tema 5 macro, Apuntes de Macroeconomía

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Tema 5

Estimación

puntual

probabilidad inferencia

Temario

ESTADÍSTICA TEÓRICA

Variables aleatorias

Introducción a la probabilidad

Introducción a la inferencia estadística

Modelos de probabilidad: variables discretas y variables continuas

Estimación por intervalos

Métodos de estimación. Propiedades de los estimadores puntuales

Contrastes no paramétricos

Contrastes paramétricos

Contenidos del programa

Pag  4

Programa detallado

Métodos de estimación. Propiedades de los estimadores puntuales

Conceptos básicos

Error cuadrático medio

Estimadores insesgados

Estimadores eficientes

5

1

2

1

2

HORRA NAVARRO, Julián., capítulo 8 CASAS SÁNCHEZ, J.M.; SANTOS PEÑA, J., capítulo 6 y 7

3 Método de estimación: estimación máximo verosímil

Tema 5

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Índice

1. Introducción
2. Concepto de estimación
3. Concepto de estimador y estimación puntual
4. Propiedades de los estimadores puntuales 4.1. Estimador insesgado 4.1.1. Insesgadez de los estimadores ݔ̅ , ܵ ௫^ ଶ, ܵ ௖^ ଶ, ݌̂. 4.2. Eficiencia 4.2.1. Eficiencia relativa 4.2.2. Eficiencia absoluta: Cota de Cramer-Rao 4.3. Estimador consistente 4.4. Estimador suficiente
5. Métodos de estimación 5.1. Estimador máximo-verosímil: propiedades 5.2. Métodos de los momentos: propiedades

“La vida serìa intolerable si los fenómenos ocurrieran al azar de una forma completamente impredecible y carecería de interés si, en el otro extremo, todo fuera determinista y completamente predecible...” Radhakrishna Rao

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

En general, el modelo probabilístico con el que se pretende representar el comportamiento de la población se puede expresar como: ݂ ݔ, ߠ para −∞ < ݔ < ∞ y ߠ ∈ Θ, siendo Θ el campo de variación del parámetro ߠ, denominado espacio paramétrico, que puede ser unidimensional o k-dimensional, según que el modelo probabilístico contenga uno o k parámetros.

Para resolver este problema y poder conocer la ݂ ݔ, ߠ , tomaremos una muestra aleatoria ݔଵ, ݔଶ, ⋯ , ݔ௡ de ܺ , a partir de la cual inferiremos determinadas características de la verdadera ݂ ݔ, ߠ o bien del verdadero parámetro.

Precisamente el problema de la estimación se refiere a intentar dar un valor a un/os parámetro/s desconocidos o función de ߠ, a partir de una muestra aleatoria simple.

Introducción

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

2. CONCEPTO DE ESTIMACIÓN

En este semestre veremos dos métodos de estimación de parámetros.

2.1. Estimación puntual:

En este caso estamos interesados en una característica numérica de una distribución de probabilidad con parámetros desconocidos, queremos calcular, a partir de una muestra aleatoria obtenida de la población a estudiar, un único valor que pensamos será una aproximación al verdadero valor poblacional.

Evidentemente no es útil calcular un determinado valor a partir de la muestra sin saber si ese valor es “bueno” o “malo”, o sin poder compararlo con otras aproximaciones. En la primera parte de este tema estudiaremos qué propiedades deben cumplir estas estimaciones para que sean aceptadas como una buena aproximación. En la segunda parte, estudiaremos los métodos para obtener estos estimadores.

2.2. Estimación por intervalos:

Mientras que en la estimación puntual se intenta asignar un número a una característica ߠ desconocida, en la estimación por intervalos se trata de ofrecer un subconjunto de valores para el parámetro ߠ^1. (^1) En lugar de estimar que la media es 5, se confía en que la media poblacional oscile entre 4 y 6.

Concepto de estimación

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

4. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES.

Las propiedades deseables para que un estimador debe sea considerado como “bueno” son:

• Insesgadez
• Consistencia
• Suficiencia
• Eficiencia
• Robustez

4.1. ESTIMADOR INSESGADO.

Cuando se llevan a cabo estimaciones de un parámetro poblacional ߠ se pretende que el resultado se encuentre lo más cerca posible del verdadero valor poblacional.

Para encontrarlo realizaremos el siguiente planteamiento: Sea ݔଵ, ݔଶ, ⋯ ݔ௡ una muestra aleatoria de una variable aleatoria e idénticamente distribuida con una función de probabilidad ܨ ݔ, ߠ , ߠ ∈ Θ. Diremos que un estimador ߠ∗^ ߠ =∗^ ݔଵ, ݔଶ, ⋯ ݔ௡ es un estimador insesgado del parámetro ߠ si la esperanza matemática del estimador coincide con el valor del parámetro poblacional.

ܧ ߠ∗^ ߠ = 1

Concepto de estimador y estimador puntual

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

Lo que significa que para que un estimador sea insesgado, su distribución en el muestreo debería hallarse concentrada alrededor del parámetro ߠ^2.

Esta propiedad es muy importante y es muy útil a la hora de seleccionar entre los posibles estimadores, pues permite restringir la búsqueda entre los que la satisfagan.

Por el contrario, diremos que un estimador es sesgado si no satisface la condición:

ܧ ߠ∗^ = ߠ ± ܾ ߠ 2

Es decir, que la esperanza del ߠ∗^ es igual al verdadero valor poblacional del parámetro ߠ, más una cantidad ܾ ߠ , denominada sesgo del estimador y mide el error sistemático, no aleatorio, positivo o negativo del estimador. Cuando el sesgo es positivo indica que si se utiliza dicho estimador con ese sesgo éste tenderá a sobreestimar el verdadero valor del parámetro, mientras que si es negativo, tenderá a infravalorarlo. Evidentemente, si el sesgo fuera nulo el estimador es insesgado.

(^2) Si tomásemos todas las muestras posibles y calculásemos cada estimación puntual (valor numérico) a partir del estimador (función) analizada para cada una de las muestras, si el estimador es insesgado, el valor esperado coincidiría con el verdadero valor del parámetro poblacional.

Concepto de estimador y estimador puntual

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

4.1.1. INSESGADEZ DE LOS ESTIMADORES ࢞ഥ, ࡿ૛, ࡿࢉ^ ૛^ y ࢖ෝ.

Los estimadores ݔܵഥ, ଶ, ܵ ௖^ ଶ^ y ݌̂ son estimadores insesgados de sus correspondientes parámetros poblacionales, esto es la media poblacional, la varianza poblacional y la proporción poblacional.

Demostración

• Media muestral ࢞ഥ

Si queremos estimar la media poblacional y proponemos como estimador la media muestral, ¿es este estimador insesgado?

Sea una muestra aleatoria simple de tamaño ݊ ݔଵ, ݔଶ, ⋯ , ݔ௡

Concepto de estimador y estimador puntual

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

Al ser una muestra aleatoria simple los valores muestrales ݔ௜ , ݅ = 1,2, ⋯ , ݊ son independientes e igualmente distribuidos como la población

Corolario: Sea cuál sea la población, si queremos estimar la media poblacional, la media muestral es siempre un estimador insesgado de la media poblacional.

Consecuencias: Si propusiéramos el estimador media muestral para estimar otro parámetro poblacional (por ejemplo, la varianza) este no tiene por qué cumplirse –aunque no será lo común-.

• Varianza muestral ࡿ૛

Recordemos que ܧ ܵ ଶ^ = ௡ିଵ ௡ ߪଶ, por lo que la varianza muestral no es un estimador insesgado de la varianza poblacional, en el que el sesgo es ܾ ܵ ଶ^ = − ఙ

మ ௡. Sin embargo es asintóticamente insesgado para muestras grandes^5. 5 En este punto puede existir un problema terminológico, se ha denominado con ߤ a la media poblacional, cualquiera que sea la distribución de probabilidad que siga la variable aleatoria poblacional (ya sea binomial, Poisson, ya sea la distribución normal…) en la demostración anterior, sería más lógico denominar la media poblacional como ܽଵ^ , que sería en primer momento respecto al origen. Esto es, la media poblacional que en cada distribución tomará un valor concreto: ܽଵ^ =^ ݊ ·^ ݌ en el caso de la distribución binomial, ܽଵ^ =^ ߣ en el caso de la distribución de Poisson y ܽଵ^ =^ ߤ en el caso de la distribución normal.

Concepto de estimador y estimador puntual

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

4.2. ESTIMADOR EFICIENTE

En general, para un parámetro ߠ pueden existir distintos estimadores que sean insesgados, pero ¿cuál elegiríamos? ¿cómo discriminaremos entre cada uno de ellos? Puesto que los estimadores son variables aleatorias sería deseable que la distribución de probabilidad de esa variable aleatoria – todos los posibles valores que podría tomar según todas las posibles muestras que podrían obtenerse - esté lo más concentrada posible en torno al verdadero valor del parámetro. Esto indica que es deseable que exista una menor dispersión respecto al parámetro ߠ.

Vemos que ߠଵ^ ∗^ estará, para más muestras, cerca del verdadero valor del parámetro, presenta menor dispersión.

Esta propiedad exige al estimador que se utilice que genere estimaciones parecidas para casi todas las distintas muestras que puedan obtenerse de la población.

Concepto de estimador y estimador puntual

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Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

Hay que recordar que ߠ∗^ es una función de los valores muestrales ݔଵ, ݔଶ, ⋯ , ݔ௡ que tomaría distintos valores para cada posible muestra que pudiera extraerse. Lo que se analiza con esta propiedad es la variabilidad de todas las posibles estimaciones entre sí, y se decide por el estimador que presente la menor variabilidad en su distribución muestral.

Se estudian dos conceptos de eficiencia: eficiencia relativa y eficiencia absoluta.

4.2.1. EFICIENCIA RELATIVA

Si el objetivo es simplemente comparar entre dos o más estimadores respecto a su grado de dispersión, se establece la noción de eficiencia relativa: se elige aquél estimador que presente la menor varianza, puesto que su distribución de probabilidad estará más concentrada alrededor del verdadero valor del parámetro.

Se consideran dos situaciones:

• Si ߠଵ^ ∗^ y ߠଶ^ ∗^ ߠ௡^ ∗^ son insesgados. En esta situación para evaluar su eficiencia relativa se comparan sus varianzas, considerando al más eficiente aquél que tenga la menor varianza. Así si ܸ ߠଵ^ ∗^ ܸ ߠଶ^ ∗^ el estimador ߠଵ^ ∗^ será el más eficiente, si ܸ ߠଵ^ ∗^ ܸ൐ ߠଶ^ ∗^ el más eficiente será ߠଶ^ ∗.

Concepto de estimador y estimador puntual

Métodos de estimación

Propiedades de los estimadores

Concepto de Introducción estimación Estimador

Si se pudieran obtener todas las posibles muestras y para cada una de ellas la correspondiente estimación, una medida global de los errores sería la desviación cuadrática de todos ellos, o su valor esperado. De esta forma, se escoge aquél estimador con menor ECM. Así pues

Si se tienen dos estimadores de un mismo parámetro, ߠଵ^ ∗^ y ߠଶ^ ∗, cuyos ECM son, respectivamente:

ܯܥܧ ߠଵ^ ∗^ ܧ = ߠଵ^ ∗^ ߠ − ଶ^ ܸ= ߠଵ^ ∗^ ܾ+ (^) ଵ^ ଶ^ ߠ ܯܥܧ ߠଶ^ ∗^ ܧ = ߠଶ^ ∗^ ߠ − ଶ^ ܸ= ߠଶ^ ∗^ ܾ+ (^) ଶ^ ଶ^ ߠ

El índice de eficiencia relativa es:

݁ ߠଵ^ ∗, ߠଶ^ ∗^ =

ܯܥܧ ߠଵ^ ∗

ܯܥܧ ߠଶ^ ∗^ ቐ

= 1, indiferente ൐ 1, se elige ߠଶ^ ∗ < 1, se elige ߠଵ^ ∗

Concepto de estimador y estimador puntual

Métodos de estimación

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Concepto de Introducción estimación Estimador

4.2.2. EFICIENCIA ABSOLUTA

En el apartado anterior se ha estudiado que un estimador es eficiente cuando tiene la menor varianza entre los estimadores propuestos. Esto es, debe generar estimaciones parecidas para las diferentes muestras que se generen de una misma población con el mismo tamaño muestral. Así, un estimador que proporcione una pequeña variabilidad entre las diferentes estimaciones tendrá una mayor confianza en su uso.

En principio, y como ya se ha visto en la eficiencia relativa, para seleccionar un estimador eficiente del conjunto de estimadores posibles de un parámetro ߠ desconocido habría que calcular sus varianzas y comprobar cuál es menor. Este procedimiento puede ser impracticable si no es posible definir todos los estimadores posibles, por lo que normalmente se investiga la eficiencia de un estimador comparando su varianza (que querríamos que fuera lo más pequeña posible) con una cantidad, denominada Cota de Frechet-Cramer- Rao, que es la mínima que puede tomar cualquier estimador.

4.2.2.1. COTA DE FRECHET-CRAMER-RAO (CCR)

Sea ݔଵ, ݔଶ, ⋯ , ݔ௡ una muestra aleatoria simple de tamaño ݊ , obtenida de una población cuya función de distribución ܨ ݔ, ߠ y sea ߠ∗^ un estimador insesgado, entonces si se cumplen ciertas condiciones, se cumple que ܸ ߠ∗^ ൒ ଵ ூ

Concepto de estimador y estimador puntual