Cap´ıtulo 6
Funci´ons convexas
Definici´on 1. Un conxunto A⊂Rn´e convexo se e s´o se dados dous puntos calquera en Ao segmento que os une est´a
en A.´
E dicir,
A´e convexo se ⇔ ∀x, y ∈A, L[x, y ] = {x+t(y−x), t ∈[0,1]} ⊂ A.
Exemplos 2. Son convexos:
1. Un intervalo de n´umeros reais.
2. Un c´ırculo, con ou sen a circunferencia que o limita.
3. O volume limitado por unha esfera, cono, cilindro ou elipsoide.
4. {(x, y)∈R2/x > 0, y > 0,xy ≥1}.
Non son convexos:
1. Unha coroa circular, ou o exterior dun c´ırculo.
2. {(x, y)∈R2/y ≤x2}non ´e convexo.
Definici´on 3. Sexa A⊂Rnconvexo e f:A⊂Rn→R.
1. f´e convexa en A⇔f(x+t(y−x)) ≤f(x) + t(f(y)−f(x)),∀x, y ∈A, ∀t∈[0,1].
2. f´e estritamente convexa en A⇔f(x+t(y−x)) < f(x) + t(f(y)−f(x)),∀x, y ∈A, x 6=y , ∀t∈(0,1).
3. f´e c´oncava en A⇔ −f´e convexa en A⇔f(x+t(y−x)) ≥f(x) + t(f(y)−f(x)),∀x, y ∈A, ∀t∈[0,1].
4. f´e estritamente c´oncava en A⇔f(x+t(y−x)) > f(x) + t(f(y)−f(x)),∀x, y ∈A, x 6=y, ∀t∈(0,1).
Teorema 4. Sexa f:A⊂Rn→R, con Aconvexo e fconvexa (c´oncava) en A. Ent´on f´e continua en todos os
puntos do interior de A.
Teorema 5. Sexa Aaberto e convexo e f:A⊂Rn→Rdiferenciable en A. Verif´ıcase:
1. f´e convexa en A⇔ ∀a, b ∈A, f (b)≥f(a) + df(a)(b−a).
2. f´e estritamente convexa en A⇔ ∀a,b ∈A, a 6=b, f(b)> f (a) + df(a)(b−a).
3. f´e c´oncava en A⇔ ∀a, b ∈A,f (b)≤f(a) + df (a)(b−a).
4. f´e estritamente c´oncava en A⇔ ∀a, b ∈A, a 6=b, f (b)< f(a) + df (a)(b−a).
Corolario 6. Sexa Aaberto e convexo e f:A⊂Rn→Rdiferenciable en A. Verif´ıcase:
1. Se f´e convexa e a∈Averifica que ∇f(a) = θ, ent´on ften en aun m´ınimo absoluto.
2. Se f´e c´oncava e a∈Averifica que ∇f(a) = θ, ent´on ften en aun m´aximo absoluto.
3. Se f´e estritamente convexa e a∈Averifica que ∇f(a) = θ, ent´on ften en aun m´ınimo absoluto e estrito.
4. Se f´e estritamente c´oncava e a∈Averifica que ∇f(a) = θ, ent´on ften en aun m´aximo absoluto e estrito.
1
