¡Descarga moviment oscilatori y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
138 Moviment oscil·latori
MOVIMENT OSCIL·LATORI
Índex
P.1. Moviment vibratori harmònic simple (MHS)
P.2. Dinàmica i energia del moviment harmònic simple
P.1. Moviment vibratori harmònic simple (MHS)
Definicions
T.4.1. Conceptes bàsics. Una partícula descriu un moviment vibratori o oscil·latori quan es desplaça successivament a un costat i l’altre de la seva posició d’equilibri, repetint a intervals regulars les seves variables cinètiques (moviment periòdic). Per observar un cas concret de MHS, podem efectuar el muntatge de la figura. Col·loquem un cos de massa m subjectat a una molla elàstica de longitud l 0 , fixada per un extrem i que pot lliscar sense fricció per una superfície horitzontal.
En aplicar una força exterior a la molla desplacem el cos una longitud ∆x respecte a la seva posició inicial de repòs. Quan la força cessa, el cos descriu un moviment oscil·latori al voltant de la posició inicial d’equilibri. Aquest moviment el fa perquè la molla exerceix una força sobre el cos, una força recuperadora F
r
que el retorna a la posició d’equilibri.
La força recuperadora F
r és la força elàstica que fa la molla sobre l’objecte de massa m. Aquesta força segueix la llei de Hooke: F k x
r (^) r = − ∆ , on x
r ∆ és la deformació experimentada per la molla.
Les equacions característiques del moviment vibratori harmònic simple es poden deduir a partir d’aquestes dades experimentals obtingudes amb una molla de constant recuperadora k :
k∆x
m
∆x
moviment
m
139 Problemes de física per a batxillerat...// © M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-
Temps (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Posició (m) respecte a l’equilibri
Si representem gràficament aquestes dades, en forma x=f(t), on x correspon a la posició de la partícula de massa m respecte a la posició inicial i s’anomena elongació. Observem que correspon a una funció sinusoïdal:
x ( t )= xmàx sinω t = Asinω t
On A correspon a l’elongació màxima i
π ω = s
rad . T
correspon a la pulsació o
freqüència angular del moviment periòdic.
Si la molla no parteix de la seva longitud original, l 0 , l’equació del moviment correspon a:
x( t)= Asin(ωt+ϕ)..(metres ) (1)
on ωt + ϕ =l’angle de fase (rad) i ϕ = fase inicial (rad) i correspon a la posició de la massa m per a t =0 s.
Equació de la velocitat d’oscil·lació de la partícula
A cos( t )(m/s ) dt
dx v = = ω ω +ϕ (2)
El gràfic de la velocitat-temps té un desfasament de 90º respecte al de posició tmps x=x(t). Això representa que quan la partícula es troba en la posició d’equilibri, la velocitat és màxima, i en canvi, per a x= A , la velocitat és nul·la.
Xmax
141 Problemes de física per a batxillerat...// © M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-
Per a t=0,025 s:
x (t)= 0 , 01 sin 10 πt⇒x( 0 , 025 )= 0 , 01 sin 10 π⋅ 0 , 025 = 7 , 1 ⋅ 10 −^3 m
Solució
a) Com que el període és la inversa de la freqüència=
0 , 02 s 50
f
T = = =
l’expressió de la pulsació:
100 rad/ s 0 , 02
T
= π
π
π ⇒ω=
π ω=
b) Per calcular aquest apartat hem de cercar en l’enunciat els paràmetres de l’equació corresponent del moviment oscil·latori. En el nostre cas:
x (t)=Asin(ωt+ϕ )
D’aquesta expressió s’obté: x( t)= 01 'sin( 100 πt+ 0 )= 0 ' 03 sin 100 πt
Tornem-hi...
P.1.1. Una determinada partícula es mou amb MHS segons l’equació següent: x = 0 , 05 sin 20 Π t ( SI ). Calculeu: (a) la fase inicial; (b) l’amplitud; (c) la pulsació; (d) el T i la f ; el valor de l’elongació en t=0 s i en t=0,025 s. Sol.: 0 rad/s; 0,05 m; 20π rad/s; 0,1 s; 10 Hz; x=0 i x=0,05 m.
P.1.2. Una determinada partícula es mou amb MHS segons l’equació següent:
)(SI ) 2
x 0 , 05 sin( 3 t
π = +. Calculeu: (a) el valor de l’elongació en t=π s i (b) la
velocitat del cos quan 2
π t = s. Sol.: x=-0,05 m i 0,15 m/s.
x(0)= 0 m; x(0,025)=0,0071m
E.1.2 Una determinada partícula es mou amb un MHS. La seva fase inicial és nul·la, la f = 50 Hz i l’amplitud A= 10 cm Trobeu: (a) el període i la pulsació i (b) l’equació de l’elongació.
x(t)=0,03sin100pt m
142 Moviment oscil·latori
P.1.3. Una determinada partícula es mou amb un MHS. La seva fase inicial és nul·la, la f =50 Hz i l’amplitud A= 3 cm. Trobeu: (a) el període i la pulsació, i (b) l’equació de l’elongació. Sol.: 0,02 s; 100π rad/s i x = 0 , 03 sin ( 100 πt ) m.
Solució
a) Per calcular l’equació de moviment hem de cercar en l’enunciat els paràmetres de l’equació corresponent. En el nostre cas: x (t)=Asin(ωt+ϕ )
D’aquesta expressió, per a t=0 ens queda: x( 0 )= Asin( 0 +ϕ)=Asin ϕ
De l’enunciat: A =Asinϕ⇒sinϕ= 1
El primer valor de l’angle pel qual el seu sinus és la unitat
correspon a 2
π ϕ =.
I d’acord amb el criteri de la figura adjunta, l’equació ens queda:
) m 2
) 0 , 03 sin( 300 t 2
x (t) Asin( t
π = π +
π = ω +.
Tornem-hi...
P.1.4. Determineu l’equació de l’elongació d’un moviment harmònic simple de 0,03 m d’amplitud i una freqüència de 150 Hz si en l’instant inicial la partícula es troba en el punt de màxima elongació. Sol.: )m 2
x 0 , 03 sin( 300 t π = π +
P.1.5. Una partícula es desplaça amb un MHS de 150 Hz de freqüència i 5 cm d’amplitud. (a) Calculeu el període i la pulsació. (b) Escriviu l’equació de l’elongació si per a t=0 passa pel centre d’oscil·lació amb velocitat positiva. Sol.: 0,0067 s ; 300π rad/s.
E.1.3 Determineu l’equació de l’elongació d’un moviment harmònic simple de 0,03 m d’amplitud i una freqüència de 150 Hz si en l’instant inicial la partícula es troba en el punt de màxima elongació.
x=R sinf
x(t)=0,03sin(300pt+ p/2) m
144 Moviment oscil·latori
Aïllem el temps de l’expressió anterior:
( ) 20
2 n 1 3 t
=. Fixeu-vos que donant valors a n
trobem els diferents valors de t on hi ha un màxim de l’elongació. El valor màxim és x(t)màxim=A m.
Tornem-hi...
P.1.6. L’amplitud d’un moviment MHS és de 3 cm i la seva freqüència és de
5 Hz, essent 2
3 π ϕ =. Escriviu l’equació x(t); v(t) i a(t).
Sol.: x t sin t ) m 2
π = π +
P.1.7. Calculeu el valor de la velocitat màxima d’un MHS d’expressió
) m 2
x (t) 0 , 20 sin( 10 t
π = + en unitats del SI. Podem predir exactament la
posició de la partícula quan la seva velocitat és màxima? I el sentit del seu moviment? Sol.: ± 2 m/s.
P.1.8. Si la freqüència d’un MHS val 50 Hz, quant val l’acceleració per a x= - 0,001 m? Sol.: π^2 m/s^2.
P.1.9. Llegiu les característiques dels MHS següents i determineu el que es demana: (a) la posició i el període si a = - 90 m/s^2 quan x= 0,10 m; (b) l’acceleració quan x= - 0,01 m si la seva freqüència és de 5 Hz; (c) el període i l’equació de l’elongació si l’expressió de l’acceleració és a = - 2x i l’amplitud val 0,01 m. Sol.: 30 rad/s; 0,21 s; π^2 m/s^2 ; 2 π s.
P.1.10. Un ressort que vibra amb MHS efectua 15 vibracions en 40 s. Calculeu: (a) la freqüència d’aquest moviment i (b) el període i la pulsació. Sol.: 0,375 Hz; 2,67 s; 2,36 rad/s.
P.1.11. Una partícula es mou amb MHS; la seva fase inicial és ϕ 0 =π/4, la seva freqüència és de 60 Hz i la seva amplitud és de 2 m. Trobeu: (a) el període i (b)
l’equació de l’elongació. Sol.: 0,017 s; )m 4
x (t) 2 sin( 120 t π = π +
P.1.12. L’elongació màxima d’una partícula amb MHS és de 0,05 m i el seu període val 4 s. Si quan t=0 es troba en el centre d’oscil·lació amb velocitat positiva, trobeu: (a) la fase inicial, (b) la pulsació, (c) l’equació de l’elongació i (d) el valor de l’elongació 1 s després d’iniciar el moviment. Sol.: 0 rad; π/ rad/s; t)m 2
x (t) 0 , 05 sin( π = i 0,05 m.
( ) 20
2 n 1 3 t
145 Problemes de física per a batxillerat...// © M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-
P.1.13. Determineu l’equació de l’elongació d’un MHS de 0,03 m d’amplitud i una freqüència de 150 Hz, si en l’instant inicial la partícula es troba en el punt de
màxima elongació. Sol.: )m 2
x (t) 0 , 03 sin( 300 t π = π +.
P.1.14. L’amplitud d’un MHS és de 3 cm i la seva freqüència és de 5 Hz, essent ϕ 0 =3π/2. Escriviu: (a) l’equació de l’elongació; (b) l’equació de la velocitat; (c) l’equació de l’acceleració d’aquest moviment. Sol.:
) m 2
x (t) 0 , 03 sin( 10 t
π = π + ; )m/s 2
v( t) 0 , 3 cos( 10 t
π = π π + ;
(^2) )m/s 2 2
a (t) 3 sin( 10 t π =− π π +
P.1.15. Un determinat MHS té un període de 0,5 s i una amplitud de 0,05 m. Calculeu l’elongació, la velocitat i l’acceleració al cap de 10 s d’haver iniciat el moviment si ϕ 0 =0. Sol.: 0 m; 0,20 π m/s; 0 m/s^2.
P.1.16. Un determinat MHS té un període de 4 s i una amplitud de 0,2 m. Calculeu l’expressió de l’elongació, la velocitat i l’acceleració si ϕ 0 =π/3. Sol.:
) m 3
t 2
x (t) 0 , 2 sin(
π = π + ;^ )m/s 3
t 2
v( t) 0 , 1 cos(
π = π π + ;
(^2) )m/s 2 3
t 2
a (t) 0 , 05 sin( π =− π π +
P.1.17. Una partícula es mou amb un MHS. Quan t=2s, la partícula passa pel punt d’equilibri amb velocitat positiva i quan t=4 s la seva velocitat és de +4m/s. Si el període de l’oscil·lació és de 16 s, calculeu: (a) l’amplitud del moviment; (b) la seva acceleració en t=2 s; (c) la seva velocitat màxima; (d) escriviu les expressions de l’elongació, la velocitat i l’acceleració en funció del temps. Sol.: 14,4 m; 0 m/s^2 ; ± 5,65 m/s.
) m 4
t 8
x (t) 14 , 4 sin(
π = π − ; )m/s 4
t 8
v (t) 5 , 65 cos(
π = π − ;
)m/ s^2 4
t 8
a (t) 2 , 22 sin(
π =− π −
P.1.18. Un oscil·lador harmònic simple es troba a x= 3,36 m amb una velocitat de 0,216 m/s quan t=5 s. Si la seva pulsació és de 0,1 rad/s, determineu: (a) la freqüència i l’amplitud; (b) la fase inicial; (c) l’acceleració quan t= 5 s; (d) la posició, la velocitat i acceleració quan t=0 s; (e) escriviu les expressions de l’elongació, la velocitat i l’acceleració en funció del temps. Sol.: (0,05/π) Hz; 4 m; b) 0,5 rad; c)-0,03 m/s^2 , d)1,9 m; 0,35 m/s; -0,02 m/s^2.
P.1.19. L’acceleració d’un MHS val a = - 16 π^2 x m/s^2. Si la màxima elongació és de 0,04 m i s’ha començat a comptar el temps quan l’acceleració té el seu màxim valor absolut en el sentit dels desplaçaments positius, calculeu els valors absoluts màxims de la velocitat i de l’acceleració. Sol.: ±0,16 π m/s; ±0,64 π^2 m/s^2.
147 Problemes de física per a batxillerat...// © M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-
Si tenim que ∆ x = x − x 0 = x − 0 = x , deduïm: k = m ω^2 , i d’aquí podem calcular la pulsació i el període del moviment:
k
m 2
T
..(rad/seg) m
k
= π ω
π
ω= (5)
El període d’un oscil·lador sotmès a una força elàstica depèn de la seva constant recuperadora i de la massa, però no depèn de l’amplitud del moviment.
Una força és conservativa quan es compleix que el treball realitzat per aquesta força no depèn del camí recorregut. Una definició equivalent és que el treball realitzat per la força al llarg d’un camí tancat és zero. Són forces conservatives: la gravitatòria, l’elàstica , l’elèctrica. Els efectes de qualsevol força conservativa es poden descriure mitjançant un terme d’energia potencial. En general, per qualsevol força conservativa que realitzi treball es compleix: Wconserv = -∆U
Si un objecte de massa m unit a una molla de constant elàstica K es desplaça des d’una posició inicial fins a una posició final, el treball realitzat per la força elàstica de la molla és:
= ∫ ⋅ =∫− =^2 f − i^2
f
i
f
i
kx 2
kx 2
W F dx kxdx
r r
Per tant, en aquest cas l’energia potencial elàstica és el terme
kA sin ( t ). 2
kx 2
Ep = 2 =^22 ω+ϕ (6)
I l’energia cinètica de la partícula serà:
kA cos ( t ). 2
mv 2
Ec = 2 =^22 ω +ϕ (7)
I d’aquí:
] kA.
kA [cos ( t ) sin ( t ) 2
mv 2
kx 2
H =^2 +^2 =^22 ω +ϕ +^2 ω +ϕ =^2
kA^2 2
H = constant= (8)
148 Moviment oscil·latori
L’energia mecànica de l’oscil·lador harmònic és una constant que li és característica i que és proporcional al quadrat de l’amplitud d’oscil·lació.
Tornem-hi...
P.2.1. Un cos unit a un ressort horitzontal oscil·la amb MHS sobre una superfície horitzontal sense fricció. Si es duplica la massa del cos, com varien la freqüència, la pulsació, el període, la velocitat màxima i l’acceleració màxima?
P.2.2. Subjectem un cos de 200 g a l’extrem lliure d’un ressort de constant recuperadora k=25 N/m i el fem oscil·lar verticalment. Calculeu l’amplitud del moviment i el període. Sol.: 0,08 m i 0,56 s.
P.2.3. Calculeu la constant k d’una molla si sabem que, quan es penja un objecte de 50 g de massa a l’extrem lliure del ressort i es fa oscil·lar verticalment, el període val 1,5 s. Sol.: 0,88 N/m.
P.2.4. Un determinat ressort té subjectat un cos de 2 kg en el seu extrem lliure i es requereix una força de 8 N per mantenir-lo a 20 cm del punt d’equilibri. Si el cos fa un MHS quan se’l deixa anar, trobeu la k de la molla i el període de l’oscil·lació. Sol.: 40 N/m i 1,4 s.
P.2.5. Un cos de 2 kg col·locat a l’extrem d’una molla de constant recuperadora 65 N/m s’estira 0,3 m des de la seva posició d’equilibri i es deixa anar des del repòs. Calculeu l’energia potencial inicial elàstica i la velocitat màxima que assolirà el cos. Sol.: 2,92 J i ± 1,7 m/s.
P.2.6. Un bloc d’acer de 1,5 kg, subjectat a un ressort de k= 1,5 N/m, efectua un moviment. Si la seva màxima velocitat és de ± 3 m/s, calculeu l’energia del bloc aturat i l’acceleració màxima. Sol.: 6,75 J i ± 3m s-2.
P.2.7. Un cos de 2 kg col·locat a l’extrem d’una molla de constant recuperadora 65 N/m s’estira 0,3 m des de la seva posició d’equilibri i es deixa anar des del repòs. (a) Quant val l’energia potencial inicial del cos? (b) Quina velocitat màxima assolirà? Sol.: 2,92 J i ± 1,7 m/s.
H=cost
kx^2 2
U =
mv^2 2
Ec =
