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Ejemplo 1.- Ejercicio Elección Óptima (problema primal-dual) [Cobb-Douglas]
Enunciado : Supón que las preferencias de un consumidor pueden representarse mediante la siguiente función de
utilidad:
1
2
1
2
2
Se pide:
a) Obtén la función de demanda ordinaria del bien 1, 𝑥
1
∗
1
1
2
, 𝑚) y del bien 2, 𝑥
2
∗
1
2
b) Construye la función de utilidad indirecta: 𝑈
∗
1
2
c) Obtén la función de demanda compensada del bien 1, 𝑥
1
ℎ∗
1
ℎ
1
2
), y del bien 2, 𝑥
2
ℎ∗
2
ℎ
1
2
d) Construye la función de gasto: 𝐸
∗
1
2
e) A partir de la función de gasto 𝐸
∗
1
2
) obtén la función de utilidad indirecta (FUI) 𝑈
∗
1
2
Para hacerlo, recuerda cuáles son las relaciones de equivalencia que existen entre el problema primal y
dual del consumidor.
Solución :
a)
max
𝑥 1
,𝑥 2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
Condición de tangencia: 𝑅𝑀𝑆 =
𝑝 1
𝑝 2
𝑥 2
2 𝑥 1
𝑝 1
𝑝 2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
𝟏
∗
𝟏
𝟐
∗
𝟐
b)
∗
1
2
1
∗
2
∗
2
1
2
2
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
c)
min
𝑥
1
,𝑥
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
Condición de tangencia: 𝑅𝑀𝑆 =
𝑝 1
𝑝 2
𝑥 2
2 𝑥 1
𝑝 1
𝑝 2
2
1
2
1
→ 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
1
1
2
1
2
1
3
1
2
2
𝟏
𝒉∗
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏/𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
2
ℎ∗
1
2
1
ℎ∗
1
2
1 / 3
2
2 / 3
1
2 / 3
2 / 3
𝟏
𝟏/𝟑
𝟏/𝟑
𝟏/𝟑
𝟐
𝟏/𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
d)
∗
1
2
1
1
ℎ∗
2
2
ℎ∗
1
[
1 / 3
2
2 / 3
1
2 / 3
2 / 3
] + 𝑝
2
[
1
1 / 3
1 / 3
1 / 3
2
1 / 3
] =
1
1 / 3
1 / 3
2
2 / 3
2 / 3
2
2 / 3
1 / 3
1 / 3
1
1 / 3
= [
2 / 3
1 / 3
] (𝑝
1
1 / 3
1 / 3
2
2 / 3
) = [
2 / 3
1 / 3
2 / 3
2 / 3
] (𝑝
1
1 / 3
1 / 3
2
2 / 3
𝟐/𝟑
𝟏
𝟏/𝟑
𝟏/𝟑
𝟐
𝟐/𝟑
e)
2 / 3
1
1 / 3
∗
1 / 3
2
2 / 3
∗
2 / 3
1
1 / 3
2
2 / 3
3
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
Ejemplo 2.- Ejercicio Elección Óptima – Problema Dual (Leontief)
Enunciado : Juan siempre consume una unidad de mirra por cada dos unidades de incienso. El precio de una unidad
de mirra es de 8€ mientras que cada unidad de incienso vale 5€. En la actualidad Juan está consumiendo 10
unidades de mirra y 18 de incienso.
a) Dibuja en el gráfico adjunto la curva de indiferencia de Juan asociada a su consumo actual. ¿Está
minimizando Juan el gasto? ¿Por qué?
b) Si el gobierno pone un IVA del 50% sobre la mirra mientras que subvenciona con 2€ para unidad
comprada de incienso, ¿Qué gasto mínimo ha de hacer Juan para seguir estando igual de bien que
antes? Representa la nueva situación en el gráfico adjunto.
c) Si el gobierno pone un IVA del 100% sobre la mirra mientras que subvenciona con 4€ cada unidad
comprada de incienso, ¿Qué gasto mínimo ha de hacer Juan para seguir estando igual de bien que
antes? Representa la nueva situación en el gráfico adjunto. Compara los resultados con los del anterior
apartado.
Mirra
Incienso
Ejemplo 3.- Ejercicio Elección Óptima- Problema Dual (Sustitutivos Perfectos)
Enunciado: Popeye es un marino a quien le gusta comer latas de espinacas (bien 2) y fumar pipas de tabaco
(bien 1). En concreto, Popeye siempre es indiferente entre consumir dos latas de espinadas o fumar una pipa de
tabaco. El precio de una lata de espinacas es de 1€ mientras que el precio de una pipa de tabaco es de 2€.
a) Dibuja la curva de indiferencia correspondiente al nivel de utilidad 10. 𝑈 = 10
b) ¿Cuáles de las siguientes cestas, le permite a Popeye gastar lo mínimo posible y alcanzar el nivel de
satisfacción 𝑈 = 10 : (4,2), (5,0), (5,5), (10,0), (0,5), (0,10)?
c) Si el gobierno decide subvencionar el precio de las pipas de tabaco en un 50%, ¿alguna de las anteriores
cestas le permite a Popeye gastar lo mínimo posible y alcanzar el nivel de satisfacción 𝑈 = 10? Si es
así, ¿Por qué?
Solución:
Tabaco
Espinacas
Espinacas
Tabaco
a)
1
2
1
1
1
2
Representamos en el gráfico anterior alguna curva de indiferencia y alguna recta presupuestaria, según nivel de
gasto. No están todas.
b)
Podemos ver que, para obtener un nivel de utilidad de 10, el mínimo gasto posible ha de ser de 10€ y se
corresponde con las cestas (4,2), (5,0) y (0,10).
c)
1
′
1
2
Puede alcanzar un nivel de utilidad de 10 con un gasto mínimo de 5€ concretamente cuando la cesta es la (5,0),
dados los nuevos precios.
