determinantes defunciones ejercidos, Diapositivas de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas

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DETERMINANTES

INTEGRANTES: SEBASTIAN ESPINOZA JUAN PINDO

CONTENIDO

 (^) Introducción a las determinantes, el determinante de una matriz  (^) Evaluación de un determinante por medio de operaciones elementales  (^) Teoremas y sus aplicaciones, demostraciones  (^) Propiedades de los determinantes  (^) Operaciones de columna  (^) Linealidad  (^) Regla de Cramer  (^) Determinante como área o volumen  (^) Transformaciones lineales  (^) Aplicaciones de los determinantes en la ingeniería  (^) Determinantes, teorema de la matriz invertible, propiedades de los determinantes  (^) Diagonalización

 (^) Si n=3 el det A se definirá utilizando submatrices de 2x2, si n=4 se definirá utilizando submatrices de 3x3.  (^) Entonces un determinante de una matriz se define utilizando submatrices de (n-1)(n-1).  (^) Es decir se utiliza un desarrollo por cofactores a lo largo de cualquier fila o columna. Ejemplo:



EVALUACIÓN DE UN DETERMINANTE POR

MEDIO DE OPERACIONES ELEMENTALES

 (^) Reduciendo por filas a la matriz  (^) El det A será el producto de las entradas sobre la diagonal principal ~ ~ ~ 

El desarrollo por cofactores a lo largo de la j -ésima columna es det A = a1jC1j+a 2 jC 2 j +……+ anjCnj  (^) Ejemplo ∼ + 2 

Teorema 2:

 (^) Si A es una matriz triangular, entonces det A es el producto de las entradas sobre la diagonal principal de A ≈ B 

 (^) b ) Si dos filas de A se intercambian para producir B , entonces det B = - det A.

c ) Si una fila de A se multiplica por k para producir B , entonces det B= k *det A.

OPERACIONES DE COLUMNA

 (^) TEOREMA 5: si A es una matriz de nxn , entonces det AT^ = det A.  (^) De acuerdo con el teorema 5, cada enunciado en el teorema 3 es válido  (^) Una operación de fila sobre AT significa una operación de columna sobre A.

Ejemplo: calcular det AT ∼ + AT^ ∼ det AT det AT = 

Suponga que a la j -ésima columna de A se le permite variar, lo que se escribe como Defina una transformación T de R n a R mediante Así, T ( c x )= cT ( x ) para todos los escalares c , y todas las x en R n

. (2) T ( u v ) T ( u ) + T ( v ) para toda u , v en R n . (3) 

REGLA DE CRAMER

 (^) La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:  (^) 1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.  (^) 2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Sea A una matriz invertible de nxn. Para cualquier b en n , la única solución x de A x, b tiene entradas dadas por: x = , = 1,2,….,n 

DETERMINANTE COMO ÁREA O VOLUMEN TEOREMA 9: Si A es una matriz de 2x2, el área del paralelogramo definido por las columnas de A es det A. Si A es una matriz de 3x3, el volumen del paralelepípedo definido por las columnas de A es det A. Los paralelogramos con igual base y altura tienen la misma área, por tanto si se desplaza el vector v sobre una paralela al vector u, el área del paralelogramo no varia