¡Descarga El moviment harmonic simple y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
TEMA 5. Oscil·lacions i ones
5.1. Moviment harmònic simple
El moviment oscil·latori o vibratori és un moviment al voltant d'una posició d'equilibri que es repetix periòdicament. És molt comú en la naturalesa (un moll, els àtoms dins d’un sòlid no estan fixos sinó vibrant, el pèndol d'un rellotge, les cordes i llengüetes dels instruments musicals vibren per a produir un so, qualsevol objecte que produïx un so, els barcos es balancegen amunt i a baix...) El cas més simple és el moviment harmònic simple, com el d'un objecte de massa m unit a un moll sense fricció.
Cristian Huygens (1629-1695)
Quan l'objecte es desplaça una distància x des de la posició d'equilibri, el moll exercix una força per a recuperar la seua longitud original: F = - k x (llei de Hooke) sent k la constant elàstica (N/m). Si desplacem el bloc fins a x = A i el deixem, es produirà un moviment entre A i – A al voltant de la posició d’equilibri x = 0.
Per a estudiar este moviment F = m a ⇒ - k x = m a ⇒ a =
2 2
d x dt = -^
k m x^ [1] És una equació diferencial. Quina funció matemàtica coneixeu la derivada segona de la qual siga proporcional a ella mateixa? Pot ser la funció sinus o cosinus. Per tant, la solució serà x = A cos (ω t + δ) [2] on A, ω i δ són constants. El desplaçament màxim s'anomena amplitud = A. L'argument (ω t + δ) s'anomena fase i δ fase inicial (depèn de l'elecció de l'instant inicial).
La velocitat serà v = d xd t = - A ω sin (ω t + δ) [3]
L'acceleració serà a =
2 2
d x d t = - A^ ω
(^2) cos (ω t + δ) [4]
Comparant [4] amb [2] ⇒ a = - ω^2 x [5]
Comparant [5] amb [1] ⇒ ω = (^) mk s'anomena freqüència angular. [6]
El període T és el temps necessari per a fer una oscil·lació completa. Les funcions sinus i cosinus són periòdiques en 2π rad, per tant
ω T = 2 π ⇒ ω = (^2) Tπ [7]
aleshores la freqüència angular es mesura en rad/s.
La freqüència és la inversa del període: f = T^1 = 2 ω π [8] És el nombre d'oscil·lacions per segon. Es dóna en s -1^ = Hz. És independent de l'amplitud.
Per a qualsevol força que complisca la llei de Hooke (F proporcional al
Com sin^2 a + cos^2 a = 1 queda Et = 2 1 k A^2 [10]
5.3. El pèndol simple
Un exemple de MHS és el del pèndol simple: un objecte de massa m que penja d'un fil de longitud L. Quan l'objecte es deixa en llibertat des d'un angle inicial Φ, les forces que actuen són el pes P i la tensió de la corda T. La tensió s'anul·la amb la component del pes en la direcció de la corda, i queda la component del pes en la direcció tangencial: m g sin Φ. La longitud de l'arc, s, és s = L Φ On Φ es mesura en radians. Segons la segona llei de Newton, F = m a ⇒ m g sin Φ = m
2 2
d s d t = m L^
2
d d t ⇒ (^2) Φ 2
d d t =
g L sin^ Φ
Per a valors xicotets de Φ ⇒ sin Φ = Φ ⇒ Φ
2 2
d d t =
g L Φ
Esta equació és de la mateixa forma que [1] per a un objecte sobre un moll, per tant el moviment serà també MHS per a xicotetes
oscil·lacions. Igualment podem escriure com en [5] α = - ω^2 Φ on ω^2 = gL
Per tant el període del pèndol serà T = (^2) ω^ π= 2 π gL que permet mesurar g.
I la solució de l'equació és Φ = Φ 0 cos(ω t + δ)
5.4. Polsos d'ones
Hi ha dos formes de transmetre energia: una amb el moviment de les partícules i l'altra per mitjà del moviment ondulatori (les ones). Una partícula material al moure's, transporta energia d'un lloc a un altre. En una ona (per exemple, l'ona produïda en una corda tensa) també hi ha una transferència d'energia d'un lloc a un altre, però no hi ha moviment de cap massa o partícula en la direcció de propagació (en l'altre extrem de la corda es rep l'energia, però les parts de la corda no es mouen en eixa direcció, només amunt i a baix). En general, en una ona es propaga l'energia sense que hi haja un transport de massa. El que es propaga és una pertorbació: la variació d'alguna magnitud física, com la pressió en el so, o l'altura de la corda... Imaginem un pols en una corda (figura) en l'instant t = 0. La forma de la corda es pot representar per una funció y = Ψ(x). Un temps després, el pols s'ha allunyat per la corda amb velocitat v, de manera que en un sistema de coordenades O´ que es mou amb el pols, este està en repòs. Les coordenades dels dos sistemes estan relacionades per x = x´ + v t per tant el desplaçament de la corda en el sistema O es pot escriure y = Ψ (x – v t) per a una ona movent-se cap a la dreta o y = Ψ (x + v t) per a una ona movent-se cap a l'esquerra. La funció Ψ (x + v t) s'anomena funció d'ona, i v és la velocitat de propagació de l'ona. Ψ és una funció de dos variables Ψ (x, t). En el cas de la corda, y representa l'altura, però en altres ones, com el so, representarà la pressió,...
La funció sinusoïdal que descriu el desplaçament (figura) és y (x) = A sin (k x + δ) on A és l'amplitud, k és una constant anomenada nombre d'ones i δ una constant de fase que depén de l'elecció de l'origen, x = 0. Usualment s'elegix δ = 0. Considerem un punt x 1 i un altre x 2 distants entre ells λ, de forma que x 2 = x 1 + λ. El desplaçament en cada punt serà el mateix: y (x 1 ) = y (x 2 ) pel que sin k x 1 = sin k x 2 = sin k (x 1 + λ) = sin (k x 1 + k λ) Per tant k λ = 2 π ⇒ k = (^2) λπ
Per a descriure una ona que es mou cap a la dreta amb velocitat v, substituïm x per x – v t com vam fer amb els polsos d'ona, amb la qual cosa, si considerem δ=
y (x, t) = A sin k (x – v t) = A sin (k x – k v t)
com que k v = k λ T = (^2) λ^ π T λ= (^2) Tπ = 2 π f = ω ⇒
⇒ y (x, t) = A sin (k x – ω t)
on ω = k v és la freqüència angular ω = (^2) Tπ
Substituint ω i k en l'equació d'ones, esta es pot escriure:
y (x, t) = A sin 2 π ^ λ−
x t T
Pot ser igualment, i així podem trobar-la en altres llibres:
Ψ (x, t) = A cos 2 π ^ −λ
t x T
Exemple 2. La velocitat vertical d’un punt d’una corda horitzontal en què es mou una ona harmònica és v (^) y = - 0,105 cos (2,2 x – 3,5 t) (tot en el Sistema Internacional). Calcula la longitud de l’ona, el període, la freqüència i el desplaçament màxim.
y (x, t) = A sin 2 π ^ λ−
x t T ⇒^ vy^ =
dy dt = -^
2 πA T cos 2^ π^
λ
x t T Com que vy = - 0,105 cos (2,2 x – 3,5 t) ⇒ π λ
(^2) = 2,2 ⇒ λ = 2,86 m
2 π T = 3,5^ ⇒^ T = 1,8 s ν = T^1 = 0,557 Hz 2 πA T = 0,105^ ⇒^ A =^ π
2 = 0,03 m
5.7. Superposició i interferència d'ones
Quan dos ones es troben en l'espai, les seues pertorbacions individuals se superposen creant una nova ona. La superposició d'ones harmòniques s'anomena interferència, fenomen típicament ondulatori. Suposem dos polsos que es mouen en direccions oposades sobre una corda. La forma resultant al trobar-se estos polsos es pot calcular sumant els desplaçaments produïts per cada pols individualment. En el cas de dos polsos idèntics però oposats, la superposició dóna lloc a què la seua suma siga zero (figura). En general, quan dos o més ones es combinen, l'ona resultant és la suma algebraica de les ones individuals ( principi de superposició ). En un mateix medi es poden propagar simultàniament diverses ones que superposen els seus efectes en els punts on coincidixen i després continuen la seua marxa sense haver-se pertorbat (ex. quan parlen diversos al mateix temps).
- Quan x 1 – x 2 = (n + 2 1 ) λ ⇒ Φ = 2 π (n + 2 1 ) = 2 π n + π
Interferència destructiva ⇒ ⇒ A = A 1 - A 2 És a dir, les amplituds es resten.
Si a més A 1 = A 2 ⇒ A = 0. En este cas tindríem que la interferència de ones dóna lloc a la absència d’ona.
