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Boletín 4. Intervalos de Confianza y Contraste de Hipótesis.
PARTE A: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
NOTA: Resolver los ejercicios indicando todos los pasos del método pivotal (si fuese necesario)
1. Se lleva a cabo una investigación sobre los rendimientos que produce un determinado producto financiero ofertado por los bancos, y para ello se selecciona una muestra aleatoria simple de 9 entidades bancarias, suponiendo que los rendimientos de este producto, en el conjunto monetario se distribuyen normalmente, que la media y la desviación típica poblacionales fueran desconocidas y sabiendo que la media muestral es 21 unidades monetarias (u.m.) y la desviación típica de la muestra 4.5 u.m., obtener un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional. ¿Pertenece el valor 35 al intervalo de confianza de la varianza poblacional con un nivel de confianza del 95%? 2. Una empresa multinacional está realizando un estudio sobre la satisfacción de sus empleados en el trabajo, en los distintos países en los que tiene delegaciones. Si no se dispone de ninguna información de la proporción de empleados satisfechos en España, ¿qué tamaño muestral tendría que seleccionar para que la longitud del intervalo de confianza al 95% para dicha proporción tenga una longitud inferior a 0.04? 3. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media de una distribución normal con varianza 9 usando una muestra de 100 valores con media 5. ¿Qué intervalos obtendríamos si n=10? ¿Y si n=1000? Calcular el tamaño de la muestra que se debería coger si deseamos obtener un intervalo al nivel 0.99 y de longitud 0.2. 4. Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de misiles de corto alcance. El sistema actual tiene una probabilidad 0’8 de tener éxito en el lanzamiento. Se obtiene una muestra de 60 lanzamientos con el nuevo sistema y 54 de ellos tienen éxito. a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para p. b) Con este nivel de confianza, ¿cuál es el error que cometemos al estimar p por su estimador puntual? 5. Dos muestras de dos poblaciones normales han dado los siguientes resultados: 8 8 2 1 1 1 (^11 11 ) 2 1 1
i i i i
i i i i
n x x
n y y
Obtener un intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales al 95%.
6. A mediados de la década de 1930, el cisne trompetero estaba en peligro de extinción en Norteamérica. En esta época, se designaron como refugio el Yellowstone Park y un área adyacente de fuentes termales en Red Rock Lakes, Montana. A finales de los años 60 se efectuó un estudio de los cisnes del área. Se capturaron y marcaron 50 cisnes. Una segunda muestra de 30 cisnes contenía 5 que habían sido marcados. Basándose en esta información: a) Obtener una estimación puntual del número total de cisnes (N) en la región en esas fechas. b) Obtener una estimación por intervalo de confianza al 95% del valor de N. 7. Una compañía contrata 10 tubos con filamentos de tipo A y 10 con filamentos tipo B. Las duraciones de vida observadas han sido:
A: 1.614 1.094 1.293 1.643 1.466 1.270 1.340 1.380 1.028 1. B: 1.383 1.138 1.092 1.143 1.017 1.061 1.627 1.021 1.711 1. Suponiendo que las varianzas son iguales, encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de medias al 90%.
8. En la oficina de control de pesas y medidas se presentó una denuncia de que las botellas de “un litro” de cierta marca de leche no tenían la capacidad real de un litro. Los expendedores se defendieron alegando que era muy difícil que una botella en particular tuviera la capacidad de un litro, pero que la media de la población sí era un litro. Para atender la denuncia, se midieron 25 botellas elegidas al azar y se obtuvo una media muestral de (^) x 995 cm^3.
a) Supuesto que la capacidad de las botellas es normal con desviación típica 10 cm^3 , obtener una
estimación por intervalo de confianza al 99% para la capacidad media. b) ¿Cuál es el número mínimo de botellas que deberían haberse medido para, con un valor de la media muestral (^) x 995 cm^3 y con una confianza del 99%, poder afirmar que el denunciante tenía razón?
9. Se comparan las producciones de dos máquinas A y B que fabrican elementos en serie. En una muestra de 200 elementos de A resultaron 16 defectuosos, mientras que en otra de 100 elementos de B resultaron 12 defectuosos. Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de defectuosos en
ambas máquinas con 0.05.
10. Se desea estimar la diferencia entre los contenidos medios de alquitrán de dos marcas de cigarrillos con un error menor que 0.1 mg con probabilidad aproximadamente igual a 0.95. Si los contenidos de alquitrán de ambas marcas de cigarrillos son variables aleatorias normales independientes con desviación típica igual a 1, ¿cuántos cigarrillos de cada marca habría que utilizar? (Supóngase que ambas muestras son del mismo tamaño). 11. De una determinada partida de cajas de un determinado producto de consumo, sólo se sabe que su peso se distribuye según una ley normal de varianza 9 grs^2. Elegidas al azar 8 de estas cajas se obtuvieron los siguientes pesos en gramos: 125, 124.5, 127, 126.5, 123, 120, 124, 127.
a) Determinar un intervalo de confianza para el peso medio de dicha partida de cajas. Nivel de confianza del 95%. b) ¿Cuál sería el tamaño muestral necesario para que la estimación del peso medio difiera del peso medio real en menos de una unidad, con probabilidad de al menos 0.99?
12. Con el fin de racionalizar su uso se quiere calcular la diferencia de utilización de dos fax de una empresa. Para ello se controló el tiempo de utilización de cada fax durante una serie de días elegidos al azar, obteniéndose los siguientes resultados:
Fax 1 2.4 3.1 2.5 2.7 3.1 2.7 3 2.3 3.2 3 Fax 2 2.8 2 2.4 2 1.9 2.
Suponiendo que el tiempo de utilización de cada fax sigue una distribución normal, determinar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de utilización media de los fax suponiendo: a) que las varianzas poblacionales son σ 12 =0.1 y σ 22 =0.15, b) que las varianzas de utilización de los fax son desconocidas pero iguales.
13. Se quiere estimar mediante un intervalo de confianza el porcentaje de suspensos de una determinada asignatura. Para ello se eligieron al azar 150 estudiantes de la asignatura en cuestión observándose, entre ellos, 60 suspensos. Determinar un intervalo de confianza deseado para un nivel de confianza de 0.95. 14. Dos empresas de estudios pregunta a 100 y 200 individuos de diferentes provincias si van a votar en las próximas elecciones. Se obtuvieron 40 y 100 respuestas afirmativas, respectivamente. Calcular el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones.
21. Una empresa de organización de eventos deportivos quiere hacer un estudio sobre la relación entre los goles marcados por los equipos de fútbol y la afluencia de público a los campos de fútbol. Para ello, selecciona al azar 9 equipos de un campeonato de fútbol y obtiene que los goles marcados cuando juega fuera de su campo son:
41 21 19 16 24 19 16 17 13
Dar el intervalo de confianza para la proporción de equipos que marcan más de 20 goles, con un nivel de confianza del 90%.
22. Una empresa de organización de eventos deportivos quiere hacer un estudio sobre la afluencia de público a los campos de fútbol. Para ello, selecciona al azar 8 partidos disputados en casa por un equipo de fútbol, registrándose los siguientes datos de asistencia (en decenas de miles de asistentes):
5.6 6 6.8 7 7.4 5.5 7.1 6.
Suponiendo que el número de asistentes sigue una distribución normal, dar el intervalo de confianza para la media del número de asistentes con un nivel de confianza del 90%.
23. Una consultora está interesada en conocer el precio real de mercado de un determinado tipo de coche. Para ello selecciona una muestra de clientes que han comprado ese modelo de coche y obtiene los siguientes precios de venta (en miles de euros)
15 14 16.5 17.5 15.5 13.5 17 14.5 16
Suponiendo que los precios de venta siguen una distribución normal, si buscamos el intervalo de confianza al 95% para el precio medio: ¿Cuál sería el estadístico pivotal y su distribución? Plantear el enunciado probabilístico y a partir de él realizar el desarrollo para encontrar el intervalo de confianza. ¿Cuál sería el intervalo de confianza buscado?
24. Una empresa quiere comprobar si los cursos de formación que ofrece a sus empleados son o no efectivos. Para ello selecciona al azar una muestra de 10 empleados y comprueba su productividad antes y después de haber seguido uno de esos cursos. Los datos obtenidos son (unidades/hora): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 15 14 16 18 15 13 17 14 16 14 Después 18 13 16 17 19 16 17 15 18 16
Si buscamos el intervalo de confianza al 95% para la proporción de empleados que han aumentado su producción: ¿Cuál sería el estadístico pivotal y su distribución? Plantear el enunciado probabilístico y a partir de él realizar el desarrollo para encontrar el intervalo de confianza. ¿Cuál sería el intervalo de confianza buscado?
Resultados Boletín 4. Parte A: Estimación por intervalos de confianza
1. a) I.C.=(17.331, 24.669) b) I.C. = (10.396,83.601) **2.
- a)** I.Cn=100=(4.412,5.588) I.Cn=10=(3.14,6.86) I.Cn=1000=(4.814,5.186) **b)
- a)** I.C.=(0.799,1.001) b) Error=0. 5. I.C.=( 0.2815, 5.2955) 6. a) ̂ b) I.C.=( 166.7, 1488.1) 7. I.C.=(-0.0424,0.3158) 8. a) I.C.=(989.85,1000.15) b) 9. I.C.=( -0.114, 0.034) **10.
- a** ) (122.61,126.72) b) n≥ 60 12. a) (0.133, 0.867) b) (0.114, 0.886) 13. (0.3216, 0.4784) 14. ( -0.0184, 0.2184) 15. ( -0.222, 0.122) 16. (6. 3578×10-³, 5.3642×10-²) 17. (13.4706, 15.49) 18. (0.0403, 0.0937) 19. a) (0.2964, 0.9036) b) (-1.3543, 3.7543) 20. a) (-0.4744, 0.4744) b) (-3.21, 4.13) 21. (0.0748, 0.5918) 22. (6.0493, 7.0257) 23. (14.4475,16.5525) 24. (0.2964, 0.9036)
7. En un millar de piezas de la factoría A se ha encontrado un 3% de piezas defectuosas, y en 1.500 piezas de otra factoría B se ha obtenido un 2% de defectuosas. ¿Se puede afirmar, a un nivel de significación 0’ que la producción de la factoría A es de peor calidad que la de B? ¿Puede hacerse la misma consideración
al nivel 0.10? ¿Y al nivel 0.01?
8. Un fabricante afirma que por lo menos el 20% del público prefiere su producto. Se toma una muestra de
100 personas para verificar su afirmación. Con un nivel de significación 0.05¿cuán pequeño debe
ser el porcentaje muestral para poder rechazar la afirmación del fabricante?
9. Se considera una variable aleatoria X con distribución N ( ,5). Se desea contrastar la hipótesis
H 0 : 12 frente a la alternativa^ H 1 : 12 a partir de una muestra de tamaño 25 de la población.
Determinar entre qué valores deberá estar comprendida la media muestral para poder aceptar la
hipótesis nula a un nivel de significación 0.02.
10. Una compañía compró una gran cantidad de cable de acero. El proveedor asegura que el cable tiene una fuerza de tensión media de 80 libras o más. La compañía prueba una muestra de 13 piezas de cable y encuentra que la fuerza de tensión media es 78.64 libras y la desviación típica 4 libras. ¿Debe la compañía impugnar la aseveración sobre la fuerza de tensión media con arreglo a esta evidencia al nivel de significación de 0.05? 11. Se quiere averiguar si la práctica habitual del ajedrez mejora el rendimiento escolar en la asignatura de Matemáticas. Para ello se eligieron 10 escolares de Primaria en el Colegio 1 en que se impartía ajedrez de forma obligatoria. Se obtuvieron las calificaciones siguientes: 5.6 4.3 3.6 10 7 6.5 8 7 8 7 En otro colegio (Colegio 2) no se impartía este deporte y se obtuvieron de forma independiente las siguientes calificaciones: 7 7 6.5 6 5.4 5 5 3 4.5 3 Suponiendo que las calificaciones en ambos grupos siguen distribuciones normales independientes contrastar a nivel de significación en ambos casos, si:
a) ¿Puede concluirse que existen diferencias significativas entre las varianzas de ambas poblaciones?
b) ¿Puede concluirse que la práctica del ajedrez mejora significativamente las calificaciones de
Matemáticas?
12. La duración de anuncios televisivos sigue una distribución normal. Se obtuvo una muestra aleatoria de 24 anuncios, cuya duración media fue de 14.481 y su desviación típica 2.343 segundos. Contrastar, con un nivel de significación del 2.5%, la hipótesis nula de que la duración es de 15 segundos. Dar el p-valor del contraste y resolver el contraste usando el p-valor. 13. Un fabricante de hardware está estudiando la calidad de un nuevo chip más barato para el montaje en uno de sus productos. En una muestra de 200 de los nuevos chips 6 resultaron defectuosos mientras que en una muestra de 300 chips antiguos únicamente 3 resultaron defectuosos. Considerando un nivel de significación del 5%, ¿hay en los datos evidencias suficientes para sostener que la proporción de defectuosos es mayor con el nuevo chip? Obtener el nivel crítico (p-valor) del contraste. 14. Para estudiar si los beneficios de las grandes empresas del sector alimentario han descendido desde el año 2009 al 2010 se toma una muestra de 10 empresas obteniéndose los siguientes resultados de beneficios (en millones de euros) para dichos años: A B C D E F G H I J Ventas 2009 6 4 6 10 6 4 5 4 7 5 Ventas 2010 5 5 6 4 2 3 7 1 8 4
Si se supone que los beneficios en 2010 y en 2009 siguen una distribución normal, ¿hay evidencias suficientes para afirmar que los beneficios han disminuido? Nivel de significación: 10%. Calcular el p-valor e interpretar el contraste de hipótesis utilizándolo.
15. Se han extraído dos muestras de tamaño 8 de los exámenes de Estadística en los turnos de Mañana y Tarde, obteniéndose los resultados siguientes:
MAÑANA: 9.5 5 4.3 2.5 8 6 8 3.
TARDE: 3.5 6.25 6.3 7 5 4 1.5 9.
Suponiendo que las varianzas son iguales, contrastar con un nivel de significación del 5% si las notas medias son iguales en los dos grupos.
16. Una empresa de organización de eventos deportivos quiere hacer un estudio sobre la relación entre los goles marcados por los equipos de fútbol y la afluencia de público a los campos de fútbol. Para ello, selecciona al azar 9 equipos de un campeonato de fútbol y obtiene que los goles marcados cuando juega en su campo son 32 29 26 33 28 73 24 40 36 ¿Se puede afirmar que más del 30% de los equipos de esta liga marcan más de 30 goles en su campo? Calcular el p-valor del contraste. Nivel de significación: 5%. 17. La misma empresa de organización de eventos deportivos quiere hacer ahora un estudio sobre los ingresos anuales de taquilla de los equipos de fútbol. Para ello, selecciona al azar 8 equipos de un campeonato de fútbol y obtiene que sus beneficios anuales (en millones de Euros) de taquilla son: 70 70.5 71 60.2 68.5 69 67.5 72 Suponiendo que los ingresos anuales siguen una distribución normal con desviación típica de 6, ¿se puede afirmar que los beneficios anuales son inferiores a 72 millones de €? Calcular el p-valor del contraste. Nivel de significación: 10% 18. Una consultora está interesada en conocer el precio real de mercado de un determinado tipo de coche. Para ello selecciona una muestra de clientes que han comprado ese modelo de coche y obtiene los siguientes precios de venta (en miles de euros)
15 14 16.5 17.5 15.5 13.5 17 14.5 16
La consultora sospecha que el precio medio de venta es superior a 15000€. Asumiendo que el precio de venta se distribuye normalmente: ¿Qué contraste de hipótesis habría que realizar para poder afirmar esta sospecha ( y )? ¿Cuál sería el estadístico de contraste y su distribución? Utilizando el p-valor, ¿se puede afirmar la sospecha de la consultora? Nivel de significación: 10%
19. Una empresa quiere comprobar si los cursos de formación que ofrece a sus empleados son o no efectivos. Para ello selecciona al azar una muestra de 10 empleados y comprueba su productividad antes y después de haber seguido uno de esos cursos. Los datos obtenidos son (unidades/hora): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 15 14 16 18 15 13 17 14 16 14 Después 18 13 16 17 19 16 17 15 18 16
La empresa sospecha que más del 35% de los empleados incrementan su productividad: ¿Qué contraste de hipótesis habría que realizar para poder afirmar esta sospecha ( y )? ¿Cuál sería el estadístico de contraste y su distribución? Utilizando el p-valor, ¿se puede afirmar la sospecha de la empresa? Nivel de significación: 10%
