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Capítulo Pág.
- Exponentes I ................................................................................................................... 43
- Exponentes II .................................................................................................................. 49
- Productos notables ........................................................................................................... 53
- Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59
- Factorización I ................................................................................................................. 67
- Factorización II ................................................................................................................ 73
- Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79
- Repaso ........................................................................................................................... 85
Álgebra
Í N D I C E
B lackames
CIENCIAS - PAMER
ÁLGEBRA AÑO
Exponentes I
Capítulo I
Los armarios
En las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante el tiempo de clase. En una determinada escuela había 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada año el primer día de clase, los estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que sigue: El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. El tercero cambia la situación de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia la situación de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc. ¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?
La notación exponencial se emplea en varias situaciones. El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizar una situación en la que cierta sustancia esta decreciendo de modo exponencial.
Ejemplo:
Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previa después de cada hora. Si en un momento dado hay 320 gramos de dicha sustancia, ¿qué cantidad quedará después de 8 horas?, ¿cuánto quedará después de “n” horas?
Solución:
Como la cantidad restante, después de cada hora, es 1/ de los gramos que había al final de la hora anterior, podemos encontrarla multiplicando el número precedente de gramos por (1/2).
Gramos restantes
Inicio: 0 horas 320 2
0
Después de 1 hora 160 2
1 ^
Después de 2 horas 80 2
2
Después de 3 horas 40 2
3
Después de 8 horas 4
8
Fíjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma que el número de horas que ha estado desintegrándose la sustancia. Si suponemos que seguirá aplicándose la misma norma sacamos la conclusión de que después de “n” horas quedarán:
n
n
2
gramos de la sustancia original.
Problemas resueltos
- Reducir :
3 5 7 33
2 22 32 24 52 (x) x x x x x
x x x x x S (^) ; x (^0)
Solución:
Aplicando : (am)n^ = amn
tenemos : (^3579)
2 4 6 8 10 ( x) x.x .x .x .x
x .x .x .x .x S ; luego aplicando:
am^. an^ = am+n
tenemos : 5 25
30 13579
246810 (x ) x x
x x
x S (^)
5 S( (^) x)x
- Reducir: 8
S
(a + b)-1^ = a-1^ + b-1 a b
(a b)^1
(Mala aplicación de la definición del exponente negativo) (Definición del exponente negativo)
25 5 (Mal uso de la definición de^ a^ )^25 5
16 3 /^4 (^316 )^4 (Mal uso de la definición de bm/n)^163 /^4 ^4 16 ^3 ó^4
(-2)-1/3^ = 21/3^1 /^33
1 / 3 2
a b
a 1 /^2 b^1 /^2
b
a
a ^1 /^2 b^1 /^2
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = b n
; n lN
exponente natural
"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ; -n
a n
Exponente negativo n > 0 a
a = 1 ; a 0 0
Exponente fraccionario
a =
m n nam
Multiplicación de bases iguales
a. a = a m n m+n
Potencia de un producto Raíz de raíz (ab) = a b n n n
= a
n b n ; b^ ^0
a b
n
= a
mnp a m (^) n p
División de bases iguales a = m a n a^ ; a 0
m-n Raíz de un producto ab= n a n b n
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
n a n b
a b n
Consecuencia
a = a
m (^) n p a q a
r (^) s (np+q)r+s mpr
Potencia de potencia
(a ) = a m n p mnp
Potencia de exponente
además:
a = |a| 2
en general:
a = |a| 2n^ 2n
Nota:
a = a ; a > 0
n n
a = a
m n^ mn
p p
Potencia de un cociente
Bloque I
- Reducir:
4 2 35 26 22
2 4 32 33 42 ( x,y) (x )(y )(x )(y )
(x ) (y )(x )(y ) S ; x, y^ 0
a) x^3 y^5 b) x^5 y^3 c) x^5 y^3
d) x-3y-5^ e) 1
- Simplificar:
21 9
125
K
^
a) 1 b) 5 c) 5
d) - 5
e) - 5
- Reducir:
2 (^4 32 )
P
a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 27
- Si: n = 2^4. 4^8
Hallar el valor de: S = 5 n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16
- Simplificar:
bc ab
c (^1) ab
bc a
1
x. x
x. x R (^)
(^)
; a (^) b ; c (^) 0; a (^) 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
- Simplificar:
3 - n^0
1 3 - n -^2
1 {(2- 2 .8 ) ((-2).(-8)) } “n” es par.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) -
Problemas para la clase 7.^ Simplificar:
n 1 2 n 1
2 n 1 n 1
9 - 3
a) 4 b) 2 c) 1
d) 2
e) 3
- Calcular:
2 n 3 2 n 3 2 2 n 3 3
2 n 3
- 4 5. 5
(^225 ).^225
a) 45 b) 25 c) 15 d) 5 e) 1
- Hallar: a^2 + b^2 ; si: a, b IN en:
3
4 a-b a b
b (^) a 3 a.b
a .b
a) 2 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20
10.Reducir:
3 18 4 2 4 6428 164 [ (x ) ].x ) Si: x > 0
a) 2x b) 2
x c) x
d) x^2 e) x^3
Bloque II
- Reducir:
x 1
x
x 1 1 2 x^21 E xx
(^)
; x (^) 0
a) x^2 b) xx^ c) x^ x d) 1 e) x
- Si: a + b = 7
Reducir:
a^ b a^2 a
a^7 aa S a a
a) 1 b) 2 c) a
d) b e) 2
a) 3 b) 9 c) 81 d) 27 e) 1
- Simplificar:
5
5 5 4
5
a) 1 b) 5 c) 25 d) 125 e) (^5)
- Si: ab^ =
a
b
= 2; calcular:
1 ab.b^ a b^1 a a^1 b
b^1 - a a^1 - b
a b
a b
a) 2 b) 2
c) 4
d) 4
e) 8
- Reducir:
x(x 1 )
(x) x x 4
5 x-x xxx
Si: xx^ = 5
a) 1 b) x c) x + 1 d) x^2 e) x^5
- Si: x x = 4; calcular:
x x 2
1 xx 210
1 x
^
a) 3 b) 4 c) 2 d) 4 2 e) 41/
10.Calcular:
aa- 1
aa^1 a ; si: a-a^ =^3
a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3
d) 5 3 e) 3
- Simplifique:
; x 0 ;y 0 x y
x y y S (^2) 22 3
3 2 3
a) (^) y
x b) x
y c) (^) y 2
x
d) y
x 2 e) x.y
- Reducir: ; x 0 6 x
2 x 3 x P (^4)
32 2
a) 1 b) 4x^8 c) 6x^7 d) 6x^8 e) 6x^4
- Simplifique: (^) ;b 0 ; a 0 ab
a b Q 25
5
3 2
2 3 ^
a) b
a b) a
b c) ab
d) (^2)
2
b
a e)
5
b
a
- Reducir:
(^23)
6
3
b
8 a R
a) - 4a^2 b^4 b) 4a^2 b^4 c) 2a^2 b^3 d) 4b^2 a^4 e) 1
- Simplifica: (^3 3) n 4 4 n
3 n 1 n
x y
x y L (^)
a) x-1^ y-n^ b) (^) xyn
c) (^) xy
d) xyn^ e) (^) yn
x
Autoevaluación
Claves
- d 2. d 3. b
- b 5. a
CIENCIAS - PAMER
ÁLGEBRA AÑO
Exponentes II
Capítulo II
Hermanas con hermanos
Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con el hermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: “¡Mira!, ahí veo entrar al cine a alguien con tu pareja”. ¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?.
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = b n
; n lN
exponente natural
"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ; -n
a n
Exponente negativo n > 0 a a = 1 ; a 0 0
Exponente fraccionario
a =
m n nam
Multiplicación de bases iguales
a. a = a m n m+n
Potencia de un producto Raíz de raíz (ab) = a b n n n
= a
n
b n ; b^ ^0
a b
n = a
mnp a
m (^) n p
División de bases iguales a = m a n a^ ; a 0
m-n
Potencia de un producto ab=
n a
n b
n
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
n a n b
a n b
Consecuencia
a = a
m (^) n p a q a
r (^) s
(np+q)r+s mpr
Potencia de potencia
(a ) = a m n p mnp
Potencia de exponente
además:
a^ = |a|
2
en general:
a = |a| 2n^ 2n
Nota:
an^ = a ; a > 0
n
a = a
m n^ mn
p p
Potencia de un cociente
- Reducir:
3 3 1 3 3 3 9 L 2 2
a) 2
(^1) b) 2 c) 4
d) 8 e) 216
- Simplifique:
a
a (^1) a^21 a^2 a
1 a^22 aa^1
a. a
(a a) J
(^)
a) a + 2 b) a^2 + a c) a - 2 d) a + 1 e) a
- Simplifique:
;para:a b ab x x
x x M (^) a b
a (^) b b (^) a
a) x b) 1 c) x - d) xa^ e) xb
- A partir de:
9
a a b b (^1)
a (^1)
3
1 a b
ab
2
La relación que existe entre “a” y “b” es:
a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6a d) b = 27a e) a = b
- Calcular:
35
3 9 27 81 E
a) 3 b) (^3)
1 c) -
d) 9 e) 27
- Reducir:
3 3 3 27
3
361 (^3 3 3 ) 4
3
1 E
^
a) 1 b) 3 c) 3
1
d) -3 e) 3-
- Simplificar:
S x x x ;x 0
0 x
2 5 x (^) x 5 x x 2 ^
a) x b) x-1^ c) x^2 d) x-2^ e) 2x
10.Efectuar:
A x x ;x 0 x x^1 x^1 xx^1 x ^
a) 1 b) x c) x
1
d) -x e) x^2
Bloque III
- Reducir:
n n (^) n n
n (^) n n n n (^2)
x x x x
x x x x S x
2
a) n^ x b) n 2 x 2 c)^ n^3 x d) (^) n e) n^4 x^2
- Reducir:
;n 0 n (n )
n n (n) R 1 1 nn n n
n n n n nn
a) n b) n^2 c) n- d) n-2^ e) 1
- Simplificar:
21
x
x x
x
x
x x
x 9
a 1
a a
a 2
a
a 1 (^3) a
a 2
1 2
2 2
- 2
1 2
- 2 8
2
P
a) 2 b) ax 2 c) 1 d) 2 2 e) (^2)
- Reducir: 1 2 0 1 1 2 3 2 3 16
1 0 , (^4) ) 16 ) (^1 125 ) (^1 2 A ( 32 ) ( 64 ) (^1
^
a) 1 b) (^3)
1 c) -
d) - (^3)
1 e) 3
- Simplificar:
(m 2 n )^1
2 n m
1 1
m 2 n
x y
x y E
^
a) x b) y c) xy
d) (^) y
x e)
n
y
x
- Transformar:
221 24 (^8 2 )
2 2 (^2) 2 4 (^2) S 4
^
a) 2 b) 2 c) 2
1
d) 2 ^1 e) 4
- Transformar: (^) a 2 a (^1) a a 2 a (^)
(^)
Hallar:
(^2 2) a a
a) 2 b) 4 c) (^2) d) a e) a^2
- Calcular aproximadamente:
(^3 3 ) L 4 2 4 2 4 .....radicales
a) 1 b) 2 c) 4 d) 2 2 e) (^2)
- Efectuar:
4 P a^ b(a b)(b^ a) b^ a(b a)ab
^ ^ ^
(a - b) es impar.
a) 0 b) 1 c) a - b
d) b - a e) (^) a b
1
10.Simplificar: 4 4 4 45 3 4 4 S 64
^
a) 2 2 b) 4 2 c) (^4 )
d) 4 4 e) 8
- Reducir:
80
81 (^3 2 3 23 23 ) S x. x. x. x
a) x b) x^2 c) xx d) xx - 1^ e) x-
- Simplificar: (^40 38 30 5850 98300 ) x. x. x. x
a) x b) x^2 c) xx d) x-1^ e) x^20
- Reducir: 2 2 2 .... radicales
6 6 6 .... radicales S
a) 2 b) 3 c) 6 d) - 6 e) - 2
- Reducir: (^) x 1 x 2 x 3 x 4 x
x 1 x 2 x 3 x 4 x
3 3 3 3 3
K
a) 4 b) 27 c) 9 d) 81 e) 243
- Reducir: (^24232232)
4 2 32 24 3 3
(x ) (y )(x )(y )
(x ) (y )(x )(y) S
a) x^4 b) y^3 c) x^4 y^3 d) x^3 y^4 e) x^2 y^2
Autoevaluación
Claves
- a 2. a 3. b
- d 5. c
Problemas resueltos
- Reducir: L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7
Solución:
Aplicando: (x + a) (x + b) = x^2 + (a + b)x + ab tenemos: L = x^2 + 6x + 8 + x^2 + 8x + 15 - 2x^2 - 14x + 7 (^) L = 30
- Si: 3 x
x
2
(^) ; hallar: 3
3 x
S x
Solución:
Desarrollando: x^2 + 2x
x
x
x
x 2 2 ; luego de “S” :
3 3 ^22
x
x 1 x
x x
S x
Reemplazando: 0 0 S 0 x
S x
- Reducir: S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3) - 2x(x^2 + 11) - 1
Solución:
Operando : S = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 + x^3 - 6x^2 + 11x - 6 - 2x^3 - 22x - 1 De donde : S = - 1
- Reducir:
abc
(a b) (b c) (a c) P
^3 ^3 ^3
Si : a + b + c = 0
Solución:
Tenemos que: a + b = - c b + c = -a a + c = -b Luego reemplazando:
abc
3 abc abc
(-c) (-a) (-b) P
3 3 3 3 3 3
P = -
- Reducir:
S
Solución: Operando:
2 2
2 2 2 2
7 5
S
S
S = 12
Bloque I
- Multiplicar:
S 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 8 4 ^ ^ ^
a) 1 b) 2 c) (^22) d) 2 e) (^84)
- Multiplicar:
P 4 15. 4 15
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16
- Operar:
(^) ^ ^ 3 3 3 3 3 S 7 2 49 14 4
a) 9 b) 5 c) 3 d) 1 e) 16
- Reducir:
2 2 P 7 3 7 3
a) 2 b) 10 c) 20 d) 40 e) 16
- Simplificar:
;x,y 0 x
y y
x x
y y
x S
2 2 ^
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Problemas para la clase
- Si: a + b = 4 ab = 1 Hallar: P = (a^2 + b^2 )^2
a) 190 b) 196 c) 197 d) 198 e) 194
- Si: a + b = 4 ab = 1 Hallar: S = a^3 + b^3
a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) 60
- Calcular el valor de:
S ^32 1 3 ( 22 1 )( 24 1 )( 28 1 )( 216 1 )( 232 1 )( 264 1 )
a) 4 b) 8 c) 16 d) 160 e) 64
- Multiplicar:
P 2 3 5 2 3 5 26
a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 6 e) 10
10.Multiplicar: R = (x^2 + xy + y^2 ) (x^2 - xy + y^2 ) - (x^4 + y^4 )
a) -x^2 y^2 b) x^2 y^2 c) x^4 y^4 d) x^6 y^6 e) x^8 y^8
Bloque II
- Encontrar el equivalente de: R = 2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ac) Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a
a) x + y + z b) xyz c) x^2 y^2 z^2 d) x^2 + y^2 + z^2 e) xy + yz + zx
- Hallar el valor numérico de: E = (a^2 - b^2 ) [(a^2 + b^2 )^2 - a^2 b^2 ]
Para: b 2 1
a 2 1 3
3
a) 9 b) 4 2 c) (^62) d) 6 e) 1
- Siendo: a = x(x^2 + 3) ^ b = 3x^2 + 1
Hallar: ^3
1 a 2 b^2
a) x^2 - 1 b) x^3 + 1 c) x^2 + x - 1 d) x^3 - 1 e) x^2 + 1
- Si: P ^3 4 ^32
Calcular el valor de: M P(P 6 )(P 6 )
a) 6 b) 9 c) 3 d) 2 e) 0
- El valor numérico de:
S ^3 63 10 ^363 10
a) 1 b) 2 c) 2 d) 2 2 e) 4
- Siendo: A = (a + b)^2 - (a - b)^2 B = (a^2 + b^2 )^2 - (a^2 - b^2 )^2 C = (a^3 + b^3 )^2 - (a^3 - b^3 )^2
Obtener: (^) C
AB S
a) 1 b) 2 c) - d) 4 e) 4ab
- Si:
; ab 32 2 b
a 3 b ;y 2 a
3 a b x
2 2 2 2
Determinar el valor de:
3
2 3
2 w xy x y
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
- Evaluar: E^ ^ x^10 x^10 ^3
Siendo: x^ ^ x^1 ^3
a) 1 b) 2 c) (^5)
d) 7 e) 3
- Si:
a b 10 1
ab 100 10 1 2 2 3
3 3
Obtener: N = (a + b)^4 - (a - b)^4
a) 100 b) 88 c) 64 d) 168 e) 60
a) 3
b) 2
c) 6
d) 3
e) 5
- Si : a + b + c = 0
Calcular : ab bc ac
a b c R
2 2 2
a) 1 b) 2 c) - 1 d) - 2 e) 0
- Reducir: K ( 8 3 )^2 ( 8 3 )^2
a) 20 b) 19 c) 22 d) 23 e) 40
- Simplificar: R = (a + b + c + d)^2 - (a + b + c) (a + b + d) - (b + c + d) (a + c + d)
a) ab b) ac + cd c) cd + ab d) -cd - ab e) 0
Claves
- d 2. d 3. d
- c 5. d
CIENCIAS - PAMER
ÁLGEBRA AÑO
Los Obstáculos
Todos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstáculos que nos lo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstáculos nos significan los retos que debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueños. Anotaba Albert Einstein: “Qué sería del mundo sin los soñadores”; con los que soñaron en su tiempo que el hombre podía volar, encender un foco, comunicarse a través de un cable, crear la radio, el telégrafo, etc. No solamente eran soñadores, sino que además eran pacientes, no en el sentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistían incansablemente hasta lograr su objetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobación generalizada, que los tachaba de locos, pues lo que intentaban en opinión de los demás resultaba imposible. Tomás Alva Edison llegó a la bombilla incandescente después de 5 mil intentos. Imaginémoslo a la mitad de sus experimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.
TEORÍA DE ECUACIONES
una
igualdad
es
una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor. A B 1 er^ miembro 2 domiembro
CLASES DE IGUALDAD
Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales
es es
Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas
Ejm: (x+1) = x + 2x + 1
la igualdad se verifica para cualquier valor real de "x".
2 2
Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas
Ejm: 2x+1 = x + 7 se verifica solo si: x = 6 2(6) + 1 = 6 + 7
Ecuaciones de primer grado
Capítulo IV
si
si
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
forma general
Análisis de sus raíces
si
Teoremas
de
a 0 b lR x = - solución única (Compatible determinada)
b a Transposición
- a+b = c a = c-b
- ab = c a = c ; si: b 0 b
- a = c a = bc ; b
si: b 0
ax + b = 0
si
a = 0 b = 0 0 x = 0 "x" admite cualquier solución (Compatible indeterminada)
a = 0 b 0 0x = -b no existe ningún valor "x" que multiplicado por cero de como resultado "-b" (Incompatible ó absurda)
Cancelación
si
- a+c = b+c a = b; si: c lR
- ac = bc a = b; si: c 0
- a = b c c
a = b; si: c 0
Problemas resueltos
- Resolver: 40 15
9 x 5
3 x 3
2 x
Solución:
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los denominadores : 15
15 40 15
9 x 15 5
3 x 15 3
2 x (^15)
5(2x) + 3(3x) = 9x + 600 10x + 9x = 9x + 600 eliminando 9x: 10x = 600 x = 60
- Resolver : x 3
x 3
Solución:
Tener presente que el denominador es diferente de cero. Es decir : x - 3 0 x 3 ...... (1)
Reduciendo la ecuación: x 3
x 3
1 x 3
Cancelando (x - 3): 1 + x - 3 = 1 x = 3 .......... (2)
De (1) y (2) se observa una contradicción. Concluimos: la ecuación no tiene solución o es incompatible.
- Resolver: x 4
x x 2
x 4
5 x x 2
^2 ^2
Solución:
Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:
x 4
x (x 2 )(x 2 )
3 (x 2 ) x 4
5 x (x 2 )(x 2 )
3 (x 2 ) (^2) (^2)
x 4
x x 4
3 (x 2 ) x 4
5 x x 4
3 (x 2 ) (^2 22) (^2)
x 4
3 (x 2 ) x x 4
3 (x 2 ) 5 x (^2 2)
Para: x = 2 x = -2, los denominadores se anulan por tanto: x ± 2 ........ (1) 3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x 6x = - 12
De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observa una contradicción
Se concluye : la ecuación no tiene ninguna solución o es incompatible.
- Resolver : x 4 x 1 1
Solución:
Transponiendo: x 1
x 4 1 x 1 Elevando al cuadrado miembro a miembro: 2 2 2 x 4 1 2 x 1 x 1 (^) x 4 1 2 x 1 x 1 Reduciendo se tiene: 4 2 x 1 ^ x 1 2 Al cuadrado : x - 1 = 4 x = 5 Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta: x 4 x 1 1 ^5 4 5 1 1 3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad) la solución es: x = 5
- Resolver : x x 5 7
Solución:
x 5 7 x
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
x 52 ( 7 x )^2 ^ x + 5 = 49 - 14x + x^2 x^2 - 15x + 44 = 0 x - 11 x - 4 Verificando en la ecuación original:
x x 5 7
Si: x = 11 11 ^11 ^5 ^7 11 + 4 = 7 (Falso) Si: x = 4 (^) (^4) 4 5 7 4 + 3 = 7 (Verdadero)o) la única solución es: x = 4
- Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)
Solución:
Llevando 5x(x - 4) al primer miembro: (x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0 Extraemos el factor común (x - 4): (x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0 x - 4 = 0 (x - 2) - 5x = 0 Despejando para c/u se tiene:
x = 4 x = - 2
Bloque I
- Resolver: 5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)
a) 17
b) 4
c) 13
d) 2
e) 4
- Resolver : 2
x 6 5
3 x 2
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Resolver: 3
4 x 7
2 3 x 2
x 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 18
- Resolver: x x 6
x 3
x 2
^2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7
- Resolver:
x 2 4 x^2 x 9 x^2 12 x x 1
a) 3
b) 2
c) 6
d) - 6
e) 4
- Resolver: (x - 3)^2 + 5x = (x + 2)^2
a) 1 b) -1 c) 2
d) 3 e) 2
- Resolver:
7 3 x = 3
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
Problemas para la clase
