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- Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones explícitas (paramétricas) de los
siguientes subespacios. ¿En qué espacio vectorial están contenidos?
ࡱ ሻࢇሺ ൌ ൛ሺ࢟,࢞ , ࢠ ሻ א Թ࢞^ ⁄ ࢟ ࢠൌ , െ ࢞ ࢟െ ࢠൌ ൟ Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. implícitas.
ܧଵ es subespacio vectorial de Թଷ.
Buscamos las ecuaciones paramétricas
De ܧଵ nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
ݔ 2 ݕ ݖൌ 0 െ ݔ ݕെ ݖൌ 0ൠ ՜ ܣൌ ቀ^
Mirando el menor principal concluimos que las dos ecuaciones son l.i. y la variable libre es z
ݔ 2 ݕൌ െݖ െ ݔ ݕൌ ݖ ՜ ߙ ൌ ݖ ݏ ݄݉݁ܿܽ՜ ൠ^
െ ݔ ݕൌ ߙ ൠ ՜^
݅ܿݑ݈ݏ ܽܮ ó ݈݁݀ ݊ ቊ :ݏ ݁ ܽ݉݁ݐݏ݅ݏ
ܿ݁Թ ג ߙ ݊ ݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑ é ݏܽܿ݅ݎݐ
Buscamos una base y la dimensión
Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
݉݅݀ᇣԹᇧ ᇤᇧᇥଷ ଷ
݊ ݅ܿܽݏܾ݁ݑݏ ݉݅݀ൌ (^) ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅ ݏ݁݊݅ܿܽݑ í ݅ܿ. ݅. ݈ ݏܽݐ ଶ
ࡱ ሻ࢈ሺ (^) ൌ ۃሺ, , ሻ, ሺെ, , ሻۄ (^) Dato: Tenemos un sistema generador.
ܧଶ es subespacio vectorial de Թଷ.
Buscamos una base y la dimensión
Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
൱ ՜ ቚ^11 െ1 0 ቚ ൌ 1് 0 ՜ ݃ݎ ՜. ݅. ݈ ݊ݏ ݏ݁ݎݐܿ݁ݒ ݏ ݀ ݏ ݈՜ 2 ൌ ሻܣሺ
ܤாమ ൌ ሼሺ1,1,1ሻ, ሺെ1,0,1ሻሽ^ ݉݅݀ݕ ܧ ଶ ൌ 2
Buscamos las ecuaciones paramétricas
Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
ሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൌ ߙሺ1,1,1ሻ ߚሺെ1,0,1ሻ
݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑܿܧ é ൝ :ݏܽܿ݅ݎݐ
Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
Como ݉݅݀ ܧ (^) ଶ ൭ ݃ݎ ݁ݑݍ ݏ݉݅݃݅ݔ ݁, 2 ൌ
Sabíamos que iba a salir 1 ec. implícita ya que ݉݅݀ᇣԹᇧ ᇤᇧᇥଷ ଷ
ଶ
݊ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅. í ݅ܿ ݊՜. ݅. ݈ ݏܽݐ
º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅. í ݅ܿ 1 ൌ. ݅. ݈ ݏܽݐ
ࡱ ሻࢉሺ ൌ ൛ሺ࢟,࢞ , ࢠ ሻ א Թ࢞^ ⁄ ൌ , ࢟ ࢞െ ࢟ൌ ൟ Dato: Tenemos “las candidatas” a ecuaciones implícitas.
ܧଷ es subespacio vectorial de Թଷ.
Buscamos las ecuaciones paramétricas
De ܧଷ nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
ܣൌ ൬ 1 െ1^0 2 െ2 0
൰ ՜ ቚ^1 െ
ቚ ൌ 0, ቚ^1
Mirando el menor principal concluimos que sólo hay una ecuación l.i. y las variables libres son “y” y “z”
݅ܿܽݑ ܿ݁ ܽܮ ó ݉݅ ݊ ݎ݁ݏ ܽݐ݈݅ܿ݅ á ݔെ ݕൌ 0
Resolvemos el sistema: ݏ ݄݉݁ܿܽ՜ ݕ ൌ ݔ ՜ 0 ൌ ݕ െ ݔ ቄ
݅ܿݑ݈ݏ ܽܮ ó ݈݁݀ ݊൝ :ݏ ݁ ܽ݉݁ݐݏ݅ݏ
ܿ݁Թ ג ߙ ݊ ݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑ é ݏܽܿ݅ݎݐ
Buscamos una base y la dimensión
൱ ՜ ܤாయ ൌ ሼሺ1,1,0ሻ, ሺ0,0,1ሻሽ݉݅݀^ ܧ ଷ ൌ 2
Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
݉݅݀ᇣԹᇧ ᇤᇧᇥଷ ଷ
݊ ݅ܿܽݏܾ݁ݑݏ ݉݅݀ൌ (^) ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅ ݏ݁݊݅ܿܽݑ í ݅ܿ. ݅. ݈ ݏܽݐ ଵ
ࡱ ሻࢊሺ (^) ൌ ۃሺ, , ሻ, ሺ, , ሻۄ Dato: Tenemos un sistema generador.
ܧସ es subespacio vectorial de Թଷ.
Buscamos una base y la dimensión
Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
൱ ՜ ቚ^1
ቚ ൌ 0, ቚ^1
ቚ ൌ 0 ՜ ݃ݎ ሺܣሻ ൌ 1 ՜ ݏ ó ݈ ՜. ݅. ݈ݎݐܿ݁ݒ ݊ݑ ݕ ݄ܽ
Buscamos las ecuaciones paramétricas
Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
ሺݕ ,ݔ, ݖሻ ൌ ߙሺ1,0,1ሻ
݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑܿܧ é ቊ :ݏܽܿ݅ݎݐ
Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
Como ݉݅݀ ܧ (^) ସ ൭ ݃ݎ ݁ݑݍ ݏ݉݅݃݅ݔ ݁, 1 ൌ
ቚ^1 ݔ
݈ ݉݅. í ݅ܿ ݏܽݐ
Sabíamos que iban a salir 2 ec. implícitas ya que
݉݅݀ᇣԹᇧ ᇤᇧᇥଷ ଷ
ଵ
݊ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅ ݏ݁݊݅ܿܽݑ í ݅ܿ ݊՜. ݅. ݈ ݏܽݐ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅. í ݅ܿ 2 ൌ ݅. ݈ ݏܽݐ
ࡱ ሻࢍሺૠ ൌ ሼሺ࢞ (^) ࢞, (^) ࢞, (^) ࢞, (^) ሻ א Թ࢞^ ⁄ (^) ࢞െ (^) ࢞ (^) ൌ ,࢞ (^) ࢞ (^) ൌ ሽ Dato: Tenemos “las candidatas” a
ecuaciones implícitas.
ܧ es subespacio vectorial de Թସ.
Buscamos las ecuaciones paramétricas
De ܧ nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
ܣൌ ቀ 1 െ1^0 1 0 2 0
ቁ ՜ ቚ^1 െ
Mirando el menor principal concluimos que las dos ecuaciones son l.i. y las variables libres son ݔଷ ݔ ݕସ
Resolvemos el sistema: ൜
ݔଵ ൌ െ2ݔ݄݉݁ܿܽଷ ݔ ݏ^ ଷ^ ݔ ݕ ߙ ൌସ^ ߚ ൌ
ݔଵ ൌ െ2ߙ ൠ^ ՜
݅ܿݑ݈ݏ ܽܮ ó ݈݁݀ ݊ :ݏ ݁ ܽ݉݁ݐݏ݅ݏ ൞
ܿ݁Թ ג ߚ ,ߙ ݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑ é ݏܽܿ݅ݎݐ
Buscamos una base y la dimensión
Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
݉݅݀ᇣԹᇧ ᇤᇧᇥସ ସ
݉݅݀ൌ ݊ .ݏܾ݁ݑݏ (^) ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅ ݏ݁݊݅ܿܽݑ í ݅ܿ. ݅. ݈ ݏܽݐ ଶ
ࡱ ሻࢎሺૡ ൌ ۃሺ, , , ሻ, ሺ, , , ሻ, ሺ, , , ሻ, ሺ, , , ሻۄ Dato: Tenemos un sistema generador.
଼ܧ es subespacio vectorial de Թସ.
Buscamos una base y la dimensión
Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
ܤாఴ ൌ ሼሺ1,0,2,0ሻ, ሺ0,1,1,0ሻ, ሺ2,1,0,0ሻሽ^ ݉݅݀ݕ ܧ 8 ൌ 3
Buscamos las ecuaciones paramétricas
Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
ሺݖ ,ݕ ,ݔ, ݐሻ ൌ ߙሺ1,0,2,0ሻ ߚሺ0,1,1,0ሻ ߛሺ2,1,0,0ሻ
݉ܽݎܽ ݏ݁݊݅ܿܽݑܿܧ é :ݏܽܿ݅ݎݐ ൞
Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
Como ݉݅݀ ଼ܧ ൮ ݃ݎ ݁ݑݍ ݏ݉݅݃݅ݔ ݁, 3 ൌ
ተ ൌ 0 ฺ ܿ݁0 ൌ ݐ ݈ ݉݅. í ݅ܿ ܽݐ
Sabíamos que iba a salir 1 ec. implícita ya que ݉݅݀ᇣԹᇧ ᇤᇧᇥସ ସ
ଷ
݊ º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅ ݏ݁݊݅ܿܽݑ í ݅ܿ ݊՜. ݅. ݈ ݏܽݐ
º ܿ݁ ݁݀ ݈ ݉݅. í ݅ܿ 1 ൌ ݅. ݈ ݏܽݐ
