polinomios. Recordar aquí que es importante conocer la regla de ruffini
Ruffini
Pongo los coeficientes de los términos con las x ordenados según grado de x. Si no hay ese grado pongo un 0.
Me fijo en el termino independiente y calculo sus divisores para los cuales la división es exacta , con un resultado positivo o negativo. Por ejemplo divisores de 6= 6,-6,3,-3,2,-2,1,-
Esas son las posibles raíces de ruffini, con la que consiga que de 0 es la autentica.
Lo que me queda debajo de la caja de ruffini serán los coeficientes del polinomio con un grado menos al inicial.
Si el grado sigue siendo mayor que dos , vuelvo a usar ruffini de la misma manera y obtengo otra raíz.
Si el polinomio resultante ya es de grado dos, resuelvo la ecuación de segundo grado y me da dos raíces mas.
Una vez tengo todas las raíces Por ejmplo Raíz 1: 2 raiz 2=5 raiz3=7 aplico la factorización (x-2) (x-5)(x-7) si la riz es positiva sera x + raíz
2- Multiplicar y dividir por el conjugado del denominador: este procedimiento sera el mismo que el utilizado en lndeterminaciones del tipo - en las sucesiones. Este método se usan en las raíces para quitarlas, al igual que en sucesiones, debido a la regla suma por diferencia, diferencia de cuadrados.
DEBEMOS DE TENER EN CUENTA EN EL CALCULO DE LIMITES
QUE NO SON EN EL INFINITO QUE CUANDO EL LIMITE A
CALCULAR ES PARA UNA X QUE TIENDE A 0 Y ESPECILMENTE SI
LA FUNCION ES UN COCIENTE ES BUENO COMPROBAR QUE LOS
LIMITES POR DERECHA E IZQUIERDA COINCIDEN ANTES DE
DECIR CUAL ES EL VALOR DEL LIMITE DE LA FUNCION. TAMBIÉN
HAY QUE CALCULAR LOS LIMITES LATERALES CUANDO AL
TOMAR LIMITE QUEDA UNA EXPRESION DEL TIPO Nº/0 YA QUE EL
RESULTADO ES INFINITO Y PUEDE SER + o -
Esto se debe a que en cero al tomar limite, el valor “real” con el que tomo el limite por la izquierda es un valor negativo y por la derecha un valor positivo. Y que de estos limites surgen muchas veces resultados cuyo signo debo determinar , debido a que al tomar limite me suele quedar una expresión del tipo nº/0 = + o - según la multiplicación de signos de numerdor y denominador
LIMITES EN EL INFINITO Y LIMITES INFINITOS
A recordar:
1/x =0 , nº/0 = o- Las reglas para limites en el infinito de cociente de sucesiones o en este caso de polinomios que forman una función. Si denominador es mayor grado que numerador es 0 Si numerador es mayor grado e + o - según el signo de numerador y denominador Si los grados son iguales se dividen los coeficientes
Asíntota oblicua
Una función tiene una asíntota oblicua si F(x) – mx+b =
Funciones continuas y discontinuas
Una función es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz , es discontinua cuando no puede dibujarse sin levantar el lápiz.
Funcion continua en un punto
Una función es continua en un punto “a” cuando se cumple que el limite de esa función en el punto a (limite por la dercha e izquierda de “a” que coinciden, es un limite finito o infinito) coincide con el valor de
la función en el punto “a”
Ejemplo F es continua en x= 3x si x 1 F(x) X+2 si x>
Limite de fx en 1 por la derecha es igual a 3 Limite de fx en uno por la izquierda es igual a 3
Coinciden por derecha e izquierda asique el limite es 3 El valor de la función en el punto es 3*1= 3 Coincide limite y valor en el punto por lo tanto fx es continua en 1
Discontinuidades
Las discontinuidades surgen cuando F(a) es distinto del L x—a f(x) Este tipo de discontinuidades puedes subdividirse en: 1-Discontinuidad evitable Es auqella discontinuidad que se produce cuando F(a) es distinto del limite en a de F(x) y existe el valor de f(a) y del limite en a. 2-discontinuidad no evitable de primera especie o salto finito Se produce esta discontinuidad cuando existe la función en el punto, pero no existe el limite en la función en el punto debido a que los limites por la derecha y por la izquierda de la función no son iguales. 3- Discontinuidad no evitable de segunda especie o de salto infinito
Se produce esta discontinuidad cuando existe el valor de la función en el punto , pero no existe limite en el punto debido a que uno de los limites laterales de la función no existe
