ejercicios tema 2, Ejercicios de Macroeconomía

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Variables

aleatorias

Ejercicios propuestos

Tema 2

Concepto^ Modelos de distribución^ Momentos de las distribuciones bidimensionales^ V. aleatorias^ Independencia Desigualdad de Chebyshov

Ejercicios propuestos

1 .- Una empresa de transportes está analizando el número de veces que falla la máquina expendedora de billetes. Dicha variable tiene como función de cuantía: P(X = xi) = 0 , 5 · 0 , 3 xi^ xi = 0 , 1 , 2 … a) ¿Cuál es la probabilidad de que un día la máquina no falle?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un día falle menos de 4 veces?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que falle 5 veces?

 ^ ^ ^ 

 ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^               

 ^ ^ ^ 

Concepto^ Modelos de distribución^ Momentos de las distribuciones bidimensionales^ V. aleatorias^ Independencia Desigualdad de Chebyshov

Ejercicios propuestos

b) La función de distribución

c) ¿Qué stock debe disponer al principio de semana para garantizar que se atiende la demanda semanal con una probabilidad del 0 , 95?

d) Calcule la demanda media semanal

    (^)  

2 3 2 3 2 3 2 (^11)

(^32)

x x x x x

F x P X x x x dx x x x x x x

x x

F x x x x

x

      ^   ^  ^      ^  ^    

 ^  



    2 3 2 3 2 (^11) 3 2

3 3 1 7, 6 0 Sólo tiene una raiz real 2,

a^ a

P X a P X a x x dx x^ x a a a a a a a

  ^     ^ ^   ^   ^      



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Ejercicios propuestos

3 .- La demanda diaria de un determinado artículo (x) es una variable aleatoria con función de densidad:

Los beneficios diarios dependen de la demanda según la siguiente función:

Calcular: a) Probabilidad de que en un día cualquiera la demanda sea superior a 10

otros

x x

x f x 0

si x

si x

si x

si x Bo

    ^     ^  (^412)

8

1

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Ejercicios propuestos

d) Función de distribución de la demanda

E ( B ) (^)  Bi · P ( B  Bi ) 5 · 0 , 25  15 · 0 , 125  5 , 875

  (^)    (^)      ^   ^         ^   (^)      



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Ejercicios propuestos

4 .- Un rentista desea invertir 100 millones de euros. Para ello dispone de dos alternativas:

• Colocar el dinero en la Bolsa, lo que le garantiza una ganancia anual fija del 10 %
• Un plan de inversión cuya ganancia anual puede considerarse como una variable aleatoria cuyos valores dependen de las condiciones económicas. Por información de años anteriores un intermediario financiero ha determinado los posibles valores de ganancias y sus probabilidades para la segunda alternativa siendo éstas: Rentabilidad (%) Probabilidad 30 0, 25 0, 20 0, 15 0, 10 0, 5 0,

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Ejercicios propuestos

5 .- En un grupo de estudiantes de Economía se ha realizado un pequeño análisis de la relación existente entre el número de días semanales dedicados al estudio (X) y el número de convocatorias que se necesitaron para aprobar la asignatura (Y). Los resultados aparecen recogidos en la siguiente tabla de contingencia:

A partir de esta información: a) Obtener las distribuciones marginales de X e Y. b) Obtener la distribución de X condicionada a que Y tome el valor 3. c) Obtener la distribución de Y condicionada a que X sea mayor o igual que 2. d) Analizar si X e Y son independientes.

Y X^1 2 1 5 8 10 2 10 6 4 3 20 2 1

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Ejercicios propuestos

a) Obtener las distribuciones marginales de X e Y.

Y X 5 8 10 23 (0,08) (0,12) (0,15) (0,35) 10 6 4 20 (0,15) (0,09) (0,06) (0,30) 20 2 1 23 (0,30) (0,03) (0,02) (0,35) 35 16 15 66 (0,53) (0,24) (0,23) (1,00)

3  =

(^1 2 3)  = 1 2

X = xi Pi· Y = yj P·j 1 0,35 1 0, 2 0,30 2 0, 3 0,35 3 0,  1,00  1,

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Ejercicios propuestos

6.- La función de densidad de una variable aleatoria continua es:

Se pide: a) Calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria.



  ^   0..

( ) ·^203 d c

f x k x x

 

 

( ) 91 91 5 93 · 5 5 , 4

( ) 5 , 4 ( 2 , 25 ) 0 , 3375 0 , 5809

( ) · ( ) 91 91 4 91 · 4 3 0 94 2 , 25

9 ( )^1 9 3 0 9 · 1 1 · (^133)

1ºhallarkparaqueseaunafuncióndedensidad

(^35) 0

3 5 0 2 2 4

2 12 2

4 4 3 0

3 4 0

3

3 3 2

3 0

3 0

2 3

 ^  

     

      

      

     

         

    

 

 



 

 

x f x dx x dx^ x

V X

E X x f x dx x dx x

k x dx k x k k k f x x



  



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Ejercicios propuestos

b) Obtener la probabilidad:

Solución:

P     x  

     

  ^ ^     

  

  

             2 , 83 1 , 67

3 3

2 , 83

1 , 67

2 3 0 , 66 27 2 , 83 1 , 67 22 ,^664 ,^657 9 · 3

1 9 3

1 9

1

2 , 25 0 , 58 2 , 25 0 , 58 1 , 67 2 , 83

x^ x

P   x   P x P x

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Ejercicios

7 .- Se quiere caracterizar la variable aleatoria resultado de lanzar un dado de seis caras bien construido. Para ello se pide: a) Construir la función de cuantía y la función de distribución. F. Cuantía F. Distribución xi P( X = xi ) xi F( x )=P( X ≤ xi) X < 1 1 1/6 1 1/6 1 ≤ X < 2 2 1/6 2 2/6 2 ≤ X < 3 3 1/6 3 3/6 3 ≤ X < 4 4 1/6 4 4/6 4 ≤ X < 5 5 1/6 5 5/6 5 ≤ X < 6 6 1/6 6 1 X ≥ 6

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Ejercicios

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor que 2 y menor o igual que 5?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor que 4?

2

1 6

3 6

1 6

1 6 P ( 2  X  5 ) P ( X  3 ) P ( X  4 ) P ( X  5 )^1    

6 +^

6 =^

6 =^

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Ejercicios

b) Demostrar que E[(X-Y)^2 ]=V[X]+V[Y].

                                    

   

E X E X EY EY V^ ^ X ^ V   Y

E X EY E X EY E X EY E X

E X EY

E X Y E X Y XY E X EY E X EY

V X V Y

     

      



       

        

2 2 2 2

2 2 2 2 2

(^22222)

2 · 2

como

2 2 ·

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Ejercicios

9.- Demuestre a qué es igual la varianza de una diferencia de variables aleatorias (X e Y).

V  X  Y   V  X   V   Y  2 cov X , Y 