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MATEMÁTICAS I (curso 2024-25)
Ejercicios del Tema 1
Funciones de una variable. Continuidad.
Ejercicio 1. Sea el punto A = (1, 0) y las rectas r≡y − x = 1 y s≡ − 2 (x + y) = 3.
i) Calcular la recta que pasa por el punto A y el punto de intersección entre las rectas r y s.
ii) Obtener la recta perpendicular a la recta s que pasa por el punto A.
Ejercicio 2. Considerar los puntos A = (1, 0), B = (5, 0) y C =
. Sea AC la ecuación de las recta que pasa por los puntos A y C, y BC la ecuación de la recta que pasa por B y C.
i) Obtener las rectas AC y BC.
ii) Hallar la expresión de la función f (x) donde f (x) = AC para 1 ≤ x ≤ 3 , f (x) = BC para 3 < x ≤ 5 , y f (x) = 0 en otros casos. Dibujar la gráfica de f (x).
iii) Comprobar que f (x) es una función de densidad, o sea, se cumplen las dos siguientes condiciones: f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R, y el área comprendida entre la gráfica de f (x) y el eje X es igual a 1.
Ejercicio 3. Obtener el dominio de las siguientes funciones:
i) f (x) = ln
x^2 + 2x − 3
ii) f (x) =
p ln (x^2 + 2x − 3) iii) f (x) = exp
x^2 +2x− 3 x− 4
iv) f (x) =
q x^2 +2x− 3 |x− 4 | v)^ f^ (x) =
q x^2 +2x− 3 x− 4 vi)^ f^ (x) =
r x^2 +2x− 3 x− 4
vii) f (x) = ln
x^3 + x^2 − 5 x + 3
viii) f (x) = 3
9 − x^2 − 5
4 − x^2 + 2 ln (x − 1)
Ejercicio 4. Sea la función g (x) =
x^2 + 3αx + 6 donde α es un parámetro. Calcular el conjunto de valores
de α tales que el dominio de g (x) sea cualquier número real.
Ejercicio 5. ¿En qué cuadrantes del plano cartesiano está contenida la gráfica de cada una de las siguientes funciones?
i) f (x) = ex^ (3x − 1)^2 ii) f (x) = (^) 1+e^1 − 3 x iii) f (x) = x
5 − x iv) f (x) = |x|
x + 3
v) f (x) = ln (x)
1 − x^2 vi) f (x) =
√x 1+e−^3 x^ vii)^ f^ (x) =^
ln(x) 1+e−^3 x^ viii)^ f^ (x) =^
|x− 2 | x^2 −x+ (^14)
Ejercicio 6. Utilizar la gráfica de f (x) =
x para dibujar la gráfica de las siguientes funciones. En cada caso, describa las transformaciones realizadas.
i) h (x) =
x + 3, ii) h (x) =
x − 3 , iii) h (x) = 3 −
x + 3, iv) h (x) = − 3
x
Ejercicio 7 La demanda de la margarina está relacionada con el precio de la mantequilla: Q = f (P ) = 5+
P donde Q ≥ 0 es la cantidad demandada de margarina (en cientos de kilogramos) y P ≥ 0 es el precio de la mantequilla (en euros por kilogramo). Representar la función f (P ) a partir de gráficas de funciones elementales conocidas, indicando los cambios producidos en la función elemental correspondiente.
Ejercicio 8. Sea la función H (x) =
1 , x ≥ 0 0 , x < 0
. Dibujar la gráfica para cada una de las siguientes trans-
formaciones:
i) H (x) − 2 , ii) H (x − 2), iii) −H (x), iv) H (−x), v) 12 H (x), vi) 2 − H (x − 2)
Ejercicio 9. Sean las funciones g (x) = ln (3 − x) y h (x) =
2 x + 1. i) Obtener g−^1 (x) y h−^1 (x). ii) Calcular el dominio de
g◦h−^1
(x) = g
h−^1 (x)
iii) Comprobar que
g◦g−^1
(x) =
g−^1 ◦g
(x) = x.
Ejercicio 10. Sea Q ≥ 0 la cantidad de un bien (en cientos de kilogramos) y P ≥ 0 el precio del bien (en euros por kilogramo). La función de demanda es Q = f (P ) donde f (P ) = 3 −
2 P + 5. Hallar la función de demanda inversa, o sea, P = f −^1 (Q).
Ejercicio 11. Calcular los siguientes límites:
i) l´ım x→− 2 ln
x^2 − 2 x+ x^2 +
ii) l´ım x→ 1 exp
q x^2 + |x+1|
iii) l´ım x→− 3
x^2 +x− 6 x^2 − 9 iv)^ x→l´ım+∞
x^2 + 3 − x
v) (^) xl´ım→ 0
√x+5−√ 5 x vi)^ xl´ım→ 4
√x+5− 3 x− 4 vii)^ xl´→ım 3 +
|x− 3 | x− 3 viii)^ xl´→ım 9 −
√x− 3 x− 9
ix) l´ım x→√e
x^2 −e |x−√e| x)^ x→l´ım+∞
x^2 +x+ x^2 − 9 xi)^ x→l´ım+∞
x^3 +x+ x^2 − 9 xii)^ x→l´ım+∞
x^2 +x+ x^3 − 9
Nota: Resolver usando el conjugado para los límites en iv), v) y vi). En otros límites debéis factorizar inicialmente, etc.
Ejercicio 12. Sea la función h (x) =
2 , x ≤ − 1 αx + β, − 1 < x < 3 − 2 , x ≥ 3
donde α y β son parámetros. Calcular los
valores de α y β para que h (x) sea una función continua ∀x ∈ R.
Ejercicio 13. Sea la función h (x) = x· |x|−^1 si x̸=0, y h (x) = 0 si x = 0.
i) Obtener la expresión de la función u (x) = h (x − 2) y dibujar su gráfica.
ii) Sea la función v (x) = exp (3x). Obtener la expresión de la función w (x) = u (v (x)). iii) Sea la siguiente función: F (x) = 12 + 12 h (x − 3) [1 − exp (− 5 |x − 3 |)] donde x ∈ R. Estudiar si F (x) es continua para x = 3. Razonar la respuesta. iv) Calcular si F (x) tiene asíntotas horizontales. Hallar los puntos de corte con los ejes. Si p representa el rango o recorrido de F (x), ¿cuál es el intervalo de p? v) Sea la función p = F (x). Hallar la expresión del cuantil o percentil x = F −^1 (p) para x > 3.
Ejercicio 21. Sea un producto financiero cuyos ingresos (o ganancias) dependen del precio de una acción, s ≥ 0 , en una fecha futura. La función de ingreso es la siguiente:
I (s) = m´ax (s − 25 , 0) − m´ax (s − 30 , 0).
i) Representar la gráfica de I (s).
ii) Si el coste de adquirir hoy el producto financiero es igual a 3 unidades monetarias (u.m). Representar la gráfica de la función beneficio, o sea, B (s) = I (s) − 3. Hallar el precio mínimo, s∗, tal que B (s) ≥ 0 , ∀s ≥ s∗. Si el precio de la acción en la fecha futura es igual a 29 , obtener B (29).
Ejercicio 22. La función de beneficio de un producto financiero que depende del precio de una acción, s ≥ 0 , en una fecha futura es la siguiente: B (s) = |s − 30 | − |s − 25 |
Dibujar la gráfica de la función B (s) y estudiar la continuidad. Hallar el intervalo de s donde B (s) ≤ 0.
Ejercicio 23. Sea el mismo producto financiero del Ejercicio 21 pero con la siguiente función de ingresos:
I (s) = m´ax (25 − s, 0) + m´ax (35 − s, 0) − 2 m´ax (30 − s, 0).
i) Representar la gráfica de I (s).
ii) Si el coste de adquirir hoy el producto financiero es igual a 3 u.m. Representar la gráfica de la función beneficio: B (s) = I (s)− 3. ¿Para qué valores de s tenemos que B (s) ≥ 0? ¿Para qué valor de s tenemos el máximo beneficio?
Ejercicio 24. La función de beneficio de un producto financiero que depende del precio de una acción, s ≥ 0 , en una fecha futura es la siguiente: B (s) = −3 + |s − 15 | H (25 − s) + 10H (s − 25) donde H (x) = 1 si x ≥ 0 , H (x) = 0 si x < 0 y H (x) = 1 si x > 0 , H (x) = 0 si x ≤ 0.
i) Dibujar la gráfica de B (s). Hallar el intervalo de s donde B (s) ≤ 0. ¿Es continua la función B (s) en todos los puntos?
ii) La función de beneficio de otro producto financiero es G (s) = −4 + s^2 − 16 H (6 − s) + 20H (s − 6). Dibujar la gráfica de G (s). Hallar el intervalo de s donde G (s) ≤ 0. ¿Es continua la función G (s) en todos los puntos?
Ejercicio 25. Sea la función Pa,b (x) = 1 si x ∈ [a, b) y Pa,b (x) = 0 si x /∈ [a, b).
i) Sea la función de densidad f (x) = 0. 35 P 3 , 5 (x) + 0. 1 P 5 , 8 (x). Dibujar la gráfica de f (x) y calcular el área comprendida entre la gráfica anterior y el eje X.
ii) Sea la función F (x) definida como el área comprendida entre la gráfica de f (x) y el eje X en el intervalo [0, x]. Obtener la expresión de F (x) y dibujar su gráfica.
iii) Sea la función GA (x) = 1 − F (x) la probabilidad de que el tiempo de espera (en minutos) de una persona en la parada A de autobuses sea superior a x minutos. Obtener la expresión de la función GA (x) y dibujar su gráfica.
iv) La función GB (x) = m´ax { 0 , 1 − (x/10)} representa la misma probabilidad que en el caso anterior pero ahora en la parada B. Dibujar la gráfica de GB (x). ¿En qué parada de autobús es menor la probabilidad de esperar más de 7 minutos?
v) Representar conjuntamente las gráficas de GA (x) y GB (x). ¿En qué intervalo de tiempo la probabilidad de esperar más de x minutos en la parada B es menor o igual que en la parada A?
Soluciones
E1: i) y = (x − 1)/ 9. ii) y = x − 1.
E2: i) AC : y = (x−1)/ 4 ; BC : y = (5−x)/ 4. ii) f (x) = (x−1)/ 4 si 1 ≤ x ≤ 3 , f (x) = (5−x)/ 4 si 3 < x ≤ 5 , f (x) = 0, en otro caso; Gráfica.
E3: i) D = (−∞, −3) ∪ (1, ∞). ii) D = (−∞, − 1 −
5 , ∞). iii) D = R \ { 4 }. iv) D = (−∞, −3] ∪ [1, 4) ∪ (4, ∞). v) D = [− 3 , 1] ∪ (4, ∞). vi) D = R \ { 4 }. vii) D = (− 3 , 1) ∪ (1, ∞). viii) D = (1, 2].
E4: α ∈ (−
p 8 / 3 ,
p 8 /3).
E5: i) I y II. ii) I y II. iii) I y III. iv) I y II. v) IV. vi) I. vii) I y IV. viii) I y II.
E6: i) Desplazamiento vertical de +3 unidades: Gráfica. ii) Desplazamiento horizontal de +3 unidades: Gráfica. iii) Desplazamiento horizontal de − 3 unidades, reflejo horizontal sobre el eje X y desplazamiento vertical +3 unidades: Gráfica. iv) Estiramiento vertical × 3 unidades y reflejo horizontal sobre el eje X: Gráfica.
E7: A partir de
x, estiramiento vertical × 2 y desplazamiento vertical +5: Gráfica.
E8: i) En x = 0 vale − 1 : Gráfica. ii) En x = 2 vale 1 : Gráfica. iii) En x = 0 vale − 1 : Gráfica. iv) En x = 0 vale 1 : Gráfica. v) En x = 0 vale 1 / 2 : Gráfica. vi) En x = 2 vale 1 : Gráfica.
E9: i) g−^1 (x) = 3 − ex; h−^1 (x) = (x^2 − 1)/ 2. ii) D = (−
E10: f −^1 (Q) = (Q^2 − 6 Q + 4)/ 2 si 0 ≤ Q ≤ 3 −
5 , f −^1 (Q) = 0 en otro caso.
E11: i) ln(9/5). ii) e
√ (^2). iii) 5 / 6. iv) 0. v) 1 2 √
- vi)^1 /^6. vii)^1. viii)^1 /^6. ix)^2
e si x →
e+, − 2
e si
x →
e−. x) 1. xi) ∞. xii) 0.
E12: α = − 1 , β = 1.
E13: i) u(x) = − 1 si x < 2 , u(2) = 0, u(x) = 1 si x > 2 , Gráfica (falta el punto (2, 0)). ii) w(x) = − 1 si x < ln(2)/ 3 , w(ln(2)/3) = 0, w(x) = 1 si x > ln(2)/ 3. iii) F (x) es continua en x = 3. iv) y = 1 es AH por la derecha; y = 0 es AH por la izquierda; el único punto de corte con los ejes es (0, e−^15 /2); el rango es el intervalo (0, 1). v) x = 3 − ln( 5
p 2(1 − p).
E14: p = 1 es AH por la derecha; el único punto de corte con los ejes es (0, 0); el rango es [0, ∞).
ii) w = ln
q 1+p 1 −p.
E15: Gráfica; es continua en [− 2 , 3 .5] salvo en {− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }, donde es continua por la derecha.
